trả lời các câu

Câu 1. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và vectơ: - Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. - Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy ABCD. - Ta có SO là đường cao của chóp S.ABCD. 2. Tính chiều dài SO: - Vì S.ABCD là chóp đều, SO vuông góc với mặt đáy ABCD. - Ta có SO là đường cao của tam giác đều SAD, SAB, SBC, SCD. - Chiều dài OA = $\frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOA: \[ SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 - 2} = \sqrt{6} \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAD): - Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = \vec{SO}$. - Ta có $\vec{SO} = (0, 0, \sqrt{6})$. 4. Tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD): - Phương trình mặt phẳng (SAD) là $z = \sqrt{6}$. - Khoảng cách từ điểm B(2, 0, 0) đến mặt phẳng này là: \[ d(B, (SAD)) = \frac{|0 - \sqrt{6}|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \sqrt{6} \] 5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song với nhau là khoảng cách từ một điểm trên một đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng đầu tiên. - Vì AB // CD và SD nằm trong mặt phẳng (SCD), khoảng cách giữa AB và SD chính là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD). 6. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD): - Mặt phẳng (SCD) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = \vec{SO}$. - Phương trình mặt phẳng (SCD) là $z = \sqrt{6}$. - Khoảng cách từ điểm B(2, 0, 0) đến mặt phẳng này là: \[ d(B, (SCD)) = \frac{|0 - \sqrt{6}|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \sqrt{6} \] 7. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là $\sqrt{6}$. - Làm tròn đến hàng phần mười: $\sqrt{6} \approx 2.4$ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là 2.4. Câu 2. Để tìm chi phí thấp nhất của xe giao hàng, chúng ta sẽ áp dụng thuật toán Nearest Neighbor (khuôn viên gần nhất) để tìm đường đi ngắn nhất. Bước 1: Chọn một điểm xuất phát bất kỳ, giả sử chọn thành phố A. Bước 2: Từ thành phố A, tìm thành phố gần nhất chưa ghé qua. Đó là thành phố B với chi phí 10. Bước 3: Từ thành phố B, tìm thành phố gần nhất chưa ghé qua. Đó là thành phố C với chi phí 15. Bước 4: Từ thành phố C, tìm thành phố gần nhất chưa ghé qua. Đó là thành phố D với chi phí 20. Bước 5: Từ thành phố D, tìm thành phố gần nhất chưa ghé qua. Đó là thành phố E với chi phí 10. Bước 6: Từ thành phố E, trở về thành phố A với chi phí 25. Tổng chi phí của hành trình này là: \[ 10 + 15 + 20 + 10 + 25 = 80 \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra các hành trình khác để đảm bảo rằng hành trình này thực sự có chi phí thấp nhất. - Nếu xuất phát từ thành phố B: - B -> A (10) - A -> C (15) - C -> D (20) - D -> E (10) - E -> B (25) Tổng chi phí: 10 + 15 + 20 + 10 + 25 = 80 - Nếu xuất phát từ thành phố C: - C -> B (15) - B -> A (10) - A -> D (20) - D -> E (10) - E -> C (25) Tổng chi phí: 15 + 10 + 20 + 10 + 25 = 80 - Nếu xuất phát từ thành phố D: - D -> C (20) - C -> B (15) - B -> A (10) - A -> E (25) - E -> D (10) Tổng chi phí: 20 + 15 + 10 + 25 + 10 = 80 - Nếu xuất phát từ thành phố E: - E -> D (10) - D -> C (20) - C -> B (15) - B -> A (10) - A -> E (25) Tổng chi phí: 10 + 20 + 15 + 10 + 25 = 80 Như vậy, không quan trọng xuất phát từ thành phố nào, tổng chi phí của hành trình luôn là 80. Vậy, chi phí thấp nhất của xe giao hàng là 80. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho máy bay hạ cánh từ vị trí A(5; 0; 5) đến vị trí B(10; 10; 3) và hạ cánh tại vị trí M(a; b; 0). Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng AB. - Vector AB = (10 - 5, 10 - 0, 3 - 5) = (5, 10, -2). - Đường thẳng AB có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 5 + 5t \\ y = 0 + 10t \\ z = 5 - 2t \end{cases} \] Bước 2: Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (Oxy) (z = 0). - Thay z = 0 vào phương trình tham số: \[ 5 - 2t = 0 \implies t = \frac{5}{2} \] Bước 3: Tìm tọa độ của điểm M. - Thay \( t = \frac{5}{2} \) vào phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 5 + 5 \cdot \frac{5}{2} = 5 + \frac{25}{2} = \frac{35}{2} \\ y = 0 + 10 \cdot \frac{5}{2} = 25 \\ z = 0 \end{cases} \] Vậy tọa độ của điểm M là \( \left( \frac{35}{2}, 25, 0 \right) \). Bước 4: Tính giá trị của \( a + b \). - \( a = \frac{35}{2} \) - \( b = 25 \) - \( a + b = \frac{35}{2} + 25 = \frac{35}{2} + \frac{50}{2} = \frac{85}{2} = 42.5 \) Vậy giá trị của \( a + b \) là 42.5. Đáp số: 42.5 Câu 4. Để tính diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của parabol: - Ta giả sử parabol có đỉnh tại điểm O(0,0) và trục đối xứng là trục y. - Khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m, tức là A(-4,0) và B(4,0). - Phương trình của parabol có dạng: \( y = ax^2 \). 2. Tìm giá trị của \( a \): - Điểm B(4,0) thuộc parabol, thay vào phương trình ta có: \[ 0 = a \cdot 4^2 \implies a = 0 \] - Điều này không đúng vì parabol phải mở rộng ra. Do đó, ta cần thêm thông tin về điểm khác trên parabol để xác định \( a \). 3. Xác định điểm M và N: - Biết \( MN = 4 \) m và \( MQ = 6 \) m, ta có M và N nằm trên parabol. - Giả sử M có tọa độ (x, y), thì N sẽ có tọa độ (-x, y) do đối xứng qua trục y. - Vì \( MN = 4 \) m, nên khoảng cách giữa M và N là 4 m, suy ra \( 2x = 4 \implies x = 2 \). 4. Tìm tọa độ của M và N: - Thay \( x = 2 \) vào phương trình parabol \( y = ax^2 \): \[ y = a \cdot 2^2 = 4a \] - Biết \( MQ = 6 \) m, tức là khoảng cách từ M xuống mặt đất là 6 m, suy ra \( y = 6 \): \[ 4a = 6 \implies a = \frac{6}{4} = 1.5 \] - Vậy phương trình của parabol là \( y = 1.5x^2 \). 5. Tính diện tích hình chữ nhật MPQN: - Chiều dài \( MN = 4 \) m, chiều cao \( MQ = 6 \) m. - Diện tích hình chữ nhật \( S_{MPQN} = MN \times MQ = 4 \times 6 = 24 \) m². 6. Tính diện tích phần phía ngoài phông: - Diện tích toàn bộ hình parabol từ A đến B: \[ S_{AB} = \int_{-4}^{4} 1.5x^2 \, dx = 1.5 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-4}^{4} = 1.5 \left( \frac{4^3}{3} - \frac{(-4)^3}{3} \right) = 1.5 \left( \frac{64}{3} + \frac{64}{3} \right) = 1.5 \times \frac{128}{3} = 64 \text{ m}^2 \] - Diện tích phần phía ngoài phông: \[ S_{phía\ ngoài} = S_{AB} - S_{MPQN} = 64 - 24 = 40 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa là 40 m². Câu 5. Để tìm số lượng sản phẩm mà nhà máy A nên bán cho nhà máy B để tối đa hóa lợi nhuận, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính doanh thu: Doanh thu từ việc bán x tấn sản phẩm là: \[ R(x) = x \cdot P(x) = x \cdot (45 - 0,001x^3) \] \[ R(x) = 45x - 0,001x^4 \] 2. Tính lợi nhuận: Lợi nhuận là doanh thu trừ đi chi phí: \[ L(x) = R(x) - C(x) \] \[ L(x) = (45x - 0,001x^4) - (100 + 30x) \] \[ L(x) = 45x - 0,001x^4 - 100 - 30x \] \[ L(x) = 15x - 0,001x^4 - 100 \] 3. Tìm giá trị cực đại của lợi nhuận: Để tìm giá trị cực đại của \(L(x)\), chúng ta tính đạo hàm của \(L(x)\) và đặt nó bằng 0: \[ L'(x) = \frac{d}{dx}(15x - 0,001x^4 - 100) \] \[ L'(x) = 15 - 0,004x^3 \] Đặt \(L'(x) = 0\): \[ 15 - 0,004x^3 = 0 \] \[ 0,004x^3 = 15 \] \[ x^3 = \frac{15}{0,004} \] \[ x^3 = 3750 \] \[ x = \sqrt[3]{3750} \approx 15,54 \] 4. Kiểm tra điều kiện: Vì \(x\) phải là số dương và không vượt quá 100 tấn, ta thấy \(x \approx 15,54\) nằm trong khoảng này. 5. Kết luận: Nhà máy A nên bán cho nhà máy B khoảng 15,54 tấn sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận. Đáp số: 15,54 tấn. Câu 6. Để giải quyết câu hỏi về xác suất người đó thực sự bị bệnh khi kết quả kiểm tra là dương tính, chúng ta sẽ sử dụng định lý Bayes. Bước 1: Xác định các biến và xác suất ban đầu: - Xác suất mắc bệnh: \( P(B) = 0.01 \) - Xác suất không mắc bệnh: \( P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 0.99 \) - Xác suất dương tính khi mắc bệnh: \( P(D|B) = 0.99 \) - Xác suất dương tính khi không mắc bệnh: \( P(D|\bar{B}) = 0.01 \) Bước 2: Áp dụng định lý Bayes để tìm xác suất mắc bệnh khi kết quả dương tính: \[ P(B|D) = \frac{P(D|B) \cdot P(B)}{P(D)} \] Trong đó, \( P(D) \) là xác suất dương tính tổng thể, được tính bằng: \[ P(D) = P(D|B) \cdot P(B) + P(D|\bar{B}) \cdot P(\bar{B}) \] \[ P(D) = 0.99 \cdot 0.01 + 0.01 \cdot 0.99 \] \[ P(D) = 0.0099 + 0.0099 \] \[ P(D) = 0.0198 \] Bước 3: Thay vào công thức Bayes: \[ P(B|D) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0198} \] \[ P(B|D) = \frac{0.0099}{0.0198} \] \[ P(B|D) = 0.5 \] Vậy xác suất để người đó thực sự bị bệnh khi kết quả kiểm tra là dương tính là 0.5 hoặc 50%. Đáp số: 50%