Câu 1.
a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD) là
Ta có và .
Phương pháp tìm phương trình mặt phẳng:
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách tính tích vector và .
- Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng: , trong đó là vectơ pháp tuyến và là hằng số.
Tính tích vector:
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Phương trình mặt phẳng :
b) Điểm B thuộc mặt phẳng (ACD).
Ta kiểm tra xem điểm B có thuộc mặt phẳng (ACD) hay không bằng cách thay tọa độ của B vào phương trình mặt phẳng (ACD).
Phương pháp tìm phương trình mặt phẳng (ACD):
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách tính tích vector và .
- Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng: , trong đó là vectơ pháp tuyến và là hằng số.
Tính tích vector:
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Phương trình mặt phẳng :
Thay tọa độ của B vào phương trình mặt phẳng :
Vậy điểm B không thuộc mặt phẳng (ACD).
c) Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng 3.
Ta tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
- Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :
Áp dụng công thức:
Vậy độ dài đường cao của hình chóp A.BCD là 1.
d) Mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (ACD), (BCD) có phương trình tổng quát là
Ta tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mới bằng cách tính tích vector của vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACD) là .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là .
Tính tích vector:
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mới là .
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 0, 0) và có vectơ pháp tuyến :
Nhân cả hai vế với 6 để đơn giản hóa:
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là .
Câu 2.
Để giải quyết các phần của bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.
a) Mặt phẳng (A'B'C'D') có phương trình tổng quát là
Đầu tiên, ta cần xác định tọa độ của các điểm A', B', C', D'. Ta biết rằng trong hình hộp, các đỉnh tương ứng của hai đáy là đồng dạng và song song với nhau. Do đó:
- A'(1, 0, 1 + k)
- B'(2, 1, 2 + k)
- C'(4, 5, -5 + k)
- D'(1, -1, 1 + k)
Ta đã biết phương trình mặt phẳng (A'B'C'D') là . Để kiểm tra, ta thay tọa độ của bất kỳ điểm nào vào phương trình này:
- Thay A'(1, 0, 1 + k) vào phương trình:
- Vậy A'(1, 0, -8), B'(2, 1, -7), C'(4, 5, -14), D'(1, -1, -8).
b) Mặt phẳng (AB'D') có phương trình tổng quát là
Ta cần xác định phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1, 0, 1), B'(2, 1, -7), D'(1, -1, -8).
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Thay tọa độ của ba điểm vào phương trình:
- A(1, 0, 1):
- B'(2, 1, -7):
- D'(1, -1, -8):
Giải hệ phương trình này, ta tìm được , , , . Vậy phương trình mặt phẳng là .
c) Chiều cao của hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng
Chiều cao của hình hộp là khoảng cách giữa hai đáy. Ta tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'B'C'D'):
- Phương trình mặt phẳng:
- Tọa độ điểm A: (1, 0, 1)
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
d) Chiều cao của hình chóp C.ABC'D' bằng
Ta cần tính khoảng cách từ điểm C(4, 5, -5) đến mặt phẳng (AB'D'):
- Phương trình mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Tuy nhiên, theo đề bài, chiều cao của hình chóp C.ABC'D' là . Đây có thể là do lỗi trong đề bài hoặc cần kiểm tra lại các phép tính.
Kết luận:
- Phương trình mặt phẳng (A'B'C'D') là .
- Phương trình mặt phẳng (AB'D') là .
- Chiều cao của hình hộp ABCD.A'B'C'D' là .
- Chiều cao của hình chóp C.ABC'D' là .
Câu 3.
a) Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng , ta có:
Do đó, điểm A không thuộc mặt phẳng .
b) Để kiểm tra xem mặt phẳng có song song với mặt phẳng hay không, ta so sánh các vector pháp tuyến của chúng:
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng là .
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng là .
Ta thấy rằng và không cùng phương, do đó mặt phẳng không song song với mặt phẳng .
c) Để kiểm tra xem mặt phẳng có vuông góc với mặt phẳng hay không, ta tính tích vô hướng của các vector pháp tuyến của chúng:
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng là .
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng là .
Tích vô hướng của và là:
Vì tích vô hướng bằng 0, nên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .
d) Mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với hai mặt phẳng và . Vector pháp tuyến của mặt phẳng là tích vector của các vector pháp tuyến của và :
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Nhân cả hai vế với để có phương trình tổng quát:
Đáp án đúng là:
d) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (β), (γ) có phương trình tổng quát là .