Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số.
2. Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng không.
3. Xác định giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số tại các điểm cực trị.
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Hàm số đã cho là:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số:
Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng không để tìm các điểm cực trị
Giải phương trình bậc hai:
Bước 3: Xác định giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số tại các điểm cực trị
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:
- Khi :
- Khi :
Do đó, hàm số đạt cực đại tại với giá trị cực đại là và đạt cực tiểu tại với giá trị cực tiểu là .
Như vậy, khẳng định sai là:
C. Giá trị cực tiểu của hàm số là .
Câu 2.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính toán độ lệch chuẩn của cả hai mẫu số liệu ghép nhóm A và B. Độ lệch chuẩn là một phép đo độ phân tán của dữ liệu so với trung bình cộng.
Bước 1: Tính trung bình cộng của mỗi nhóm
Nhóm A:
- Giới hạn trung tâm của các khoảng: 1,7, 1,9, 2,1, 2,3, 2,5
- Tần số tương ứng: 12, 25, 18, 10, 2
Trung bình cộng của nhóm A:
Nhóm B:
- Giới hạn trung tâm của các khoảng: 5,1, 5,3, 5,5, 5,7, 5,9
- Tần số tương ứng: 2, 10, 18, 25, 112
Trung bình cộng của nhóm B:
Bước 2: Tính độ lệch chuẩn của mỗi nhóm
Nhóm A:
Nhóm B:
Kết luận:
Ta thấy rằng và . Do đó, độ lệch chuẩn của cả hai nhóm là gần như bằng nhau.
Đáp án đúng là:
Câu 3.
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Phương trình này không chứa các yếu tố yêu cầu ĐKXĐ cụ thể, vì mọi giá trị của đều cho phép phương trình có nghĩa.
2. Rút gọn phương trình:
- Ta biết rằng . Do đó, .
Vậy phương trình trở thành:
3. So sánh các mũ của cùng cơ số:
- Vì hai vế đều có cùng cơ số là 3, ta có thể so sánh các mũ của chúng:
4. Giải phương trình:
- Giải phương trình :
5. Kiểm tra lại:
- Thay vào phương trình ban đầu để kiểm tra:
- Vế phải cũng là . Vậy phương trình đúng.
Do đó, nghiệm của phương trình là .
Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án . Điều này có thể do lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn không chính xác. Tuy nhiên, theo các bước giải trên, đáp án đúng là .
Đáp án:
Câu 4.
Để tính , ta sử dụng công thức tính độ dài vectơ hiệu:
Áp dụng công thức này, ta có:
Biết rằng và , ta có:
Và theo đề bài, . Thay vào công thức trên ta có:
Do đó:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 5.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một cấp số nhân, mỗi số hạng được tính bằng cách nhân số hạng trước đó với một hằng số gọi là công bội. Ta sẽ ký hiệu số hạng đầu tiên là và công bội là . Do đó, ta có:
Theo đề bài, ta có:
Thay các giá trị của và vào, ta được:
Ta thấy rằng , do đó:
Từ đây, ta suy ra:
Bây giờ, ta cần tìm giá trị của . Ta có:
Do đó:
Ta đã biết rằng . Ta sẽ xét hai trường hợp:
1. Trường hợp :
Thay vào :
2. Trường hợp :
Thay vào :
Như vậy, ta thấy rằng giá trị của phụ thuộc vào giá trị của . Tuy nhiên, ta cần kiểm tra các đáp án đã cho để xác định giá trị cụ thể.
Các đáp án đã cho là:
A. -8
B. -64
C. 64
D. 8
Ta thấy rằng giá trị của có thể là hoặc . Tuy nhiên, dựa trên các phép tính và điều kiện của bài toán, ta thấy rằng giá trị là hợp lý nhất.
Vậy đáp án đúng là:
A. -8
Câu 6.
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-3;3], ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định các điểm cực trị của hàm số trên đoạn [-3;3].
- Qua việc quan sát đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 với giá trị y = 3.
- Hàm số cũng đạt cực tiểu tại điểm x = -2 và x = 2 với giá trị y = -2.
Bước 2: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn [-3;3].
- Tại x = 0, giá trị của hàm số là 3.
- Tại x = -2 và x = 2, giá trị của hàm số là -2.
- Tại x = -3 và x = 3, giá trị của hàm số là 2.
Bước 3: Kết luận giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-3;3].
- Trong các giá trị đã so sánh, giá trị lớn nhất là 3, đạt được khi x = 0.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-3;3] là 3.
Đáp án đúng là: C. 3.
Câu 7.
Để giải bất phương trình , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Đối với , ta có điều kiện , suy ra .
- Đối với , ta có điều kiện , suy ra .
Vậy ĐKXĐ của bất phương trình là .
Bước 2: Giải bất phương trình
Do hàm số là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, nên ta có:
Giải bất phương trình này:
Bước 3: Kết hợp điều kiện xác định
Ta đã có điều kiện và . Kết hợp hai điều kiện này, ta được:
Kết luận:
Tập nghiệm của bất phương trình là .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 8.
Để tìm tọa độ của điểm A' là hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Oz, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định tọa độ của điểm A: Điểm A có tọa độ là (-3; 2; -1).
2. Hiểu về hình chiếu vuông góc lên trục Oz: Khi một điểm được chiếu vuông góc lên trục Oz, tọa độ x và y của điểm đó sẽ trở thành 0, còn tọa độ z giữ nguyên.
3. Áp dụng vào điểm A:
- Tọa độ x của điểm A là -3, khi chiếu lên trục Oz thì tọa độ x này sẽ là 0.
- Tọa độ y của điểm A là 2, khi chiếu lên trục Oz thì tọa độ y này cũng sẽ là 0.
- Tọa độ z của điểm A là -1, khi chiếu lên trục Oz thì tọa độ z này vẫn giữ nguyên là -1.
Do đó, tọa độ của điểm A' là (0; 0; -1).
Vậy đáp án đúng là:
Câu 9.
Để tính giá trị của , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số .
Nguyên hàm của là .
Nguyên hàm của là .
Vậy, nguyên hàm của là:
Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
Bước 3: Thay các giá trị vào:
Bước 4: Tính hiệu:
Vậy giá trị của là . Đáp án đúng là:
Câu 10.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định diện tích đáy của hình chóp.
2. Tính chiều cao của hình chóp.
3. Tính thể tích của hình chóp.
Bước 1: Xác định diện tích đáy của hình chóp
Diện tích đáy của hình chóp là diện tích tam giác ABC. Ta có:
Vì tam giác ABC vuông tại B, nên diện tích tam giác ABC là:
Bước 2: Tính chiều cao của hình chóp
Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng SA, và ta đã biết:
Bước 3: Tính thể tích của hình chóp
Thể tích của hình chóp S.ABC được tính theo công thức:
Thay các giá trị đã tìm được vào công thức trên:
Vậy thể tích của hình chóp S.ABC là: