Tìm phần dư của phép chia đa thức P(x) cho (x - 1)(x + 2).Biết rằng đa thức P(x) chia cho x - 1 dư 7 và chia cho x + 2 dư 1.

Để tìm phần dư của phép chia đa thức $P(x)$ cho $(x-1)(x+2)$, ta sử dụng định lý phần dư.

Theo định lý phần dư, khi chia một đa thức $P(x)$ cho một nhị thức $x-a$, phần dư là $P(a)$.

1. Theo đề bài, đa thức $P(x)$ chia cho $x-1$ dư $7$.

  Điều này có nghĩa là $P(1) = 7$.

2. Theo đề bài, đa thức $P(x)$ chia cho $x+2$ dư $1$.

  Điều này có nghĩa là $P(-2) = 1$.

Khi chia đa thức $P(x)$ cho tích $(x-1)(x+2)$, ta có thể viết:

$P(x) = Q(x) \cdot (x-1)(x+2) + R(x)$

Trong đó $Q(x)$ là thương và $R(x)$ là phần dư.

Vì số chia $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ là một đa thức bậc $2$, nên phần dư $R(x)$ phải có bậc nhỏ hơn $2$.

Do đó, ta có thể đặt phần dư $R(x)$ có dạng $ax+b$.

Thay $R(x) = ax+b$ vào biểu thức chia, ta được: $P(x) = Q(x) \cdot (x-1)(x+2) + ax + b$

Bây giờ, ta sử dụng các giá trị $P(1)$ và $P(-2)$ đã biết:

*  Với $x=1$:

  $P(1) = Q(1) \cdot (1-1)(1+2) + a(1) + b$

  $P(1) = Q(1) \cdot (0)(3) + a + b$

  $P(1) = a + b$

  Vì $P(1) = 7$, ta có phương trình:

  $a + b = 7 \quad (1)$

*  Với $x=-2$:

  $P(-2) = Q(-2) \cdot (-2-1)(-2+2) + a(-2) + b$

  $P(-2) = Q(-2) \cdot (-3)(0) - 2a + b$

  $P(-2) = -2a + b$

  Vì $P(-2) = 1$, ta có phương trình:

  $-2a + b = 1 \quad (2)$

Ta có hệ phương trình gồm (1) và (2): $\begin{cases} a + b = 7 \\ -2a + b = 1 \end{cases}$

Trừ phương trình $(2)$ cho phương trình $(1)$:

$(-2a + b) - (a + b) = 1 - 7$ $-2a + b - a - b = -6$ $-3a = -6$ $a = 2$

Thay $a=2$ vào phương trình $(1)$: $2 + b = 7$ $b = 7 - 2$ $b = 5$

Vậy, phần dư $R(x)$ là $ax+b = 2x+5$

Kết luận: Phần dư của phép chia đa thức $P(x)$ cho $(x-1)(x+2)$ là $2x+5$