Giúp mình với!Giúp mình với!

Câu 1. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số, ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Bảng biến thiên cho thấy các khoảng tăng và giảm của hàm số. Trong bảng biến thiên: - Khi \( x \) thuộc khoảng \( (-\infty; -2) \), hàm số tăng. - Khi \( x \) thuộc khoảng \( (-2; 0) \), hàm số giảm. - Khi \( x \) thuộc khoảng \( (0; 2) \), hàm số tăng. - Khi \( x \) thuộc khoảng \( (2; +\infty) \), hàm số giảm. Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-2; 0) \) và \( (2; +\infty) \). Tuy nhiên, trong các đáp án được đưa ra, chỉ có khoảng \( (2; +\infty) \) là đúng. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(2;+\infty). \] Câu 2. Để tìm thời gian trung bình để hoàn thành bài tập của các em học sinh, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung tâm của mỗi khoảng thời gian: - Khoảng $\overline{[0;4)}$: Trung tâm là $\frac{0 + 4}{2} = 2$ phút. - Khoảng $\overline{[4;8)}$: Trung tâm là $\frac{4 + 8}{2} = 6$ phút. - Khoảng $\overline{[8;12)}$: Trung tâm là $\frac{8 + 12}{2} = 10$ phút. - Khoảng $\overline{[12;16)}$: Trung tâm là $\frac{12 + 16}{2} = 14$ phút. - Khoảng $\overline{[16;20)}$: Trung tâm là $\frac{16 + 20}{2} = 18$ phút. 2. Nhân trung tâm của mỗi khoảng với số lượng học sinh tương ứng: - Khoảng $\overline{[0;4)}$: $2 \times 2 = 4$ phút. - Khoảng $\overline{[4;8)}$: $6 \times 4 = 24$ phút. - Khoảng $\overline{[8;12)}$: $10 \times 7 = 70$ phút. - Khoảng $\overline{[12;16)}$: $14 \times 4 = 56$ phút. - Khoảng $\overline{[16;20)}$: $18 \times 3 = 54$ phút. 3. Tính tổng số phút của tất cả các học sinh: \[ 4 + 24 + 70 + 56 + 54 = 208 \text{ phút} \] 4. Tính tổng số học sinh: \[ 2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20 \text{ học sinh} \] 5. Tính thời gian trung bình: \[ \text{Thời gian trung bình} = \frac{\text{Tổng số phút}}{\text{Tổng số học sinh}} = \frac{208}{20} = 10.4 \text{ phút} \] Vậy thời gian trung bình để hoàn thành bài tập của các em học sinh là 10,4 phút. Đáp án đúng là A. 10,4. Câu 3. Để tính khoảng cách từ điểm \( A(1;0;0) \) đến mặt phẳng \( (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm \( A(1;0;0) \) có tọa độ \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 0, 0) \) - Mặt phẳng \( (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 \) có các hệ số \( a = 2 \), \( b = 2 \), \( c = -1 \), \( d = 1 \) Thay vào công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} \] \[ d = \frac{|2 + 0 - 0 + 1|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} \] \[ d = \frac{|3|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{3}{3} \] \[ d = 1 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A(1;0;0) \) đến mặt phẳng \( (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 \) là 1. Đáp án đúng là: D. 1. Câu 4. Ta có: \[ \int^2_0 f(x) \, dx = \int^1_0 f(x) \, dx + \int^2_1 f(x) \, dx \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ -4 = 1 + \int^2_1 f(x) \, dx \] Giải phương trình này để tìm \(\int^2_1 f(x) \, dx\): \[ \int^2_1 f(x) \, dx = -4 - 1 = -5 \] Vậy đáp án đúng là: C. -5. Câu 5. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường \( y = e^{3x} \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) và \( x = 1 \) quanh trục Ox được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \( f(x) = e^{3x} \), \( a = 0 \) và \( b = 1 \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (e^{3x})^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} e^{6x} \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\pi\int^1_0e^{6x}dx. \] Câu 6: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O, ta có các vectơ từ đỉnh S đến các đỉnh của đáy ABCD. Ta sẽ tính tổng của các vectơ này. Ta có: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} \] Do O là tâm của hình bình hành ABCD, ta có các vectơ từ O đến các đỉnh của đáy ABCD là: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] Ta cũng biết rằng: \[ \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA}, \quad \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB}, \quad \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC}, \quad \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD} \] Thay vào tổng các vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD}) \] Gộp các vectơ giống nhau lại, ta có: \[ = 4\overrightarrow{SO} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] Vì O là tâm của hình bình hành ABCD, nên: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] Do đó: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] Vậy tổng các vectơ là: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO} \] Đáp án đúng là: \[ A.~4\overrightarrow{SO}. \] Câu 7: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 2x}{x + 1}$, ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Chia tử số $x^2 - 2x$ cho mẫu số $x + 1$: \[ \begin{array}{r|rr} & x & -3 \\ \hline x + 1 & x^2 & -2x \\ & x^2 & +x \\ \hline & & -3x \\ & & -3x & -3 \\ \hline & & & 3 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{x^2 - 2x}{x + 1} = x - 3 + \frac{3}{x + 1} \] Khi $x$ tiến đến vô cùng ($x \to \pm \infty$), phần $\frac{3}{x + 1}$ sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = x - 3 \] Vậy đáp án đúng là: B. $y = x - 3$. Câu 8: Để tìm phương trình đường thẳng AB trong không gian Oxyz, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB có thể được tìm bằng cách lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 1 + 2, 1 - 3) = (2, 3, -2) \] Phương trình đường thẳng AB sẽ có dạng: \[ \frac{x - x_A}{a} = \frac{y - y_A}{b} = \frac{z - z_A}{c} \] trong đó $(x_A, y_A, z_A)$ là tọa độ của điểm A và $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$. Thay tọa độ của điểm A và vectơ chỉ phương vào phương trình trên, ta có: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{-2} \] Vậy phương trình đường thẳng AB là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{-2} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\frac{x-1}2=\frac{y+2}3=\frac{z-3}{-2}. \] Câu 9. Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có SO là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD). Do SA ⊥ (ABCD), nên SO ⊥ (ABCD). Ta có góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc OSC. Ta tính SO: - Vì SA ⊥ (ABCD), nên SA ⊥ AC. - Tam giác SAC vuông tại A, ta có: \[ AC = a\sqrt{2} \] \[ SA = \sqrt{SD^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 - a^2} = \sqrt{3a^2 - a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] Vì O là trung điểm của AC, nên: \[ AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Trong tam giác vuông SAO, ta có: \[ SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2a^2 - \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{2a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{4a^2 - a^2}{2}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}} \] Bây giờ, ta tính góc OSC trong tam giác OSC: \[ \tan(\angle OSC) = \frac{SO}{OC} = \frac{a\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot 2}{a\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \] Vậy góc OSC là: \[ \angle OSC = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ \] Đáp án đúng là: D. 60° Câu 10. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log_{2024}(3 - x) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương, tức là: \[ 3 - x > 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 3 > x \] \[ x < 3 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty; 3) \] Đáp án đúng là: \( A.~D = (-\infty; 3) \) Câu 11. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin^2 x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Sử dụng công thức hạ bậc: Ta biết rằng: \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] 2. Tìm nguyên hàm của biểu thức đã biến đổi: \[ \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx \] Ta chia biểu thức thành hai phần: \[ \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx \] 3. Tính nguyên hàm từng phần: \[ \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx - \int \cos 2x \, dx \right) \] Nguyên hàm của 1 là \( x \): \[ \int 1 \, dx = x \] Nguyên hàm của \( \cos 2x \) là \( \frac{\sin 2x}{2} \): \[ \int \cos 2x \, dx = \frac{\sin 2x}{2} \] 4. Ghép lại kết quả: \[ \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin^2 x \) là: \[ \boxed{\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \] Câu 12. Để tìm bán kính của mặt cầu $(C):~x^2+y^2+z^2-4x+4y-2z+5=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn: Ta cần hoàn thành bình phương cho các biến \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình mặt cầu. \[ x^2 - 4x + y^2 + 4y + z^2 - 2z + 5 = 0 \] Ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại và hoàn thành bình phương: \[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 4y) + (z^2 - 2z) + 5 = 0 \] Ta thêm và bớt các hằng số để hoàn thành bình phương: \[ (x^2 - 4x + 4 - 4) + (y^2 + 4y + 4 - 4) + (z^2 - 2z + 1 - 1) + 5 = 0 \] Điều này dẫn đến: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 1)^2 - 1 + 5 = 0 \] Gộp các hằng số lại: \[ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 - 4 - 4 - 1 + 5 = 0 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 - 4 = 0 \] Do đó, phương trình mặt cầu chuẩn là: \[ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 4 \] 2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Phương trình chuẩn của mặt cầu có dạng \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\), trong đó tâm của mặt cầu là \((a, b, c)\) và bán kính là \(R\). So sánh với phương trình chuẩn trên, ta thấy tâm của mặt cầu là \((2, -2, 1)\) và bán kính \(R\) là \(\sqrt{4} = 2\). Vậy bán kính của mặt cầu là \(2\). Đáp án đúng là: D. 2