Câu 1:
a) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng -1.
- Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ là . Tại điểm này, giá trị của hàm số là . Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số là .
b) Phương trình có 2 nghiệm.
- Ta có phương trình , suy ra .
- Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm khác nhau. Do đó, phương trình có hai nghiệm.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng .
- Từ đồ thị, ta thấy hàm số tăng từ trái sang phải trên khoảng . Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng .
d) Tổng .
- Ta có (vì giá trị cực tiểu của hàm số tại là ).
- Ta cũng có (vì từ đồ thị, ta thấy ).
- Ta có (vì từ đồ thị, ta thấy ).
- Ta có (vì từ đồ thị, ta thấy ).
Từ đó, ta có:
Thay vào các phương trình còn lại, ta có:
Từ phương trình thứ hai, ta có .
Thay vào phương trình thứ nhất, ta có:
Thay vào phương trình thứ ba, ta có:
Thay vào phương trình , ta có:
Thay vào , ta có:
Vậy .
Cuối cùng, ta tính :
Do đó, tổng là sai.
Đáp án đúng là: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.
Phần a) Tìm bán kính của mặt cầu S
Mặt cầu S có phương trình:
Ta viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương:
Hoàn thành bình phương:
Từ đây, ta thấy rằng phương trình trên có dạng chuẩn của mặt cầu:
Với , suy ra .
Phần b) Tìm phương trình mặt phẳng ABC
Điểm A(0, 1, 1), B(1, 0, -3), C(-1, -2, -3).
Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C có dạng:
Ta tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC từ các vectơ và :
Vectơ pháp tuyến là tích vector của và :
Phương trình mặt phẳng ABC:
Phần c) Tính bán kính của đường tròn giao giữa mặt phẳng ABC và mặt cầu S
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
Do đó, tâm mặt cầu nằm trên mặt phẳng ABC, và bán kính của đường tròn giao là:
Phần d) Tìm điểm D(a, b, c) để thể tích tứ diện ABCD lớn nhất
Thể tích lớn nhất khi khoảng cách từ D đến mặt phẳng ABC lớn nhất. Ta cần tìm điểm D trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ D đến mặt phẳng ABC lớn nhất.
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng ABC là 0, do đó điểm D nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC đi qua tâm mặt cầu.
Phương trình đường thẳng này:
Gọi D(a, b, c) là điểm cần tìm, ta có:
D thuộc mặt cầu:
Lấy (để khoảng cách lớn nhất):
Vậy .
Đáp số:
Câu 3:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định diện tích hình vuông ABCD
Hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm, do đó diện tích của nó là:
Bước 2: Tính diện tích phần tô đậm (phần giữa hai parabol)
Phần tô đậm nằm giữa hai parabol và .
Diện tích phần tô đậm là:
Bước 3: Tính diện tích phần còn lại (không tô đậm)
Diện tích phần còn lại là:
Bước 4: Tính chi phí phủ vàng và phủ bạc
Chi phí phủ vàng:
Chi phí phủ bạc:
Bước 5: Tính tổng chi phí sản xuất
Tổng chi phí sản xuất:
Kết luận
Do tổng chi phí sản xuất lớn hơn 9 triệu đồng, nên đáp án đúng là:
Câu 4.
a) Xác suất chọn được học sinh là nữ là:
b) Xác suất chọn được học sinh tham gia CLB Toán học, biết rằng học sinh đó là nam, là:
c) Xác suất chọn được học sinh tham gia CLB Toán học là:
d) Khi một bạn tham gia CLB Toán thì xác suất bạn đó là nữ là:
Làm tròn đến hàng phần trăm:
Đáp số:
a)
b)
c)
d)