giúp mik với

Câu 9: Để tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = \sqrt{x} \), trục Ox và hai đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 4 \) khi quay quanh trục hoành, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) \) là hàm số giới hạn hình phẳng. - \( a \) và \( b \) là cận trên và cận dưới của đoạn tích phân. Trong bài toán này: - \( f(x) = \sqrt{x} \) - \( a = 1 \) - \( b = 4 \) Áp dụng vào công thức, ta có: \[ V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{1}^{4} x \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~V = \pi \int_{1}^{4} x \, dx \] Câu 10: Để tìm góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (AC'D'), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (ABCD) bao gồm các đỉnh A, B, C, D. - Mặt phẳng (AC'D') bao gồm các đỉnh A, C', D'. - Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng AD. 2. Tìm góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bằng góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến. - Ta chọn đường thẳng AC trong mặt phẳng (ABCD) và đường thẳng C'D' trong mặt phẳng (AC'D'). - Đường thẳng AC và C'D' đều vuông góc với giao tuyến AD. 3. Xác định góc giữa hai đường thẳng AC và C'D': - Trong hình lập phương, các cạnh đều bằng nhau và vuông góc với nhau. - Ta có AC là đường chéo của mặt đáy ABCD, và C'D' là đường chéo của mặt bên A'B'C'D'. - Vì hình lập phương có tất cả các cạnh bằng nhau và vuông góc với nhau, nên góc giữa AC và C'D' sẽ là góc giữa hai đường chéo của hai mặt phẳng vuông góc với nhau. 4. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và C'D': - Trong hình lập phương, góc giữa hai đường chéo của hai mặt phẳng vuông góc với nhau là 45°. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (AC'D') là 45°. Đáp án đúng là: A. 45°. Câu 11: Để tính khoảng cách từ điểm \( I(1;1;1) \) đến mặt phẳng \( (P): x - 2y + 2z - 16 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( a = 1 \) - \( b = -2 \) - \( c = 2 \) - \( d = -16 \) - \( x_0 = 1 \) - \( y_0 = 1 \) - \( z_0 = 1 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 16|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|1 - 2 + 2 - 16|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|1 - 2 + 2 - 16|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{|-15|}{3} \] \[ d = \frac{15}{3} \] \[ d = 5 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( I(1;1;1) \) đến mặt phẳng \( (P): x - 2y + 2z - 16 = 0 \) là 5. Đáp án đúng là: C. 5. Câu 12: Để xác định đường cong cho trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho để xem nó có thỏa mãn các đặc điểm của đồ thị không. 1. Kiểm tra các giá trị đặc biệt: - Đồ thị đi qua điểm (0,1). Do đó, hàm số phải có giá trị y = 1 khi x = 0. - Kiểm tra từng hàm số: - \( A.~y=-x^3+2x-1 \) \[ y(0) = -(0)^3 + 2(0) - 1 = -1 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] - \( B.~y=-x^3+3x+1 \) \[ y(0) = -(0)^3 + 3(0) + 1 = 1 \quad (\text{thỏa mãn}) \] - \( C.~y=2x^3-6x+1 \) \[ y(0) = 2(0)^3 - 6(0) + 1 = 1 \quad (\text{thỏa mãn}) \] - \( D.~y=x^3-3x+1 \) \[ y(0) = (0)^3 - 3(0) + 1 = 1 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 2. Kiểm tra các điểm cực trị: - Đồ thị có hai điểm cực trị, một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Để xác định các điểm cực trị, chúng ta tính đạo hàm của mỗi hàm số và tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0. - \( B.~y=-x^3+3x+1 \) \[ y' = -3x^2 + 3 \] \[ y' = 0 \implies -3x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] - Đồ thị có điểm cực đại tại \( (1, 3) \) và điểm cực tiểu tại \( (-1, -1) \). - \( C.~y=2x^3-6x+1 \) \[ y' = 6x^2 - 6 \] \[ y' = 0 \implies 6x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 1 = 2 - 6 + 1 = -3 \] - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 1 = -2 + 6 + 1 = 5 \] - Đồ thị có điểm cực đại tại \( (-1, 5) \) và điểm cực tiểu tại \( (1, -3) \). - \( D.~y=x^3-3x+1 \) \[ y' = 3x^2 - 3 \] \[ y' = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] - Đồ thị có điểm cực đại tại \( (-1, 3) \) và điểm cực tiểu tại \( (1, -1) \). 3. So sánh với đồ thị: - Đồ thị cho trong hình có điểm cực đại tại \( (-1, 3) \) và điểm cực tiểu tại \( (1, -1) \). - Chỉ có hàm số \( D.~y=x^3-3x+1 \) thỏa mãn các điều kiện này. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~y=x^3-3x+1} \]