Một gia đình muốn xây một hồ chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể
tích bằng 3 400m đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng. Giá thuê nhân
công xây bể là 450 000đồng/ 2 m(bao gồm cả diện tích tường và đáy bể). Hỏi chi phí thuê nhân
công thấp nhất mà gia đình đó phải trả để xây hồ chứa nước là bao nhiêu triệu đồng?

Question

Một gia đình muốn xây một hồ chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể 
tích bằng 3 400m đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng. Giá thuê nhân 
công xây bể là 450 000đồng/ 2 m(bao gồm cả diện tích tường và đáy bể). Hỏi chi phí thuê nhân 
công thấp nhất mà gia đình đó phải trả để xây hồ chứa nước là bao nhiêu triệu đồng?

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các đại lượng liên quan.
2. Lập phương trình để tìm các kích thước của hồ chứa nước.
3. Tính diện tích toàn phần của hồ chứa nước.
4. Tính chi phí thuê nhân công.

Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan

- Thể tích của hồ chứa nước: 3 400 m³
- Chiều dài gấp 4 lần chiều rộng.
- Chi phí thuê nhân công: 450 000 đồng/m²

Bước 2: Lập phương trình để tìm các kích thước của hồ chứa nước

Gọi chiều rộng của hồ chứa nước là $ x $ (m), thì chiều dài là $ 4x $ (m). Gọi chiều cao của hồ chứa nước là $ h $ (m).

Thể tích của hồ chứa nước là:
$$ 4x \times x \times h = 3400 $$
$$ 4x^2 \times h = 3400 $$
$$ h = \frac{3400}{4x^2} $$
$$ h = \frac{850}{x^2} $$

Bước 3: Tính diện tích toàn phần của hồ chứa nước

Diện tích toàn phần của hồ chứa nước bao gồm diện tích đáy và diện tích các mặt bên.

Diện tích đáy:
$$ S_{đáy} = 4x \times x = 4x^2 $$

Diện tích các mặt bên:
$$ S_{cạnh1} = 4x \times h = 4x \times \frac{850}{x^2} = \frac{3400}{x} $$
$$ S_{cạnh2} = x \times h = x \times \frac{850}{x^2} = \frac{850}{x} $$

Diện tích toàn phần:
$$ S_{toàn phần} = 4x^2 + 2 \left( \frac{3400}{x} \right) + 2 \left( \frac{850}{x} \right) $$
$$ S_{toàn phần} = 4x^2 + \frac{6800}{x} + \frac{1700}{x} $$
$$ S_{toàn phần} = 4x^2 + \frac{8500}{x} $$

Bước 4: Tính chi phí thuê nhân công

Chi phí thuê nhân công:
$$ C = 450 000 \times S_{toàn phần} $$
$$ C = 450 000 \times \left( 4x^2 + \frac{8500}{x} \right) $$

Để chi phí thuê nhân công thấp nhất, ta cần tối ưu hóa diện tích toàn phần. Ta sẽ tìm giá trị của $ x $ sao cho diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Ta có:
$$ f(x) = 4x^2 + \frac{8500}{x} $$

Đạo hàm của $ f(x) $:
$$ f'(x) = 8x - \frac{8500}{x^2} $$

Đặt $ f'(x) = 0 $:
$$ 8x - \frac{8500}{x^2} = 0 $$
$$ 8x = \frac{8500}{x^2} $$
$$ 8x^3 = 8500 $$
$$ x^3 = 1062.5 $$
$$ x = \sqrt[3]{1062.5} \approx 10.2 $$

Với $ x = 10.2 $, ta tính diện tích toàn phần:
$$ S_{toàn phần} = 4(10.2)^2 + \frac{8500}{10.2} $$
$$ S_{toàn phần} = 4 \times 104.04 + 833.33 $$
$$ S_{toàn phần} = 416.16 + 833.33 $$
$$ S_{toàn phần} = 1249.49 \text{ m}^2 $$

Chi phí thuê nhân công:
$$ C = 450 000 \times 1249.49 $$
$$ C = 562 270 500 \text{ đồng} $$
$$ C = 562.27 \text{ triệu đồng} $$

Vậy chi phí thuê nhân công thấp nhất mà gia đình đó phải trả để xây hồ chứa nước là khoảng 562.27 triệu đồng.

Một gia đình muốn xây một hồ chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3 400m đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là 450 000đồng/...