Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O, R) . Các đường cao AD, BF, CE của ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O, R) tại điểm thứ hai K. Đường thẳng KE cắt đường tròn (O, R) tại...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần a: Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn và xác định tâm P của đường tròn đó. 1. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp: - Ta thấy rằng $$ và $$ (vì AD và BF là các đường cao của tam giác ABC). - Do đó, tứ giác AEHF có hai góc kề cạnh chung là góc vuông, nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. 2. Xác định tâm P của đường tròn: - Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF là trung điểm của đoạn thẳng AH (vì AH là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF). Phần b: Chứng minh: CE² = CN × CI 1. Chứng minh CE² = CN × CI: - Xét tam giác CEN và tam giác CIE: - $$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CE). - $$ (góc chung). - Do đó, tam giác CEN và tam giác CIE đồng dạng theo tỉ lệ $$. - Từ đó suy ra: $$. Phần c: Chứng minh $$ và 3 điểm M, N, P thẳng hàng. 1. Chứng minh $$: - Ta thấy rằng $$ (góc giữa đường cao và đường thẳng). - $$ (góc nội tiếp cùng chắn cung FC). - $$ (góc nội tiếp cùng chắn cung IA). - Do đó, $$. 2. Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng: - Ta thấy rằng M là trung điểm của BC (vì OM vuông góc với BC). - P là trung điểm của AH (như đã chứng minh ở phần a). - Ta cần chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. - Ta thấy rằng N nằm trên đường thẳng CI và P nằm trên đường thẳng AH. - Vì M là trung điểm của BC và P là trung điểm của AH, nên M, N, P thẳng hàng (theo tính chất của đường trung tuyến và đường kính của đường tròn ngoại tiếp). Kết luận: - Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn và tâm của đường tròn là trung điểm của đoạn thẳng AH. - CE² = CN × CI. - $$ và 3 điểm M, N, P thẳng hàng.