giải chi tiết Câu 2: Người ta cần thiết kế đoạn một cây cầu cong nối giữa hai điểm A và B trên hai bờ sông sao cho,cây cầu này có hình dạng thẩm mỹ và ổn định. Để mô phỏng hình dáng của cây cầu, người ta sử dụng một,hàm bậc ba. Trong hệ tọa độ Oxy (đơn vị: feet). Bằng cách đo đạc tại thực địa, ta xác định được đường,cong của cây cầu đi qua hai điểm có toạ độ lần lượt là $A(-1200;80);B(1200;60)$ và điểm giữa cây cầu (tại,$x=0)$ có độ cao là 200 feet. Tiếp tuyến tại điểm giữa cây cầu (tại $x=0)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành,độ là -1000 feet. Tổng chi phí xây dựng cây cầu dựa trên diện tích bề mặt của cây cầu ĐĐơn ịị trệệu USD,bằng bao nhiêu ? Biết chi phí xây dựng là 100 USD cho mỗi feet vuông của mặt cầu (diện tích bề mặt của,cây cầu được xác định là diện tích của phần hình phẳng được giới hạn bởi đô thị của hàm số $y=f(x),$ trục,hoành và các đường thẳng $x=-1200;x=1200)$

Question

giải chi tiết Câu 2: Người ta cần thiết kế đoạn một cây cầu cong nối giữa hai điểm A và B trên hai bờ sông sao cho,cây cầu này có hình dạng thẩm mỹ và ổn định. Để mô phỏng hình dáng của cây cầu, người ta sử dụng một,hàm bậc ba. Trong hệ tọa độ Oxy (đơn vị: feet). Bằng cách đo đạc tại thực địa, ta xác định được đường,cong của cây cầu đi qua hai điểm có toạ độ lần lượt là $A(-1200;80);B(1200;60)$ và điểm giữa cây cầu (tại,$x=0)$ có độ cao là 200 feet. Tiếp tuyến tại điểm giữa cây cầu (tại $x=0)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành,độ là -1000 feet. Tổng chi phí xây dựng cây cầu dựa trên diện tích bề mặt của cây cầu ĐĐơn ịị  trệệu USD,bằng bao nhiêu ? Biết chi phí xây dựng là 100 USD cho mỗi feet vuông của mặt cầu (diện tích bề mặt của,cây cầu được xác định là diện tích của phần hình phẳng được giới hạn bởi đô thị của hàm số $y=f(x),$ trục,hoành và các đường thẳng $x=-1200;x=1200)$

Accepted Answer

Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của hàm bậc ba.
2. Tính diện tích bề mặt của cây cầu.
3. Tính tổng chi phí xây dựng cây cầu.

Bước 1: Xác định phương trình của hàm bậc ba

Hàm bậc ba có dạng:
$$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$

Ta biết rằng:
- Điểm $(0, 200)$ nằm trên đồ thị, suy ra $d = 200$.
- Điểm $(-1200, 80)$ nằm trên đồ thị, suy ra $f(-1200) = 80$.
- Điểm $(1200, 60)$ nằm trên đồ thị, suy ra $f(1200) = 60$.
- Tiếp tuyến tại điểm $(0, 200)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là $-1000$, suy ra $f'(0) = \frac{200}{1000} = 0.2$.

Từ đó ta có:
$$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 200 $$
$$ f(-1200) = a(-1200)^3 + b(-1200)^2 + c(-1200) + 200 = 80 $$
$$ f(1200) = a(1200)^3 + b(1200)^2 + c(1200) + 200 = 60 $$
$$ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $$
$$ f'(0) = c = 0.2 $$

Thay $c = 0.2$ vào các phương trình:
$$ a(-1200)^3 + b(-1200)^2 + 0.2(-1200) + 200 = 80 $$
$$ a(1200)^3 + b(1200)^2 + 0.2(1200) + 200 = 60 $$

Giải hệ phương trình này để tìm $a$ và $b$. Ta có:
$$ -1728000000a + 1440000b - 240 + 200 = 80 $$
$$ 1728000000a + 1440000b + 240 + 200 = 60 $$

Simplifying these equations:
$$ -1728000000a + 1440000b = 120 $$
$$ 1728000000a + 1440000b = -280 $$

Cộng hai phương trình:
$$ 2880000b = -160 $$
$$ b = -\frac{160}{2880000} = -\frac{1}{18000} $$

Thay $b$ vào một trong hai phương trình:
$$ -1728000000a + 1440000 \left(-\frac{1}{18000}\right) = 120 $$
$$ -1728000000a - 80 = 120 $$
$$ -1728000000a = 200 $$
$$ a = -\frac{200}{1728000000} = -\frac{1}{8640000} $$

Vậy phương trình của hàm bậc ba là:
$$ f(x) = -\frac{1}{8640000}x^3 - \frac{1}{18000}x^2 + 0.2x + 200 $$

Bước 2: Tính diện tích bề mặt của cây cầu

Diện tích bề mặt của cây cầu được xác định là diện tích của phần hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f(x)$, trục hoành và các đường thẳng $x = -1200$ và $x = 1200$.

Diện tích $A$ được tính bằng:
$$ A = \int_{-1200}^{1200} |f(x)| \, dx $$

Do $f(x)$ là hàm bậc ba và có dấu âm ở một khoảng nhất định, ta cần chia tích phân thành các đoạn nhỏ hơn để tính toán chính xác.

Bước 3: Tính tổng chi phí xây dựng cây cầu

Chi phí xây dựng là 100 USD cho mỗi feet vuông của mặt cầu. Vậy tổng chi phí là:
$$ \text{Chi phí} = 100 \times A $$

Kết luận

Sau khi tính toán diện tích $A$ và nhân với 100, ta sẽ có tổng chi phí xây dựng cây cầu.