Bài 1:
a) Tính:
Đầu tiên, ta sẽ đơn giản hóa từng căn thức:
- có thể viết lại dưới dạng
- có thể viết lại dưới dạng
- có thể viết lại dưới dạng
Do đó:
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
Điều kiện xác định:
- và
-
-
Vậy điều kiện xác định là: và
Bây giờ, ta sẽ rút gọn biểu thức:
Chúng ta có thể viết lại:
Do đó:
Rút gọn:
Vậy biểu thức rút gọn là:
Đáp số:
a)
b) với điều kiện xác định: và
Bài 2:
a) Ta có:
Từ đây ta có hai trường hợp:
-
-
Vậy nghiệm của phương trình là hoặc .
b) Ta có hệ phương trình:
Phương trình thứ nhất:
Phương trình thứ hai:
Ta có hệ phương trình mới:
Nhân phương trình (1) với 2:
Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2):
Thay vào phương trình (1):
Vậy nghiệm của hệ phương trình là và .
Bài 3:
1. Phương trình có hai nghiệm và . Ta có:
Theo đề bài, ta có:
Tìm chung mẫu số:
Thay và vào:
Nhân cả hai vế với :
Giải phương trình bậc hai:
Vậy hoặc
2. a) Khi vật ở độ cao 19,6 m so với mặt đất:
Giải phương trình bậc hai:
Vậy hoặc
b) Khi vật chạm đất:
Vậy hoặc
Đáp số:
1. hoặc
2. a) hoặc
b) hoặc
Bài 4:
Tổng phần trăm của biểu đồ cột là 100%. Do đó, ta có thể tính số công nhân ở mỗi tổ dựa trên tần số tương đối đã cho.
1. Tổng số công nhân: 1800 công nhân
2. Tính số công nhân ở mỗi tổ:
- Tổ 1: 20% của 1800
- Tổ 2: 30% của 1800
- Tổ 3: 25% của 1800
- Tổ 4: 15% của 1800
- Tổ 5: 10% của 1800
3. Lập bảng tần số:
| Tổ | Số công nhân |
|----|--------------|
| 1 | 360 |
| 2 | 540 |
| 3 | 450 |
| 4 | 270 |
| 5 | 180 |
Vậy, bảng tần số biểu diễn số liệu cho bởi biểu đồ trên là như trên.
Bài 5:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, dựa vào các kiến thức về hình học đã học ở lớp 9.
Bước 1: Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp
- Ta có vì BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C.
- Ta cũng có vì DH vuông góc với AO.
- Do đó, .
- Vậy OHDC là tứ giác nội tiếp (vì tổng hai góc đối bằng 180°).
Bước 2: Chứng minh
- Ta có và , do đó (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).
- Xét tam giác OBI và OCI:
- (chắn cung BC)
- (cùng phụ với )
- Vậy tam giác OBI và OCI đồng dạng (g-g).
- Từ đó ta có tỉ lệ: .
- Vì OB = OC (bán kính của đường tròn), nên ta có: .
- Do đó, .
Bước 3: Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)
- Ta có và , do đó (vì M nằm trên cung nhỏ BC).
- Ta cũng có (vì AM vuông góc với OM).
- Vậy AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.
Bước 4: Tính diện tích của phần tam giác OAM nằm ngoài đường tròn (O)
- Ta có .
- Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M, nên OM = R.
- Ta có , do đó tam giác OMA là tam giác vuông tại M.
- Diện tích tam giác OMA là: .
- Diện tích phần tam giác OAM nằm ngoài đường tròn (O) là: .
- Diện tích hình tròn tâm O bán kính R là: .
- Vậy diện tích phần tam giác OAM nằm ngoài đường tròn (O) là: .
Đáp số: Diện tích phần tam giác OAM nằm ngoài đường tròn (O) là .
Bài 6:
a) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật:
- Vì AB và MN là các đường kính của đường tròn (O R ; ), nên OA = OB = OM = ON = R.
- Tứ giác AMBN có các đỉnh nằm trên đường tròn và có hai đường chéo AB và MN bằng nhau, do đó AMBN là hình chữ nhật.
b) Chứng minh: và
- Ta có (cùng chắn cung AM).
- Ta cũng có (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó).
- Do đó, .
- Xét tam giác ANP và tam giác AMQ, ta có:
- (cùng chắn cung AQ).
- (góc chung).
- Vậy tam giác ANP và tam giác AMQ đồng dạng theo tiêu chí góc-góc.
- Từ đó suy ra tỉ lệ: , hay .
c) Chứng minh F là trung điểm của BP và :
- Vì E là trung điểm của BO, nên OE = EB.
- Đường thẳng vuông góc với OF tại O cắt PO tại điểm F, tức là OF vuông góc với PO.
- Ta có (góc vuông).
- Xét tam giác OFB và tam giác OFP, ta có:
- OF chung.
- (góc vuông).
- (góc giữa tiếp tuyến và dây cung).
- Vậy tam giác OFB và tam giác OFP đồng dạng theo tiêu chí góc-hai cạnh kề.
- Từ đó suy ra FB = FP, tức F là trung điểm của BP.
- Ta có ME // NF vì cả hai đều vuông góc với OF.
d) Xác định vị trí của đường kính MN để tam giác APQ có diện tích nhỏ nhất:
- Diện tích tam giác APQ là .
- Để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất, ta cần nhỏ nhất, tức là nhỏ nhất.
- Ta có .
- Để nhỏ nhất, ta cần và nhỏ nhất.
- Ta thấy nhỏ nhất khi MN vuông góc với AB, tức là MN là đường kính vuông góc với AB.
- Khi đó, và .
- Vậy để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất, đường kính MN phải vuông góc với AB.
Đáp số: Đường kính MN vuông góc với AB.