nhanhhhhhhhh

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a) Tính giá trị của hàm số tại các điểm cho trước Hàm số đã cho là: \[ f(x) = \sin^2 x - \cos x \cdot 2 \sin (\sin x)' \] Trước tiên, ta cần tính đạo hàm của \( \sin x \): \[ (\sin x)' = \cos x \] Do đó: \[ f(x) = \sin^2 x - \cos x \cdot 2 \sin x \cos x \] \[ f(x) = \sin^2 x - 2 \sin x \cos^2 x \] Bây giờ, ta tính giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) và \( x = \frac{\pi}{3} \): - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = \sin^2 0 - 2 \sin 0 \cos^2 0 = 0 - 0 = 0 \] - Tại \( x = \frac{\pi}{3} \): \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) - 2 \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) \] \[ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^2 \] \[ = \frac{3}{4} - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{1}{4}\right) \] \[ = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} \] \[ = \frac{3 - \sqrt{3}}{4} \] b) Đạo hàm của hàm số Ta đã tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \sin 2x + \sin x \] c) Tìm tổng các nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{4}, 2\pi]\) Phương trình: \[ \sin 2x + \sin x = 0 \] Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \[ \sin 2x + \sin x = 2 \sin \left(\frac{3x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ \sin \left(\frac{3x}{2}\right) = 0 \quad \text{hoặc} \quad \cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0 \] - \( \sin \left(\frac{3x}{2}\right) = 0 \): \[ \frac{3x}{2} = k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2k\pi}{3} \] - \( \cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0 \): \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \pi + 2k\pi \] Tìm các nghiệm trong đoạn \([- \frac{\pi}{4}, 2\pi]\): - \( x = \frac{2k\pi}{3} \): \[ k = 0 \Rightarrow x = 0 \] \[ k = 1 \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} \] \[ k = 2 \Rightarrow x = \frac{4\pi}{3} \] \[ k = 3 \Rightarrow x = 2\pi \] - \( x = \pi + 2k\pi \): \[ k = 0 \Rightarrow x = \pi \] Tổng các nghiệm: \[ 0 + \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi + \pi = 3\pi \] d) Tìm giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0, \pi]\) Ta đã có: \[ f(x) = \sin^2 x - 2 \sin x \cos^2 x \] Đạo hàm: \[ f'(x) = \sin 2x + \sin x \] Tìm các điểm cực trị: \[ \sin 2x + \sin x = 0 \] \[ 2 \sin x \cos x + \sin x = 0 \] \[ \sin x (2 \cos x + 1) = 0 \] - \( \sin x = 0 \): \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pi \] - \( 2 \cos x + 1 = 0 \): \[ \cos x = -\frac{1}{2} \] \[ x = \frac{2\pi}{3} \] Tính giá trị của \( f(x) \) tại các điểm này: - \( f(0) = 0 \) - \( f(\pi) = 0 \) - \( f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin^2 \left(\frac{2\pi}{3}\right) - 2 \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right) \cos^2 \left(\frac{2\pi}{3}\right) \) \[ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \] \[ = \frac{3}{4} - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{1}{4}\right) \] \[ = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} \] \[ = \frac{3 - \sqrt{3}}{4} \] Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0, \pi]\) là: \[ \boxed{\frac{5}{2}} \]