giải chi tiết

Câu 6. Để giải bất phương trình $\log_2(x-1) < 3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_2(x-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_2(x-1) < 3$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: \[ \log_2(x-1) < \log_2(2^3) \] - Điều này tương đương với: \[ \log_2(x-1) < \log_2(8) \] - Vì hàm lôgarit cơ số 2 là hàm đồng biến, nên ta có: \[ x-1 < 8 \] - Giải bất phương trình này: \[ x < 9 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 1$ và kết quả từ bước 2 ($x < 9$), ta có: \[ 1 < x < 9 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (1; 9) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(1;9) \] Câu 7. Phương trình của mặt phẳng (P) là $x - 3y - z + 8 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ có dạng $(a, b, c)$ sao cho phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng $ax + by + cz + d = 0$. So sánh phương trình $x - 3y - z + 8 = 0$ với dạng tổng quát $ax + by + cz + d = 0$, ta thấy rằng: - $a = 1$ - $b = -3$ - $c = -1$ Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (1, -3, -1)$. Trong các lựa chọn đã cho: - A. $\overrightarrow{n}_1(1; -3; 1)$ - B. $\overrightarrow{n}_2(1; -3; -1)$ - C. $\overrightarrow{n}_3(1; -3; 8)$ - D. $\overrightarrow{n}_4(1; 3; 8)$ Chúng ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{n}_2(1; -3; -1)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\overrightarrow{n}_2(1; -3; -1)} \] Câu 8. Để xác định mặt phẳng nào trong các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD), (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta cần dựa vào tính chất của hình chóp và các điều kiện đã cho. Trước hết, ta biết rằng: - Đáy ABCD là hình chữ nhật. - \( SA \perp (ABCD) \). Từ đó, ta suy ra: - \( SA \perp AB \) và \( SA \perp AD \). Bây giờ, ta xét từng mặt phẳng một: 1. Mặt phẳng (SAB): - \( SA \perp AB \) (theo điều kiện ban đầu). - \( AB \subset (ABCD) \). - Tuy nhiên, \( SA \) không đủ để chứng minh (SAB) vuông góc với (ABCD) vì còn cần thêm một đường thẳng khác trong (SAB) cũng vuông góc với (ABCD). 2. Mặt phẳng (SBC): - \( SB \) không trực tiếp vuông góc với (ABCD) vì \( SB \) nằm trong mặt phẳng (SBC) và không có thông tin về \( SB \perp BC \). 3. Mặt phẳng (SCD): - \( SC \) không trực tiếp vuông góc với (ABCD) vì \( SC \) nằm trong mặt phẳng (SCD) và không có thông tin về \( SC \perp CD \). 4. Mặt phẳng (SBD): - \( SB \) không trực tiếp vuông góc với (ABCD) vì \( SB \) nằm trong mặt phẳng (SBD) và không có thông tin về \( SB \perp BD \). Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng: - \( SA \perp (ABCD) \) và \( SA \subset (SAD) \). - Mặt phẳng (SAD) bao gồm \( SA \) và \( AD \), trong đó \( AD \subset (ABCD) \). Do đó, mặt phẳng (SAD) vuông góc với (ABCD) vì nó chứa đường thẳng \( SA \) vuông góc với (ABCD). Nhưng trong các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng: - Mặt phẳng (SBD) cũng chứa \( SA \) và \( BD \), trong đó \( BD \subset (ABCD) \). Do đó, mặt phẳng (SBD) cũng vuông góc với (ABCD) vì nó chứa đường thẳng \( SA \) vuông góc với (ABCD). Vậy đáp án đúng là: D. (SBD). Câu 9. Để giải phương trình $2^x = 6$, ta áp dụng phương pháp chuyển vế và sử dụng tính chất của lôgarit. Bước 1: Xác định phương trình đã cho: \[ 2^x = 6 \] Bước 2: Áp dụng lôgarit để giải phương trình: \[ x = \log_2 6 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \log_2 6 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~x = \log_2 6 \] Câu 10. Để tìm số hạng \( u_5 \) của cấp số cộng, ta cần biết công sai \( d \) của cấp số cộng. Công sai \( d \) được tính bằng cách lấy số hạng thứ hai trừ đi số hạng thứ nhất: \[ d = u_2 - u_1 = 3 - 1 = 2 \] Bây giờ, ta sử dụng công thức tổng quát của số hạng thứ \( n \) trong cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng công thức này để tìm \( u_5 \): \[ u_5 = u_1 + (5-1)d \] \[ u_5 = 1 + 4 \times 2 \] \[ u_5 = 1 + 8 \] \[ u_5 = 9 \] Vậy số hạng \( u_5 \) của cấp số cộng là 9. Đáp án đúng là: C. 9. Câu 11. Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu đúng. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{BB'}$ là vectơ từ B đến B'. - $\overrightarrow{B'A'}$ là vectơ từ B' đến A'. Tổng của ba vectơ này không phải là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này sai. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{BC'}$ là vectơ từ B đến C'. - $\overrightarrow{C'D'}$ là vectơ từ C' đến D'. Tổng của ba vectơ này không phải là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này sai. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. Tổng của ba vectơ này không phải là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này sai. D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ A đến D. Tổng của ba vectơ này là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này đúng. Vậy phát biểu đúng là: D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'}$ Câu 12. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta cần quan sát đồ thị và tìm các đoạn thẳng hoặc các phần của đồ thị mà trên đó giá trị của hàm số tăng dần khi giá trị của biến độc lập tăng lên. Trên đồ thị, ta thấy: - Từ \( (-\infty; -1) \), đồ thị hàm số giảm dần. - Từ \( (-1; 1) \), đồ thị hàm số tăng dần. - Từ \( (1; +\infty) \), đồ thị hàm số giảm dần. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-1; 1) \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(-1;1). \] Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: Phần a) Tính giá trị của hàm số tại các điểm đã cho: - \( f(0) = 2 \cos(0) + 0 = 2 \cdot 1 + 0 = 2 \) - \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \) Phần b) Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2 \cos x + x) = -2 \sin x + 1 \] Phần c) Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ -2 \sin x + 1 = 0 \] \[ \sin x = \frac{1}{2} \] Trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\), nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) là: \[ x = \frac{\pi}{6} \] Phần d) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\): - Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - \( f(0) = 2 \) - \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \) - \( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} \) So sánh các giá trị: - \( f(0) = 2 \) - \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \) - \( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} \approx 1.73 + 0.52 \approx 2.25 \) Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\) là: \[ \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} \] Kết luận: - \( f(0) = 2 \) - \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \) - Đạo hàm của hàm số: \( f'(x) = -2 \sin x + 1 \) - Nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\) là \( x = \frac{\pi}{6} \) - Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\) là \( \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} \).