Trả lời đúng hoặc sai

Câu 3. a) Tại thời điểm $t=0$, góc quay của cánh quạt là: \[ \theta(0) = 2 \cdot 0 + 0,5 \sin\left(\frac{\pi}{3} \cdot 0\right) = 0 + 0,5 \cdot 0 = 0 \text{ (rad)} \] Vậy, tại thời điểm $t=0$, góc quay của cánh quạt là 0 radian. b) Vận tốc góc của cánh quạt tại thời điểm $t$ là đạo hàm của $\theta(t)$ theo $t$: \[ \omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(2t + 0,5 \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)\right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm: \[ \omega(t) = 2 + 0,5 \cdot \frac{\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi}{3}t\right) = 2 + \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3}t\right) \] c) Để chứng minh vận tốc góc của cánh quạt luôn lớn hơn hoặc bằng $2 - \frac{\pi}{6}$ (rad/s), ta xét biểu thức: \[ \omega(t) = 2 + \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3}t\right) \] Biết rằng $-1 \leq \cos\left(\frac{\pi}{3}t\right) \leq 1$, ta có: \[ -\frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3}t\right) \leq \frac{\pi}{6} \] Do đó: \[ 2 - \frac{\pi}{6} \leq 2 + \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3}t\right) \leq 2 + \frac{\pi}{6} \] Vậy, vận tốc góc của cánh quạt luôn lớn hơn hoặc bằng $2 - \frac{\pi}{6}$ (rad/s). d) Gia tốc góc của cánh quạt tại thời điểm $t$ là đạo hàm của $\omega(t)$ theo $t$: \[ \alpha(t) = \frac{d\omega(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(2 + \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3}t\right)\right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm: \[ \alpha(t) = 0 + \frac{\pi}{6} \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right) = -\frac{\pi^2}{18} \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right) \] Tại thời điểm $t = 3$ giây: \[ \alpha(3) = -\frac{\pi^2}{18} \sin\left(\frac{\pi}{3} \cdot 3\right) = -\frac{\pi^2}{18} \sin(\pi) = -\frac{\pi^2}{18} \cdot 0 = 0 \text{ (rad/s}^2\text{)} \] Vậy, gia tốc góc của cánh quạt tại thời điểm $t = 3$ giây là 0 (rad/s²). Câu 4. a) Xác suất một lái xe được chọn ngẫu nhiên trong giờ cao điểm là nam giới và vi phạm tốc độ là: \[ P(\text{Nam và Vi phạm}) = P(\text{Nam}) \times P(\text{Vi phạm} | \text{Nam}) = 0,6 \times 0,1 = 0,06 \] b) Xác suất một lái xe được chọn ngẫu nhiên trong giờ cao điểm vi phạm tốc độ là: \[ P(\text{Vi phạm}) = P(\text{Nam và Vi phạm}) + P(\text{Nữ và Vi phạm}) \] \[ P(\text{Nữ và Vi phạm}) = P(\text{Nữ}) \times P(\text{Vi phạm} | \text{Nữ}) = 0,4 \times 0,03 = 0,012 \] \[ P(\text{Vi phạm}) = 0,06 + 0,012 = 0,072 \] c) Nếu một lái xe được chọn ngẫu nhiên vi phạm tốc độ, khả năng cao người đó là nam giới: \[ P(\text{Nam} | \text{Vi phạm}) = \frac{P(\text{Nam và Vi phạm})}{P(\text{Vi phạm})} = \frac{0,06}{0,072} = \frac{5}{6} \approx 0,8333 \] d) Giả sử cảnh sát chỉ dừng xe của những người vi phạm tốc độ để xử phạt. Biết một người đã bị dừng xe, xác suất người đó là nữ giới lớn hơn 0,2: \[ P(\text{Nữ} | \text{Vi phạm}) = \frac{P(\text{Nữ và Vi phạm})}{P(\text{Vi phạm})} = \frac{0,012}{0,072} = \frac{1}{6} \approx 0,1667 \] Vậy, xác suất người đó là nữ giới là khoảng 0,1667, nhỏ hơn 0,2. Kết luận: a) Đúng. b) Sai, xác suất đúng là 0,072. c) Đúng, xác suất là khoảng 0,8333. d) Sai, xác suất đúng là khoảng 0,1667, nhỏ hơn 0,2.