Câu 1:
Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Tính trung bình cộng:
- Tính trung điểm của mỗi nhóm.
- Nhân trung điểm của mỗi nhóm với tần số tương ứng.
- Cộng tất cả các giá trị đã nhân ở bước trước.
- Chia tổng này cho tổng tần số.
2. Tính phương sai:
- Tính bình phương của độ lệch giữa mỗi trung điểm nhóm và trung bình cộng.
- Nhân bình phương này với tần số tương ứng.
- Cộng tất cả các giá trị đã nhân ở bước trước.
- Chia tổng này cho tổng tần số.
3. Tính độ lệch chuẩn:
- Lấy căn bậc hai của phương sai.
Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước này.
Bước 1: Tính trung bình cộng
| Nhóm | Trung điểm | Tần số | Trung điểm × Tần số |
|------|------------|--------|---------------------|
| [40; 45) | 42.5 | 4 | 42.5 × 4 = 170 |
| [45; 50) | 47.5 | 11 | 47.5 × 11 = 522.5 |
| [50; 55) | 52.5 | 7 | 52.5 × 7 = 367.5 |
| [55; 60) | 57.5 | 8 | 57.5 × 8 = 460 |
| [60; 65) | 62.5 | 8 | 62.5 × 8 = 500 |
| [65; 70) | 67.5 | 2 | 67.5 × 2 = 135 |
Tổng tần số:
Tổng trung điểm × tần số:
Trung bình cộng:
Bước 2: Tính phương sai
| Nhóm | Trung điểm | Tần số | Độ lệch | Bình phương độ lệch | Bình phương độ lệch × Tần số |
|------|------------|--------|---------|---------------------|------------------------------|
| [40; 45) | 42.5 | 4 | 42.5 - 53.875 = -11.375 | (-11.375)^2 = 129.421875 | 129.421875 × 4 = 517.6875 |
| [45; 50) | 47.5 | 11 | 47.5 - 53.875 = -6.375 | (-6.375)^2 = 40.640625 | 40.640625 × 11 = 447.046875 |
| [50; 55) | 52.5 | 7 | 52.5 - 53.875 = -1.375 | (-1.375)^2 = 1.890625 | 1.890625 × 7 = 13.234375 |
| [55; 60) | 57.5 | 8 | 57.5 - 53.875 = 3.625 | (3.625)^2 = 13.140625 | 13.140625 × 8 = 105.125 |
| [60; 65) | 62.5 | 8 | 62.5 - 53.875 = 8.625 | (8.625)^2 = 74.390625 | 74.390625 × 8 = 595.125 |
| [65; 70) | 67.5 | 2 | 67.5 - 53.875 = 13.625 | (13.625)^2 = 185.640625 | 185.640625 × 2 = 371.28125 |
Tổng bình phương độ lệch × tần số:
Phương sai:
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn:
Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là .
Câu 2:
Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương, ta sử dụng công thức phương trình tham số của đường thẳng trong không gian.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương có dạng:
Áp dụng vào bài toán, ta có:
- Điểm nên , ,
- Vectơ chỉ phương nên , ,
Thay vào công thức trên, ta được:
So sánh với các đáp án đã cho:
- Đáp án A:
- Đáp án B:
- Đáp án C:
- Đáp án D:
Ta thấy rằng phương trình tham số đúng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 3:
Cấp số nhân có và công bội . Ta cần tìm giá trị của .
Trước tiên, ta biết rằng trong một cấp số nhân, mỗi số hạng được tính bằng cách nhân số hạng trước đó với công bội. Do đó, ta có:
Ở đây, , , và ta cần tìm . Ta giả sử để đơn giản hóa việc tính toán (vì sẽ dễ dàng hơn để tính toán so với các số hạng khác).
Do đó:
Giải phương trình này để tìm :
Tuy nhiên, ta thấy rằng giá trị này không nằm trong các lựa chọn đã cho. Do đó, ta cần kiểm tra lại giả sử của mình. Giả sử :
Giải phương trình này để tìm :
Vậy giá trị của là 5.
Đáp án đúng là: A. 5.
Câu 4:
Nguyên hàm của hàm số là:
Ta biết rằng đạo hàm của là . Do đó, nguyên hàm của sẽ là nhân với một hằng số để bù đắp phần hằng số bị mất khi tính đạo hàm.
Vậy nguyên hàm của là:
Đáp án đúng là:
Đáp số:
Câu 5:
Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính diện tích đáy ABCD:
- Đáy ABCD là hình vuông với cạnh .
- Diện tích đáy là:
2. Xác định chiều cao SA:
- Chiều cao .
3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp:
- Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính theo công thức:
- Thay các giá trị đã biết vào công thức:
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là .
Đáp án đúng là: .
Câu 6:
Để tìm góc giữa hai đường thẳng và trong hình lập phương , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vị trí của các điểm và đường thẳng:
- là đỉnh đối diện với trên mặt phẳng .
- là đỉnh đối diện với trên mặt phẳng .
- là cạnh của hình lập phương nằm trên mặt đáy .
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
- Mặt phẳng chứa là .
- Mặt phẳng chứa là .
- Giao tuyến của hai mặt phẳng này là .
3. Xác định góc giữa hai đường thẳng:
- Góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa đường thẳng và đường thẳng khi chúng nằm trong cùng một mặt phẳng.
- Ta hạ đường vuông góc từ xuống tại điểm . Khi đó, góc chính là góc giữa hai đường thẳng và .
4. Tính toán góc:
- Trong tam giác , ta thấy rằng và đều là các đoạn thẳng vuông góc với và có độ dài bằng nhau (do tính chất đối xứng của hình lập phương).
- Do đó, tam giác là tam giác vuông cân tại , và góc sẽ là .
Vậy góc giữa hai đường thẳng và là .
Đáp án đúng là: .
Câu 7:
Để tìm tâm của mặt cầu có phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Viết phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh:
Ta nhóm các hạng tử liên quan đến , , và :
2. Hoàn chỉnh bình phương cho mỗi biến:
- Với :
- Với :
- Với :
3. Thay vào phương trình ban đầu:
4. Rút gọn phương trình:
5. So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu:
Phương trình chuẩn của mặt cầu có dạng:
Từ đó, ta thấy tâm của mặt cầu là .
Vậy tâm của mặt cầu có tọa độ là .