Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

Câu 8: Để xác định tính chất biến thiên của hàm số \( y = x^3 - 2x^2 + x + 1 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số này và phân tích dấu của đạo hàm. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + x + 1) = 3x^2 - 4x + 1 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \] Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = 1 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \] \[ x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng giữa các nghiệm: - Trên khoảng \( (-\infty; \frac{1}{3}) \), chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 > 0 \] Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; \frac{1}{3}) \). - Trên khoảng \( (\frac{1}{3}; 1) \), chọn \( x = \frac{1}{2} \): \[ y'\left(\frac{1}{2}\right) = 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{3}{4} - 2 + 1 = -\frac{1}{4} < 0 \] Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (\frac{1}{3}; 1) \). - Trên khoảng \( (1; +\infty) \), chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0 \] Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (1; +\infty) \). Từ các phân tích trên, ta thấy rằng mệnh đề đúng là: B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (\frac{1}{3}; 1) \). Câu 9: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \), ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này và tìm các khoảng mà đạo hàm âm. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \). Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \left( \frac{2}{x^2 + 1} \right)' = \frac{(2)'(x^2 + 1) - 2(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 2 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 + 1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm \( y' \). Ta thấy rằng \( (x^2 + 1)^2 > 0 \) với mọi \( x \). Do đó, dấu của đạo hàm \( y' \) phụ thuộc vào dấu của tử số \( -4x \). - Khi \( x > 0 \), ta có \( -4x < 0 \), do đó \( y' < 0 \). - Khi \( x < 0 \), ta có \( -4x > 0 \), do đó \( y' > 0 \). Bước 3: Kết luận khoảng nghịch biến của hàm số. Hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \) nghịch biến trên khoảng \( (0; +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: \[ B.~(0; +\infty) \] Câu 10: Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = x^3 + 3x + 2$, ta cần tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x + 2) = 3x^2 + 3 \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm: \[ y' = 3x^2 + 3 \] Ta thấy rằng $3x^2$ luôn luôn không âm (vì $x^2 \geq 0$) và cộng thêm 3 nữa sẽ luôn luôn dương: \[ 3x^2 + 3 > 0 \quad \text{đối với mọi} \quad x \in \mathbb{R} \] Bước 3: Kết luận về tính chất đồng biến/nghịch biến: - Vì đạo hàm $y'$ luôn luôn dương ($y' > 0$) trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$, nên hàm số $y = x^3 + 3x + 2$ là hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. Do đó, mệnh đề đúng là: C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ Đáp án: C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. Câu 11: Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = \sqrt{2x^2 + 1}$, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{2x^2 + 1}$. \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x^2 + 1} \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dx}(2x^2 + 1) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 1}} \cdot 4x \] \[ y' = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm $y'$ để xác định tính chất đồng biến/nghịch biến của hàm số. - Khi $x > 0$, ta có $\frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}} > 0$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$. - Khi $x < 0$, ta có $\frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}} < 0$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$. Vậy, mệnh đề đúng là: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$ Đáp án: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$. Câu 12: Để giải quyết câu hỏi về tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số, chúng ta cần biết cụ thể hàm số đó là gì. Tuy nhiên, dựa vào các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể suy ra rằng hàm số có dạng đặc biệt liên quan đến điểm x = 1. Giả sử hàm số là \( f(x) \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f'(x) \). Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng đã cho. Bước 3: Kết luận tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm. Dưới đây là ví dụ chi tiết với hàm số \( f(x) = (x - 1)^2 \): 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f(x) = (x - 1)^2 \] \[ f'(x) = 2(x - 1) \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: - Trên khoảng \( (-\infty; 1) \): \[ x < 1 \Rightarrow x - 1 < 0 \Rightarrow 2(x - 1) < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên \( (-\infty; 1) \), hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng \( (1; +\infty) \): \[ x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0 \Rightarrow 2(x - 1) > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên \( (1; +\infty) \), hàm số đồng biến trên khoảng này. 3. Kết luận: Hàm số \( f(x) = (x - 1)^2 \) nghịch biến trên \( (-\infty; 1) \) và đồng biến trên \( (1; +\infty) \). Do đó, đáp án đúng là: D. Hàm số đã cho đồng biến trên \( (1; +\infty) \) và nghịch biến trên \( (-\infty; 1) \).