Giải vs giải thích

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức dân số $S = Ae^{rt}$, trong đó: - $A$ là dân số ban đầu (năm 2021), - $r$ là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, - $t$ là thời gian tính từ năm 2021, - $S$ là dân số vào thời điểm $t$. Bước 1: Xác định các giá trị đã biết - Dân số Việt Nam năm 2021: $A = 95,564,407$ người. - Tỉ lệ tăng dân số hàng năm: $r = 0.93\% = 0.0093$. Bước 2: Xác định giá trị cần tìm Chúng ta cần tìm thời điểm $t$ khi dân số Việt Nam vượt 120 triệu người, tức là $S > 120,000,000$ người. Bước 3: Áp dụng công thức dân số \[ S = 95,564,407 \cdot e^{0.0093t} \] Bước 4: Giải phương trình để tìm $t$ \[ 120,000,000 = 95,564,407 \cdot e^{0.0093t} \] \[ \frac{120,000,000}{95,564,407} = e^{0.0093t} \] \[ \ln\left(\frac{120,000,000}{95,564,407}\right) = 0.0093t \] \[ t = \frac{\ln\left(\frac{120,000,000}{95,564,407}\right)}{0.0093} \] Bước 5: Tính toán \[ \frac{120,000,000}{95,564,407} \approx 1.2556 \] \[ \ln(1.2556) \approx 0.228 \] \[ t = \frac{0.228}{0.0093} \approx 24.52 \] Bước 6: Kết luận Thời gian $t$ khoảng 24.52 năm. Do đó, từ năm 2021 + 25 = 2046 trở đi, dân số Việt Nam sẽ vượt 120 triệu người. Đáp số: Năm 2046. Câu 2: Để tính khoảng cách giữa hai điểm \( I(3;4;5) \) và \( M(7;10;17) \), chúng ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. Công thức khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) là: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán: - \( I(3;4;5) \) có tọa độ \( (x_1, y_1, z_1) = (3, 4, 5) \) - \( M(7;10;17) \) có tọa độ \( (x_2, y_2, z_2) = (7, 10, 17) \) Thay vào công thức: \[ IM = \sqrt{(7 - 3)^2 + (10 - 4)^2 + (17 - 5)^2} \] \[ IM = \sqrt{(4)^2 + (6)^2 + (12)^2} \] \[ IM = \sqrt{16 + 36 + 144} \] \[ IM = \sqrt{196} \] \[ IM = 14 \] Vậy khoảng cách giữa hai vị trí \( I \) và \( M \) là 14 mét. Đáp số: 14 mét. Câu 3: Để tìm giá trị của \( m + n + p \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm: Ta có ba điểm \( A(1, 1, 10) \), \( B(4, 3, 1) \), và \( C(3, 2, 5) \). 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) sẽ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = (4 - 1, 3 - 1, 1 - 10) = (3, 2, -9) \] \[ \overrightarrow{AC} = (3 - 1, 2 - 1, 5 - 10) = (2, 1, -5) \] 3. Tính tích có hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & -9 \\ 2 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot (-5) - (-9) \cdot 1) - \mathbf{j}(3 \cdot (-5) - (-9) \cdot 2) + \mathbf{k}(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(-10 + 9) - \mathbf{j}(-15 + 18) + \mathbf{k}(3 - 4) \] \[ = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(-1) \] \[ = (-1, -3, -1) \] 4. Phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(1, 1, 10) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (-1, -3, -1) \) là: \[ -1(x - 1) - 3(y - 1) - 1(z - 10) = 0 \] \[ -x + 1 - 3y + 3 - z + 10 = 0 \] \[ -x - 3y - z + 14 = 0 \] \[ x + 3y + z - 14 = 0 \] 5. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình mặt phẳng đã cho là \( x + my + mz + p = 0 \). So sánh với phương trình \( x + 3y + z - 14 = 0 \), ta có: \[ m = 3, \quad n = 1, \quad p = -14 \] 6. Tính giá trị của \( m + n + p \): \[ m + n + p = 3 + 1 - 14 = -10 \] Vậy giá trị của \( m + n + p \) là \(\boxed{-10}\). Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích ban đầu của tấm nhôm hình vuông. 2. Xác định diện tích bị cắt bỏ và diện tích còn lại. 3. Xác định chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật. 4. Lập biểu thức thể tích của hình hộp chữ nhật. 5. Tìm giá trị của x để thể tích lớn nhất. Bước 1: Diện tích ban đầu của tấm nhôm hình vuông là: \[ S_{\text{ban đầu}} = 12 \times 12 = 144 \, \text{cm}^2 \] Bước 2: Diện tích bị cắt bỏ là: \[ S_{\text{cắt bỏ}} = 4 \times x^2 = 4x^2 \, \text{cm}^2 \] Diện tích còn lại là: \[ S_{\text{còn lại}} = 144 - 4x^2 \, \text{cm}^2 \] Bước 3: Chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật: - Chiều dài và chiều rộng của phần còn lại là \( 12 - 2x \) (vì mỗi bên bị cắt đi hai lần x). - Chiều cao của hình hộp chữ nhật là x. Bước 4: Biểu thức thể tích của hình hộp chữ nhật: \[ V = (12 - 2x)(12 - 2x)x = (12 - 2x)^2 x \] Bước 5: Tìm giá trị của x để thể tích lớn nhất: \[ V = (12 - 2x)^2 x \] \[ V = (144 - 48x + 4x^2) x \] \[ V = 144x - 48x^2 + 4x^3 \] Để tìm giá trị của x làm thể tích lớn nhất, chúng ta sẽ tính đạo hàm của V và tìm điểm cực đại: \[ V' = 144 - 96x + 12x^2 \] Tìm x sao cho V' = 0: \[ 12x^2 - 96x + 144 = 0 \] \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm 4}{2} \] \[ x = 6 \, \text{hoặc} \, x = 2 \] Kiểm tra điều kiện để xác định giá trị nào làm thể tích lớn nhất: - Nếu x = 6, thì chiều dài và chiều rộng của phần còn lại là \( 12 - 2 \times 6 = 0 \), không hợp lý. - Nếu x = 2, thì chiều dài và chiều rộng của phần còn lại là \( 12 - 2 \times 2 = 8 \), hợp lý. Vậy giá trị của x để thể tích của khối hộp đó là lớn nhất là: \[ x = 2 \, \text{cm} \] Đáp số: \( x = 2 \, \text{cm} \) Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của hai parabol \( y = f(x) \) và \( y = g(x) \). 2. Tìm giao điểm của hai parabol để xác định khoảng tích phân. 3. Tính diện tích phần tô đậm bằng cách tính diện tích giữa hai parabol trong khoảng đã xác định. Bước 1: Xác định phương trình của hai parabol Từ hình vẽ, ta thấy: - Parabol \( y = f(x) \) có đỉnh tại \( (0, 0) \) và đi qua điểm \( (2, 4) \). Do đó, phương trình của nó có dạng \( y = ax^2 \). Thay \( (2, 4) \) vào phương trình, ta có: \[ 4 = a \cdot 2^2 \implies 4 = 4a \implies a = 1 \] Vậy phương trình của parabol \( y = f(x) \) là \( y = x^2 \). - Parabol \( y = g(x) \) có đỉnh tại \( (0, 4) \) và đi qua điểm \( (2, 0) \). Do đó, phương trình của nó có dạng \( y = -bx^2 + 4 \). Thay \( (2, 0) \) vào phương trình, ta có: \[ 0 = -b \cdot 2^2 + 4 \implies 0 = -4b + 4 \implies 4b = 4 \implies b = 1 \] Vậy phương trình của parabol \( y = g(x) \) là \( y = -x^2 + 4 \). Bước 2: Tìm giao điểm của hai parabol Để tìm giao điểm của hai parabol, ta giải phương trình: \[ x^2 = -x^2 + 4 \] \[ 2x^2 = 4 \] \[ x^2 = 2 \] \[ x = \pm \sqrt{2} \] Vậy hai giao điểm là \( x = \sqrt{2} \) và \( x = -\sqrt{2} \). Bước 3: Tính diện tích phần tô đậm Diện tích phần tô đậm là diện tích giữa hai parabol từ \( x = -\sqrt{2} \) đến \( x = \sqrt{2} \): \[ A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \left( (-x^2 + 4) - x^2 \right) \, dx \] \[ A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \left( -2x^2 + 4 \right) \, dx \] Ta tính tích phân: \[ A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \] \[ A = \left( -\frac{2(\sqrt{2})^3}{3} + 4\sqrt{2} \right) - \left( -\frac{2(-\sqrt{2})^3}{3} + 4(-\sqrt{2}) \right) \] \[ A = \left( -\frac{2 \cdot 2\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} \right) - \left( -\frac{2 \cdot (-2\sqrt{2})}{3} - 4\sqrt{2} \right) \] \[ A = \left( -\frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} - 4\sqrt{2} \right) \] \[ A = \left( -\frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} \right) + \left( -\frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} \right) \] \[ A = 2 \left( -\frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} \right) \] \[ A = 2 \left( \frac{-4\sqrt{2} + 12\sqrt{2}}{3} \right) \] \[ A = 2 \left( \frac{8\sqrt{2}}{3} \right) \] \[ A = \frac{16\sqrt{2}}{3} \] Vậy diện tích phần tô đậm là \( \frac{16\sqrt{2}}{3} \).