giup minh voi Câu 24. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'D' và C'D.,Câu 25. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm củ-

Question

Accepted Answer

Câu 24.
Trước tiên, ta xác định các điểm M và N trên hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.

- Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng A'D', tức là M nằm chính giữa A' và D'.
- Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng C'D', tức là N nằm chính giữa C' và D'.

Bây giờ, ta sẽ xác định vị trí của các điểm này trong hệ tọa độ nếu cần thiết. Giả sử cạnh lập phương có độ dài là $ a $.

- A' có tọa độ (0, 0, a)
- D' có tọa độ (a, 0, a)

Do đó, tọa độ của M là:
$$ M = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{a + a}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0, a \right) $$

- C' có tọa độ (a, a, a)
- D' có tọa độ (a, 0, a)

Do đó, tọa độ của N là:
$$ N = \left( \frac{a + a}{2}, \frac{a + 0}{2}, \frac{a + a}{2} \right) = \left( a, \frac{a}{2}, a \right) $$

Như vậy, ta đã xác định được tọa độ của các điểm M và N trên hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.

Câu 25.
Câu hỏi:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'B' và B'C'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và DN.

Câu trả lời:
Trước tiên, ta xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' trong hệ tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ tại A(0, 0, 0).

- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- C(a, a, 0)
- D(0, a, 0)
- A'(0, 0, a)
- B'(a, 0, a)
- C'(a, a, a)
- D'(0, a, a)

M và N lần lượt là trung điểm của A'B' và B'C', do đó:
- M có tọa độ $\left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$
- N có tọa độ $\left(a, \frac{a}{2}, a\right)$

Ta viết phương trình đường thẳng AM và DN:
- Đường thẳng AM đi qua điểm A(0, 0, 0) và M $\left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$, có vectơ chỉ phương $\vec{d_1} = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$.
- Đường thẳng DN đi qua điểm D(0, a, 0) và N $\left(a, \frac{a}{2}, a\right)$, có vectơ chỉ phương $\vec{d_2} = \left(a, -\frac{a}{2}, a\right)$.

Ta tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng chứa AM và vuông góc với DN:
$\vec{n} = \vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
\frac{a}{2} & 0 & a \
a & -\frac{a}{2} & a
\end{vmatrix} = \left(0 \cdot a - a \cdot (-\frac{a}{2})\right)\vec{i} - \left(\frac{a}{2} \cdot a - a \cdot a\right)\vec{j} + \left(\frac{a}{2} \cdot (-\frac{a}{2}) - 0 \cdot a\right)\vec{k}$
$= \left(\frac{a^2}{2}\right)\vec{i} - \left(-\frac{a^2}{2}\right)\vec{j} + \left(-\frac{a^2}{4}\right)\vec{k}$
$= \left(\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}, -\frac{a^2}{4}\right)$

Phương trình mặt phẳng chứa AM và vuông góc với DN:
$\frac{a^2}{2}(x - 0) + \frac{a^2}{2}(y - 0) - \frac{a^2}{4}(z - 0) = 0$
$x + y - \frac{z}{2} = 0$

Khoảng cách từ điểm D(0, a, 0) đến mặt phẳng này:
$d = \frac{|0 + a - \frac{0}{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{a}{\sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}}} = \frac{a}{\sqrt{\frac{9}{4}}} = \frac{a}{\frac{3}{2}} = \frac{2a}{3}$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và DN là $\frac{2a}{3}$.