Làm hộ e với

Câu 2. Để lập luận từng bước về các tính chất hoặc vị trí của các điểm $$, $$, và $$ trong không gian Oxyz, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách giữa các điểm: - Khoảng cách giữa $$ và $$: $$ - Khoảng cách giữa $$ và $$: $$ - Khoảng cách giữa $$ và $$: $$ 2. Kiểm tra tính chất hình học: - Ta thấy rằng $$, $$, và $$. Các khoảng cách này không bằng nhau, do đó các điểm $$, $$, và $$ không tạo thành tam giác đều. - Để kiểm tra xem các điểm có nằm trên cùng một đường thẳng hay không, ta có thể kiểm tra xem các vectơ $$ và $$ có tỉ lệ với nhau hay không: $$ $$ Các vectơ $$ và $$ không tỉ lệ với nhau, do đó các điểm $$, $$, và $$ không nằm trên cùng một đường thẳng. 3. Tính diện tích tam giác $$: - Diện tích tam giác $$ có thể được tính bằng công thức Heron: $$ $$ Tuy nhiên, việc tính toán cụ thể diện tích này khá phức tạp và không cần thiết nếu chỉ cần biết các điểm không nằm trên cùng một đường thẳng và không tạo thành tam giác đều. Kết luận: Các điểm $$, $$, và $$ không nằm trên cùng một đường thẳng và không tạo thành tam giác đều. Câu 3. Trọng tâm của tam giác MNP là điểm G có tọa độ trung bình cộng của tọa độ các đỉnh của tam giác. Tọa độ của G được tính như sau: $$ Thay tọa độ của các điểm M, N, P vào công thức trên: $$ $$ $$ Vậy tọa độ của trọng tâm G là: $$ Đáp án đúng là: A. $$. Câu 4. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $$ và $$, ta sử dụng công thức sau: $$ Trong đó: - $$ - $$ Áp dụng công thức trên, ta có: $$ Tính từng thành phần: $$ $$ $$ Cộng lại các kết quả: $$ Vậy tích vô hướng của hai vectơ $$ và $$ là: $$ Do đó, đáp án đúng là: D. -24. Câu 5. Để tìm toạ độ của vectơ $$, ta sử dụng công thức tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian. Tích có hướng của hai vectơ $$ và $$ được tính theo công thức: $$ Áp dụng vào bài toán, ta có: $$ Ta tính từng thành phần của vectơ $$: - Thành phần thứ nhất: $$ - Thành phần thứ hai: $$ - Thành phần thứ ba: $$ Vậy toạ độ của vectơ $$ là $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 6. Trong không gian Oxyz, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $$ là vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của x, y, z trong phương trình mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng $$ có dạng: $$ Từ đó, ta thấy các hệ số của x, y, z lần lượt là 1, 3 và -4. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $$ là $$. So sánh với các lựa chọn đã cho: - $$ - $$ - $$ - $$ Ta thấy rằng $$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $$. Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 7. Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm $$ và nhận $$ và $$ là cặp vectơ chỉ phương, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ pháp tuyến $$ của mặt phẳng có thể tìm bằng cách tính tích có hướng của hai vectơ chỉ phương $$ và $$: $$ 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $$, trong đó $$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến $$. Ta có: $$ Thay tọa độ điểm $$ vào phương trình để tìm $$: $$ Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là: $$ 3. So sánh với các phương án đã cho: Các phương án đã cho là: $$ $$ $$ $$ So sánh phương trình tổng quát của mặt phẳng ta tìm được $$ với các phương án trên, ta thấy rằng phương án đúng là: $$ Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là: $$ Câu 8. Phương trình chính tắc của mặt phẳng đi qua ba điểm $$, $$, $$ trên các trục tọa độ tương ứng là: $$ Tuy nhiên, để đảm bảo rằng phương trình này đúng, ta cần kiểm tra lại các điểm đã cho: - Điểm $$: $$ - Điểm $$: $$ - Điểm $$: $$ Như vậy, phương trình chính tắc của mặt phẳng là: $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 9. Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $$ và nhận vectơ $$ làm vectơ phương, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm trên đường thẳng: Điểm $$. 2. Xác định vectơ phương: Vectơ $$. 3. Lập phương trình tham số: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $$ và có vectơ phương $$ có dạng: $$ Thay $$ và $$ vào phương trình trên, ta được: $$ Do đó, phương trình tham số của đường thẳng là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 10. Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $$, ta cần dựa vào phương trình tham số của đường thẳng đó. Phương trình tham số của đường thẳng $$ được cho dưới dạng: $$ Từ phương trình này, ta thấy rằng các hệ số ở mẫu số của mỗi phân số chính là các thành phần của vectơ chỉ phương của đường thẳng. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $$ là: $$ So sánh với các lựa chọn đã cho: - A. $$ - B. $$ - C. $$ - D. $$ Ta thấy rằng vectơ chỉ phương đúng là $$. Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 11. Phương trình mặt cầu tâm $$ và bán kính $$ là $$. Trong bài này, tâm mặt cầu là $$ và đường kính là 10, vậy bán kính $$. Do đó, phương trình mặt cầu là: $$ $$ Vậy phương án đúng là: $$ Câu 12. Để kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt cầu $$ hay không, ta thay tọa độ của điểm vào phương trình mặt cầu và kiểm tra xem liệu phương trình đó có thỏa mãn hay không. A. Kiểm tra điểm $$: $$ Do đó, điểm $$ không thuộc mặt cầu $$. B. Kiểm tra điểm $$: $$ Do đó, điểm $$ không thuộc mặt cầu $$. C. Kiểm tra điểm $$: $$ Do đó, điểm $$ không thuộc mặt cầu $$. D. Kiểm tra điểm $$: $$ Do đó, điểm $$ không thuộc mặt cầu $$. Như vậy, không có điểm nào trong các điểm đã cho thuộc mặt cầu $$.