Câu 15
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định tính đúng sai của chúng dựa vào thông tin đã cho về hàm số .
Phát biểu (a):
Hàm số đồng biến trên khoảng và .
Phát biểu này đúng nếu hàm số đồng biến trên các khoảng đã cho. Chúng ta cần biết thêm thông tin về tính chất của để xác nhận điều này.
Phát biểu (b):
Hàm số có 2 điểm cực trị trên khoảng .
Để xác định điều này, chúng ta cần tìm đạo hàm của :
Điểm cực trị của xảy ra khi :
Chúng ta cần biết thêm thông tin về để xác định liệu có bao nhiêu lần trong khoảng .
Phát biểu (c):
Để xác định điều này, chúng ta cần biết giá trị của tại các điểm cụ thể. Nếu là hàm đồng biến hoặc nghịch biến, chúng ta có thể so sánh các giá trị của và .
Phát biểu (d):
Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Để xác định điều này, chúng ta cần tìm đạo hàm của :
Hàm số nghịch biến nếu vì nhân với sẽ làm thay đổi dấu.
Kết luận:
Chúng ta cần thêm thông tin về hàm số để xác định chính xác tính đúng sai của từng phát biểu. Tuy nhiên, dựa vào các bước phân tích trên, chúng ta có thể thấy rằng:
- Phát biểu (a) đúng nếu đồng biến trên các khoảng đã cho.
- Phát biểu (b) cần biết thêm thông tin về để xác định.
- Phát biểu (c) cần biết thêm thông tin về giá trị của tại các điểm cụ thể.
- Phát biểu (d) đúng nếu .
Do đó, chúng ta cần thêm thông tin về hàm số để xác định chính xác các phát biểu.
Câu 14.
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên công thức doanh thu của chuyến xe.
Mệnh đề (a)
Doanh thu của chuyến xe X là:
Ta có:
Mệnh đề (b)
Kiểm tra doanh thu khi có 30 hành khách:
Vậy mệnh đề (b) sai vì doanh thu không xấp xỉ 20,045 triệu đồng.
Mệnh đề (c)
Để tìm giá trị lớn nhất của doanh thu , ta sử dụng đạo hàm:
Gọi .
Tính đạo hàm:
Đặt :
Có hai nghiệm:
(loại vì )
Kiểm tra doanh thu tại :
Vậy mệnh đề (c) đúng vì doanh thu nhiều nhất khoảng 23 triệu đồng.
Mệnh đề (d)
Theo kết quả ở trên, doanh thu nhiều nhất khi . Mệnh đề (d) sai vì không phải là 35 hành khách.
Kết luận
- Mệnh đề (a) sai.
- Mệnh đề (b) sai.
- Mệnh đề (c) đúng.
- Mệnh đề (d) sai.
Câu 15.
(a) Ta có và .
Ta thấy không cùng phương với và vì không tồn tại số thực nào để hoặc .
(b) Để tứ giác ABCD là hình bình hành, ta cần .
Ta có và .
Do đó, , vậy D không thỏa mãn điều kiện để ABCD là hình bình hành.
(c) Ta cần tìm có tung độ bằng 266 và cùng phương với .
Ta có .
Giả sử , tức là .
Yêu cầu tung độ của là 266, do đó , suy ra .
Vậy .
(d) Điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng (Oyz) nên x = 0.
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của .
Tổng này là:
Để giá trị này nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị trung vị của y và z trong các giá trị tương ứng.
Giá trị trung vị của y là , và giá trị trung vị của z là .
Vậy và .
Do đó, .
Đáp số:
(a) Không cùng phương.
(b) Không thỏa mãn.
(c) .
(d) .
Câu 16.
Để khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh lớp 12, ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định giá trị đại diện của mỗi nhóm:
- Nhóm [0;10): Giá trị đại diện là .
- Nhóm [10;20): Giá trị đại diện là .
- Nhóm [20;30): Giá trị đại diện là .
- Nhóm [30;40): Giá trị đại diện là .
- Nhóm [40;50): Giá trị đại diện là .
2. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm:
- Ta có bảng tần số:
| Thời gian (phút) | Số học sinh |
|------------------|-------------|
| [0;10) | 5 |
| [10;20) | 10 |
| [20;30) | 15 |
| [30;40) | 10 |
| [40;50) | 5 |
- Tính tổng số học sinh: .
- Tính trung bình cộng:
3. Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:
- Tính phương sai:
4. Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm:
- Khoảng biến thiên là:
5. Tính phân vị thứ hai () của mẫu số liệu ghép nhóm:
- Phân vị thứ hai là giá trị ở vị trí , tức là ở nhóm [20;30).
- Giá trị phân vị thứ hai là:
Kết luận:
- Mệnh đề a) Sai vì giá trị đại diện của nhóm [20;30) là 25.
- Mệnh đề b) Đúng vì khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 50.
- Mệnh đề c) Sai vì phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là .
- Mệnh đề d) Đúng vì phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là 25.
Câu 17.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số.
2. Xác định các giới hạn và hành vi của hàm số khi tiến đến các giá trị đặc biệt.
3. Xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.
4. Xác định các điểm bất định và các điểm ngắt của hàm số.
5. Lập bảng biến thiên dựa trên các thông tin đã xác định.
Bước 1: Xác định ĐKXĐ của hàm số:
Hàm số có ĐKXĐ là . Do đó, .
Bước 2: Xác định các giới hạn và hành vi của hàm số khi tiến đến các giá trị đặc biệt:
- Khi , hàm số tiến đến vô cùng vì mẫu số tiến đến 0.
- Khi , hàm số tiến đến 1 vì .
Bước 3: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số:
Đạo hàm của hàm số :
Để tìm các điểm cực đại và cực tiểu, ta giải phương trình :
Do và , ta có hoặc .
Bước 4: Xác định các điểm bất định và các điểm ngắt của hàm số:
- Điểm ngắt của hàm số là .
Bước 5: Lập bảng biến thiên dựa trên các thông tin đã xác định:
- Khi , hàm số giảm từ đến 1.
- Khi , hàm số tăng từ 1 đến .
Bảng biến thiên của hàm số :
| | | | |
|---------|---------------|--------------------|---------------|
| | | | |
Đáp số: Bảng biến thiên của hàm số được lập như trên.