xnxnnxndcvvvy

Câu 10: Để tìm phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) trong không gian \(Oxyz\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\): - Tọa độ của \(A\) là \((0, 4, 1)\). - Tọa độ của \(B\) là \((-2, 0, 3)\). Trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) được tính bằng công thức: \[ I = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của \(A\) và \(B\) vào: \[ I = \left( \frac{0 + (-2)}{2}, \frac{4 + 0}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{4}{2}, \frac{4}{2} \right) = (-1, 2, 2) \] 2. Tính bán kính \(R\) của mặt cầu: Bán kính \(R\) là khoảng cách từ trung điểm \(I\) đến một trong hai điểm \(A\) hoặc \(B\). Ta tính khoảng cách từ \(I\) đến \(A\): \[ R = IA = \sqrt{(x_I - x_A)^2 + (y_I - y_A)^2 + (z_I - z_A)^2} \] Thay tọa độ của \(I\) và \(A\) vào: \[ R = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - 4)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] 3. Viết phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu có tâm \(I(-1, 2, 2)\) và bán kính \(R = \sqrt{6}\) là: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = (\sqrt{6})^2 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 6 \] Do đó, phương trình mặt cầu là: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 6 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 6} \]