Cho hình vuông ABCD. Vẽ tam giác AEB đều nằm trong hình vuông. Đường thẳng AE cắt BD ở F, DE cắt FC ở K. Chứng minh rằng: a) Tam giác DFE cân. b) K là trung điểm của CF.

a) Ta có góc DAB = 90°, góc EAB = 60° nên góc DAE = 30°. Vì tam giác ABE đều nên góc AEB = 60°. Do đó, góc DFE = 180° - góc DAE - góc AEB = 180° - 30° - 60° = 90°. Vậy tam giác DFE là tam giác cân tại F. b) Ta có góc DAF = góc FAD = 30° (vì tam giác ABE đều và góc DAE = 30°). Do đó, tam giác DAF và tam giác FAD đồng dạng (góc DAF = góc FAD và góc DAF chung). Từ đó ta có tỉ số $\frac{DF}{FA} = \frac{FA}{FD}$. Điều này chứng tỏ tam giác DAF và tam giác FAD là tam giác cân tại F. Do đó, FK là đường cao và cũng là đường trung tuyến của tam giác DAF. Vậy K là trung điểm của CF.