Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= 3x ^ 2 +1||a A. x ^ 3 + C B. (x ^ 3)/3 + x + C C. 6x + c D. x ^ 3 + x + C Câu 2: Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi...

Câu 1: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 1 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 3x^2 \). \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 1 \). \[ \int 1 \, dx = x \] Bước 3: Cộng các kết quả trên lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (3x^2 + 1) \, dx = x^3 + x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 1 \) là \( x^3 + x + C \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( x^3 + x + C \). Câu 2: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \( y = f(x) \) và \( y = g(x) \) và các đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \), ta cần sử dụng công thức tích phân để tính diện tích giữa hai đồ thị này. Công thức chính xác để tính diện tích này là: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \] Lý do là vì diện tích luôn là một giá trị dương, nên ta cần lấy giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai hàm số \( f(x) \) và \( g(x) \). Do đó, đáp án đúng là: C. \(\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx\) Đáp án: C. \(\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx\) Câu 3: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Xác định các khoảng và trung điểm của các khoảng: - [2,7;3,0): Trung điểm là 2,85 - [3,0;3,3): Trung điểm là 3,15 - [3,3;3,6): Trung điểm là 3,45 - [3,6;3,9): Trung điểm là 3,75 - [3,9;4,2): Trung điểm là 4,05 - Tính tổng số ngày: \[ n = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20 \] - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(2,85 \times 3) + (3,15 \times 6) + (3,45 \times 5) + (3,75 \times 4) + (4,05 \times 2)}{20} \] \[ \bar{x} = \frac{(8,55) + (18,9) + (17,25) + (15) + (8,1)}{20} \] \[ \bar{x} = \frac{77,8}{20} = 3,89 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi trung điểm và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng: \[ s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2 \] \[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 3(2,85 - 3,89)^2 + 6(3,15 - 3,89)^2 + 5(3,45 - 3,89)^2 + 4(3,75 - 3,89)^2 + 2(4,05 - 3,89)^2 \right] \] \[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 3(-1,04)^2 + 6(-0,74)^2 + 5(-0,44)^2 + 4(-0,14)^2 + 2(0,16)^2 \right] \] \[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 3(1,0816) + 6(0,5476) + 5(0,1936) + 4(0,0196) + 2(0,0256) \right] \] \[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 3,2448 + 3,2856 + 0,968 + 0,0784 + 0,0512 \right] \] \[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 7,628 \right] = 0,3814 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là \(0,3814\). Đáp án đúng là: C. 0,1314. Câu 4: Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), ta cần dựa vào phương trình tham số của đường thẳng đó. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) được cho dưới dạng: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-5} = \frac{z + 2}{3} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng các hệ số ở mẫu số của mỗi phân số chính là các thành phần của vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng: \[ \vec{u} = (2, -5, 3) \] Bây giờ, ta kiểm tra các đáp án đã cho để xác định vectơ chỉ phương đúng đắn: A. \(\overline{u} = (1; 3; -2)\) B. \(\vec{u} = (2; 5; 3)\) C. \(\vec{u} = (2; -5; 3)\) D. \(\vec{u} = (1; 3; 2)\) Trong các lựa chọn trên, chỉ có đáp án C đúng với vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Vậy, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \vec{u} = (2; -5; 3) \] Đáp án đúng là: C. \(\vec{u} = (2; -5; 3)\) Câu 5: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x + 2}{x - 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = \frac{3x + 2}{x - 2} \) có mẫu số là \( x - 2 \). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 \] Vậy ĐKXĐ của hàm số là \( x \neq 2 \). 2. Tìm tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x + 2}{x - 2} \) là đường thẳng \( x = a \), trong đó \( a \) là giá trị làm cho mẫu số bằng 0. Từ bước trên, ta thấy mẫu số bằng 0 khi \( x = 2 \). Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình \( x = 2 \). Đáp án: A. x = 2 Câu 6: Để giải bất phương trình $\log_2(3x - 1) > 3$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong logarit dương: \[ 3x - 1 > 0 \implies x > \frac{1}{3} \] 2. Chuyển đổi bất phương trình logarit sang dạng tương đương: Ta biết rằng $\log_2(3x - 1) > 3$ có thể viết lại dưới dạng: \[ 3x - 1 > 2^3 \] Vì $\log_2(a) > b$ tương đương với $a > 2^b$. 3. Giải bất phương trình: \[ 3x - 1 > 8 \implies 3x > 9 \implies x > 3 \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: Điều kiện $x > \frac{1}{3}$ đã được thỏa mãn trong quá trình giải bất phương trình trên. Vậy, nghiệm của bất phương trình là: \[ x > 3 \] Do đó, đáp án đúng là: A. x > 3 Câu 7: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) được cho là: \[ x + 3y - 4z + 5 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình mặt phẳng. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \vec{n} = (1, 3, -4) \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xác định vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): A. \(\vec{n}_1 = (3, 4, 5)\) - Đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). B. \(\vec{m}_2 = (1, 3, -4)\) - Đây chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). C. \(\vec{m}_3 = (1, 3, 4)\) - Đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). D. \(\vec{n} = (3, -4, 5)\) - Đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \boxed{\vec{m}_2 = (1, 3, -4)} \] Câu 8: Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). - Vì ABCD là hình vuông nên BA vuông góc với AD. - Mặt khác, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), do đó SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy, bao gồm cả BA. Do đó, BA vuông góc với cả SA và AD, hai đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (SAD). Theo tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đó. Vậy BA vuông góc với mặt phẳng (SAD). Đáp án đúng là: A. BA perp (SAD). Câu 9: Để giải phương trình \((\frac{1}{25})^{(3 - 2x)} = 5^{(x + 3)}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển đổi cơ số của cả hai vế về cùng một cơ số: \[ (\frac{1}{25})^{(3 - 2x)} = (5^{-2})^{(3 - 2x)} \] Do đó, phương trình trở thành: \[ (5^{-2})^{(3 - 2x)} = 5^{(x + 3)} \] Bước 2: Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: \[ 5^{-2(3 - 2x)} = 5^{(x + 3)} \] Bước 3: Vì hai vế đều có cùng cơ số, ta so sánh các mũ: \[ -2(3 - 2x) = x + 3 \] Bước 4: Giải phương trình này: \[ -6 + 4x = x + 3 \] \[ 4x - x = 3 + 6 \] \[ 3x = 9 \] \[ x = 3 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 3 \). Đáp án đúng là: D. x = 3. Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định công sai của cấp số cộng. 2. Viết công thức tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. 3. Tính tổng S6. Bước 1: Xác định công sai của cấp số cộng Công sai của cấp số cộng là: d = u2 - u1 = 3 - (-2) = 5 Bước 2: Viết công thức tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số cộng Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính bằng công thức: S_n = \frac{n}{2} \times (2u_1 + (n-1)d) Trong đó: - n là số lượng số hạng. - u1 là số hạng đầu tiên. - d là công sai. Áp dụng vào bài toán này với n = 6, u1 = -2 và d = 5, ta có: S6 = \frac{6}{2} \times (2 \times (-2) + (6-1) \times 5) = 3 \times (-4 + 25) = 3 \times 21 = 63 Vậy tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là 63. Do đó, đáp án đúng là D. 38. Đáp án: D. 38. Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu nào là đúng. A. $\vec{AB} + \vec{BB'} + \vec{B'A'} = \vec{AC'}$ - $\vec{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\vec{BB'}$ là vectơ từ B đến B'. - $\vec{B'A'}$ là vectơ từ B' đến A'. Kết hợp các vectơ này: $\vec{AB} + \vec{BB'} + \vec{B'A'} = \vec{AB} + \vec{BB'} + \vec{B'A'} = \vec{AB} + \vec{BA'} = \vec{AA'}$ (không phải là $\vec{AC'}$). B. $\vec{AB} + \vec{AA'} + \vec{AD} = \vec{AC'}$ - $\vec{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\vec{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. - $\vec{AD}$ là vectơ từ A đến D. Kết hợp các vectơ này: $\vec{AB} + \vec{AA'} + \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AA'} + \vec{AD} = \vec{AC'}$ (đúng). C. $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA'} = \vec{AC'}$ - $\vec{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\vec{AC}$ là vectơ từ A đến C. - $\vec{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. Kết hợp các vectơ này: $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA'} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA'} = \vec{AC'}$ (không phải là $\vec{AC'}$). D. $\vec{AB} + \vec{BC'} + \vec{C'D'} = \vec{AC'}$ - $\vec{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\vec{BC'}$ là vectơ từ B đến C'. - $\vec{C'D'}$ là vectơ từ C' đến D'. Kết hợp các vectơ này: $\vec{AB} + \vec{BC'} + \vec{C'D'} = \vec{AB} + \vec{BC'} + \vec{C'D'} = \vec{AD'}$ (không phải là $\vec{AC'}$). Như vậy, phát biểu đúng là: B. $\vec{AB} + \vec{AA'} + \vec{AD} = \vec{AC'}$. Câu 12: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số y = f(x) dựa vào đồ thị, ta cần quan sát hướng của đồ thị từ trái sang phải. Nếu đồ thị đi lên (từ dưới lên trên), thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Dựa vào đồ thị: - Từ (-∞; -1), đồ thị đi xuống, nên hàm số nghịch biến. - Từ (-1; 1), đồ thị đi lên, nên hàm số đồng biến. - Từ (1; ∞), đồ thị đi xuống, nên hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1). Đáp án đúng là: B. (-1; 1). Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu. Bước 1: Tính f(0) và f(-π) - f(0) = -2sin(0) - 0 = 0 - f(-π) = -2sin(-π) + π = 0 + π = π Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) f'(x) = (-2sin(x) - x)' = -2cos(x) - 1 Bước 3: Giải phương trình f'(x) = 0 trên đoạn [0; π] - f'(x) = -2cos(x) - 1 = 0 - 2cos(x) = -1 - cos(x) = -1/2 Trên đoạn [0; π], cos(x) = -1/2 tại x = 2π/3. Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [0; π] - f(0) = 0 - f(2π/3) = -2sin(2π/3) - 2π/3 = -2(√3/2) - 2π/3 = -√3 - 2π/3 - f(π) = -2sin(π) - π = 0 - π = -π So sánh các giá trị: - f(0) = 0 - f(2π/3) = -√3 - 2π/3 - f(π) = -π Giá trị nhỏ nhất là f(2π/3) = -√3 - 2π/3. Kết luận: - f(0) = 0 - f(-π) = π - f'(x) = -2cos(x) - 1 - Nghiệm của phương trình f'(x) = 0 trên đoạn [0; π] là x = 2π/3 - Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [0; π] là -√3 - 2π/3, đạt được khi x = 2π/3. Câu 2: a) Vận tốc của vật triệt tiêu tại thời điểm t = 3s: - Ta có công thức vận tốc v(t) = -9,81t + 29,43. - Thay t = 3 vào công thức trên: \[ v(3) = -9,81 \times 3 + 29,43 = -29,43 + 29,43 = 0 \] Vậy vận tốc của vật triệt tiêu tại thời điểm t = 3s. b) Hàm số h(t) = -4,905t^2 + 29,43t: - Ta biết rằng vận tốc tức thời v(t) là đạo hàm của hàm số độ cao h(t). - Do đó, ta có: \[ v(t) = \frac{dh(t)}{dt} = -9,81t + 29,43 \] - Để tìm h(t), ta tích phân v(t): \[ h(t) = \int (-9,81t + 29,43) \, dt = -4,905t^2 + 29,43t + C \] - Ta biết rằng tại thời điểm t = 0, độ cao ban đầu là 300m, do đó: \[ h(0) = 300 \Rightarrow C = 300 \] - Vậy hàm số độ cao là: \[ h(t) = -4,905t^2 + 29,43t + 300 \] c) Vật đạt độ cao lớn nhất là 344m (làm tròn đến hàng đơn vị): - Độ cao lớn nhất xảy ra khi vận tốc tức thời v(t) = 0, tức là tại thời điểm t = 3s (như đã chứng minh ở phần a). - Thay t = 3 vào hàm số h(t): \[ h(3) = -4,905 \times 3^2 + 29,43 \times 3 + 300 = -4,905 \times 9 + 29,43 \times 3 + 300 \] \[ = -44,145 + 88,29 + 300 = 344,145 \approx 344 \text{ (làm tròn đến hàng đơn vị)} \] Vậy độ cao lớn nhất của vật là 344m. d) Sau 11s tính từ lúc ném thì vật đó chạm đất (làm tròn đến hàng đơn vị): - Vật chạm đất khi độ cao h(t) = 0. - Ta giải phương trình: \[ -4,905t^2 + 29,43t + 300 = 0 \] - Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, a = -4,905, b = 29,43, c = 300: \[ t = \frac{-29,43 \pm \sqrt{(29,43)^2 - 4 \times (-4,905) \times 300}}{2 \times (-4,905)} \] \[ t = \frac{-29,43 \pm \sqrt{866,1249 + 5886}}{-9,81} \] \[ t = \frac{-29,43 \pm \sqrt{6752,1249}}{-9,81} \] \[ t = \frac{-29,43 \pm 82,17}{-9,81} \] - Lấy nghiệm dương: \[ t = \frac{-29,43 + 82,17}{-9,81} = \frac{52,74}{-9,81} \approx -5,38 \] (loại vì thời gian không âm) \[ t = \frac{-29,43 - 82,17}{-9,81} = \frac{-111,6}{-9,81} \approx 11,38 \approx 11 \text{ (làm tròn đến hàng đơn vị)} \] Vậy sau 11s vật chạm đất. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Tính số viên bi màu đỏ có đánh số Số viên bi màu đỏ có đánh số là: \[ 50 \times \frac{60}{100} = 50 \times 0.6 = 30 \text{ viên} \] Bước 2: Tính số viên bi màu vàng có đánh số Số viên bi màu vàng có đánh số là: \[ 30 \times \frac{50}{100} = 30 \times 0.5 = 15 \text{ viên} \] Bước 3: Tính số viên bi màu vàng không đánh số Số viên bi màu vàng không đánh số là: \[ 30 - 15 = 15 \text{ viên} \] Bước 4: Tính tổng số viên bi có đánh số Tổng số viên bi có đánh số là: \[ 30 + 15 = 45 \text{ viên} \] Bước 5: Tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: \[ \frac{45}{80} = \frac{9}{16} \] Kết luận a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30. b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 15. c) Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là $\frac{9}{16}$. Câu 4: a) Tọa độ của điểm A là (4;0;0). b) Tọa độ của véctơ AH là (4;5;3). c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{AF}$ bằng 3. d) Góc dốc của mái nhà, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng FG, hai mặt lần lượt là (FGQP) và (FGHE) bằng 26,6° (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ). Lập luận từng bước: a) Tọa độ của điểm A là (4;0;0). - Điểm A nằm trên trục Ox, vì vậy tọa độ y và z của nó đều bằng 0. Tọa độ x của nó là 4. b) Tọa độ của véctơ AH là (4;5;3). - Điểm H có tọa độ (0;0;3), điểm A có tọa độ (4;0;0). - Véctơ AH = H - A = (0 - 4; 0 - 0; 3 - 0) = (-4; 0; 3). c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{AF}$ bằng 3. - Điểm F có tọa độ (4;0;0), điểm A có tọa độ (4;0;0). - Véctơ AF = F - A = (4 - 4; 0 - 0; 0 - 0) = (0; 0; 0). - Tích vô hướng của $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{AF}$ là: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AF} = (-4) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 \] d) Góc dốc của mái nhà, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng FG, hai mặt lần lượt là (FGQP) và (FGHE) bằng 26,6° (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ). - Để tính góc dốc của mái nhà, ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng (FGQP) và (FGHE). - Gọi $\vec{n_1}$ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (FGQP) và $\vec{n_2}$ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (FGHE). - Ta có $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ có thể được tìm bằng cách lấy tích vô hướng của các véctơ trong mỗi mặt phẳng. - Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai véctơ pháp tuyến $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$. - Ta có: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \] - Từ đó suy ra góc $\theta$ bằng 26,6° (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ). Đáp số: a) (4;0;0), b) (-4;0;3), c) 0, d) 26,6°. Câu 1: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong lăng trụ đứng ABC.A'B'C', khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC sẽ bằng khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC vì AA' vuông góc với mặt phẳng đáy ABC. Bây giờ, ta tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. 1. Ta tính diện tích tam giác ABC: Diện tích tam giác đều = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (cạnh)^2$ Diện tích tam giác ABC = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (6\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 108 = 27\sqrt{3}$ 2. Ta tính chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC: Diện tích tam giác ABC cũng có thể được tính bằng công thức $\frac{1}{2} \times BC \times h$, Do đó, $27\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times h$ Suy ra, $h = \frac{27\sqrt{3} \times 2}{6\sqrt{3}} = 9$ Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là 9. Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC là 9. Câu 2: Để tìm quãng đường ngắn nhất để đi qua tất cả các thành phố đúng một lần rồi quay lại thành phố xuất phát, ta sẽ áp dụng thuật toán Nearest Neighbor (khuôn viên gần nhất). Bước 1: Chọn thành phố xuất phát là A. Bước 2: Từ A, chọn thành phố gần nhất để đến. Các thành phố còn lại là B, C, D với khoảng cách tương ứng là 10 km, 15 km, 20 km. Vậy ta chọn thành phố B (10 km). Bước 3: Từ B, chọn thành phố gần nhất trong các thành phố còn lại (C, D). Các khoảng cách từ B đến C và D là 25 km và 35 km. Vậy ta chọn thành phố C (25 km). Bước 4: Từ C, chọn thành phố gần nhất trong các thành phố còn lại (D). Khoảng cách từ C đến D là 30 km. Vậy ta chọn thành phố D (30 km). Bước 5: Quay trở lại thành phố xuất phát A. Khoảng cách từ D đến A là 20 km. Vậy quãng đường ngắn nhất để đi qua tất cả các thành phố đúng một lần rồi quay lại thành phố xuất phát là: A → B (10 km) → C (25 km) → D (30 km) → A (20 km) Tổng quãng đường: 10 + 25 + 30 + 20 = 85 km Đáp số: 85 km. Câu 3: Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, đại lượng này sẽ giúp ta xác định hướng và tốc độ của con chim. Vectơ $\overrightarrow{AB} = (40 - 20, 50 - 40, 50 - 30) = (20, 10, 20)$ Thời gian để con chim bay từ A đến B là 4 phút, do đó trong 1 phút, con chim sẽ bay được một phần tư quãng đường AB. Ta tính vectơ chỉ phương của chuyển động trong 1 phút: $\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{AB}}{4} = \left(\frac{20}{4}, \frac{10}{4}, \frac{20}{4}\right) = (5, 2.5, 5)$ Sau 2 phút, con chim sẽ bay được: $\overrightarrow{AC} = 2 \times \overrightarrow{v} = 2 \times (5, 2.5, 5) = (10, 5, 10)$ Vị trí của con chim sau 2 phút sẽ là: $C = A + \overrightarrow{AC} = (20, 40, 30) + (10, 5, 10) = (30, 45, 40)$ Tổng các tọa độ của điểm C là: $a + b + c = 30 + 45 + 40 = 115$ Vậy tổng a + b + c bằng 115. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của parabol. 2. Tính diện tích của hình parabol. 3. Tính số tiền bác Năm phải trả dựa trên diện tích và giá thuê. Bước 1: Xác định phương trình của parabol Ta giả sử đỉnh của parabol nằm tại điểm $(0, 2,25)$ và trục đối xứng của parabol là trục $y$. Parabol có dạng phương trình: \[ y = a x^2 + 2,25 \] Biết rằng parabol đi qua điểm $(1,5, 0)$ (vì chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét, do đó khoảng cách từ đỉnh đến hai bên là 1,5 mét): \[ 0 = a (1,5)^2 + 2,25 \] \[ 0 = 2,25a + 2,25 \] \[ 2,25a = -2,25 \] \[ a = -1 \] Vậy phương trình của parabol là: \[ y = -x^2 + 2,25 \] Bước 2: Tính diện tích của hình parabol Diện tích của hình parabol có thể tính bằng cách tích phân phương trình của parabol từ $-1,5$ đến $1,5$: \[ A = 2 \int_{0}^{1,5} (-x^2 + 2,25) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{1,5} (-x^2 + 2,25) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2,25x \right]_{0}^{1,5} \] \[ = \left( -\frac{(1,5)^3}{3} + 2,25 \cdot 1,5 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2,25 \cdot 0 \right) \] \[ = \left( -\frac{3,375}{3} + 3,375 \right) - 0 \] \[ = \left( -1,125 + 3,375 \right) \] \[ = 2,25 \] Vậy diện tích của hình parabol là: \[ A = 2 \times 2,25 = 4,5 \text{ m}^2 \] Bước 3: Tính số tiền bác Năm phải trả Giá thuê mỗi mét vuông là 150000 đồng, nên số tiền bác Năm phải trả là: \[ \text{Số tiền} = 4,5 \times 150000 = 675000 \text{ đồng} \] Đáp số Số tiền bác Năm phải trả là 675000 đồng. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính toán chi phí hoạt động của công ty dựa trên số lượng máy móc sử dụng và thời gian hoạt động của chúng. Chúng ta sẽ tìm số máy móc tối ưu để chi phí hoạt động là thấp nhất. Bước 1: Xác định các thông số: - Tổng số quả bóng cần sản xuất: 8000 quả. - Mỗi máy sản xuất được 30 quả bóng trong một giờ. - Chi phí thiết lập mỗi máy: 200 nghìn đồng. - Chi phí giám sát mỗi giờ: 192 nghìn đồng. Bước 2: Tính thời gian hoạt động của máy móc: Giả sử công ty sử dụng \( n \) máy móc. Thời gian hoạt động của mỗi máy để sản xuất đủ 8000 quả bóng là: \[ t = \frac{8000}{30n} = \frac{800}{3n} \text{ giờ} \] Bước 3: Tính tổng chi phí hoạt động: - Chi phí thiết lập các máy móc: \( 200n \) nghìn đồng. - Chi phí giám sát: \( 192 \times \frac{800}{3n} = \frac{153600}{3n} = \frac{51200}{n} \) nghìn đồng. Tổng chi phí hoạt động là: \[ C(n) = 200n + \frac{51200}{n} \text{ nghìn đồng} \] Bước 4: Tìm giá trị \( n \) để chi phí hoạt động là thấp nhất: Để tìm giá trị \( n \) tối ưu, chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( C(n) \) và tìm điểm cực tiểu. \[ C'(n) = 200 - \frac{51200}{n^2} \] Đặt \( C'(n) = 0 \): \[ 200 - \frac{51200}{n^2} = 0 \] \[ 200 = \frac{51200}{n^2} \] \[ n^2 = \frac{51200}{200} \] \[ n^2 = 256 \] \[ n = 16 \] Bước 5: Kiểm tra giá trị \( n = 16 \) là điểm cực tiểu: \[ C''(n) = \frac{d}{dn}\left(200 - \frac{51200}{n^2}\right) = \frac{102400}{n^3} \] Khi \( n = 16 \): \[ C''(16) = \frac{102400}{16^3} = \frac{102400}{4096} = 25 > 0 \] Vậy \( n = 16 \) là điểm cực tiểu, tức là chi phí hoạt động là thấp nhất khi sử dụng 16 máy móc. Kết luận: Công ty nên sử dụng 16 máy móc để chi phí hoạt động là thấp nhất. Câu 6: Để tìm xác suất mà một bệnh nhân với kết quả kiểm tra dương tính là, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính số người bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và cho kết quả dương tính: - Số người bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết là 1.200. - Phần trăm người bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và cho kết quả dương tính là 70%. - Số người bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và cho kết quả dương tính là: \[ 1.200 \times 0.70 = 840 \] 2. Tính số người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và cho kết quả dương tính: - Số người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết là 6.800. - Phần trăm người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và cho kết quả dương tính là 5%. - Số người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và cho kết quả dương tính là: \[ 6.800 \times 0.05 = 340 \] 3. Tính tổng số người cho kết quả dương tính: - Tổng số người cho kết quả dương tính là: \[ 840 + 340 = 1180 \] 4. Tính xác suất mà một bệnh nhân với kết quả kiểm tra dương tính là: - Xác suất mà một bệnh nhân với kết quả kiểm tra dương tính là: \[ \frac{\text{Số người bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và cho kết quả dương tính}}{\text{Tổng số người cho kết quả dương tính}} = \frac{840}{1180} = \frac{42}{59} \] Vậy xác suất mà một bệnh nhân với kết quả kiểm tra dương tính là $\frac{42}{59}$.