Giai dap cau hoi

Câu 1. Để chọn ra 1 cặp nam nữ từ 3 học sinh nam và 4 học sinh nữ, ta thực hiện như sau: - Số cách chọn 1 học sinh nam từ 3 học sinh nam là: 3 cách. - Số cách chọn 1 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ là: 4 cách. Do đó, số cách chọn ra 1 cặp nam nữ là: \[ 3 \times 4 = 12 \text{ cách} \] Vậy đáp án đúng là: D. 12. Câu 2. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có thể xác định các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số như sau: 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng là đường thẳng đứng mà hàm số tiến đến vô cùng khi $x$ tiến đến một giá trị cố định nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $x$ tiến đến $-1$ từ bên trái và bên phải, giá trị của $f(x)$ tiến đến $-\infty$ và $+\infty$. Do đó, $x = -1$ là đường tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang là đường thẳng ngang mà hàm số tiến đến khi $x$ tiến đến dương vô cực hoặc âm vô cực. - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $x$ tiến đến $+\infty$, giá trị của $f(x)$ tiến đến $2$. Do đó, $y = 2$ là đường tiệm cận ngang. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: - Số đường tiệm cận đứng: 1 (đường $x = -1$) - Số đường tiệm cận ngang: 1 (đường $y = 2$) Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là: \[ 1 + 1 = 2 \] Đáp án đúng là: C. 2. Câu 3. Để tính diện tích phần tô đen trong hình, ta cần tính diện tích của hai miền giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành từ các điểm giao với trục hoành. 1. Diện tích phần tô đen từ a đến b: - Phần này nằm phía trên trục hoành, do đó diện tích sẽ là tích phân dương của $f(x)$ từ $a$ đến $b$: \[ S_1 = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] 2. Diện tích phần tô đen từ b đến c: - Phần này nằm phía dưới trục hoành, do đó diện tích sẽ là tích phân âm của $f(x)$ từ $b$ đến $c$. Để tính diện tích, ta lấy giá trị tuyệt đối của tích phân này: \[ S_2 = -\int_{b}^{c} f(x) \, dx \] 3. Tổng diện tích phần tô đen: - Tổng diện tích sẽ là tổng của hai diện tích trên: \[ S = S_1 + S_2 = \int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{b}^{c} f(x) \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~S = -\int_{b}^{c} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] Câu 4. Để tìm điểm đối xứng của điểm \( A(-1; 2; -4) \) qua mặt phẳng \( (Oyz) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Hiểu về tính chất đối xứng qua mặt phẳng \( (Oyz) \): - Mặt phẳng \( (Oyz) \) là mặt phẳng đi qua trục \( Oy \) và \( Oz \). - Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng \( (Oyz) \) sẽ có tọa độ \( y \) và \( z \) giữ nguyên, còn tọa độ \( x \) sẽ đổi dấu. 2. Áp dụng tính chất trên vào điểm \( A(-1; 2; -4) \): - Tọa độ \( y \) và \( z \) của điểm \( A \) là \( 2 \) và \( -4 \) tương ứng. - Tọa độ \( x \) của điểm \( A \) là \( -1 \). 3. Tính toán tọa độ của điểm đối xứng: - Tọa độ \( x \) của điểm đối xứng sẽ là \( -(-1) = 1 \). - Tọa độ \( y \) và \( z \) giữ nguyên là \( 2 \) và \( -4 \). Do đó, điểm đối xứng của điểm \( A(-1; 2; -4) \) qua mặt phẳng \( (Oyz) \) là \( (1; 2; -4) \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(1; 2; -4) \] Câu 5. Ta có dãy số $(u_n)$ với $u_1 = 2$ và $u_{n+1} = u_n + n$ với mọi $n \in \mathbb{Z}^\prime$. Để tìm số hạng $u_2$, ta thay $n = 1$ vào công thức $u_{n+1} = u_n + n$: \[ u_2 = u_1 + 1 \] Biết rằng $u_1 = 2$, ta có: \[ u_2 = 2 + 1 = 3 \] Vậy số hạng $u_2$ bằng 3. Đáp án đúng là: B. 3. Câu 6. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - t \end{array} \right. \] Chúng ta cần xác định các hệ số của \(t\) trong mỗi phương trình. Các hệ số này sẽ tạo thành các thành phần của vectơ chỉ phương. - Từ phương trình \(x = -1 + t\), ta thấy hệ số của \(t\) là 1. - Từ phương trình \(y = 1 + 2t\), ta thấy hệ số của \(t\) là 2. - Từ phương trình \(z = 2 - t\), ta thấy hệ số của \(t\) là -1. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{u} = (1, 2, -1) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\overrightarrow{u} = (1, 2, -1) \] Câu 7. Để giải phương trình $4^{3-42} = 2^{2+x}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Phương trình đã cho không chứa các biểu thức yêu cầu điều kiện xác định cụ thể, do đó không cần thiết phải xác định thêm điều kiện nào khác. 2. Chuyển đổi cơ số: - Ta nhận thấy rằng $4$ có thể viết dưới dạng lũy thừa của $2$: $4 = 2^2$. Do đó: \[ 4^{3-42} = (2^2)^{3-42} \] - Áp dụng quy tắc lũy thừa $(a^m)^n = a^{mn}$: \[ (2^2)^{3-42} = 2^{2(3-42)} \] 3. Tính toán mũ: - Tính giá trị của $2(3-42)$: \[ 2(3-42) = 2 \times (-39) = -78 \] - Vậy phương trình trở thành: \[ 2^{-78} = 2^{2+x} \] 4. So sánh các mũ: - Vì hai vế đều có cùng cơ số là $2$, ta có thể so sánh các mũ: \[ -78 = 2 + x \] 5. Giải phương trình: - Giải phương trình $-78 = 2 + x$: \[ x = -78 - 2 = -80 \] 6. Kiểm tra lại: - Thay $x = -80$ vào phương trình ban đầu để kiểm tra: \[ 4^{3-42} = 2^{2 + (-80)} \implies 4^{-39} = 2^{-78} \] - Điều này đúng vì $4^{-39} = (2^2)^{-39} = 2^{-78}$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = -80$. Tuy nhiên, trong các đáp án được đưa ra, không có đáp án đúng là $x = -80$. Do đó, có thể có lỗi trong việc cung cấp các đáp án hoặc trong quá trình giải phương trình. Đáp án: $x = -80$ (không có trong các lựa chọn A, B, C, D). Câu 8. Điều kiện xác định: \[ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x + 1 > 0 \\ 3x - 1 > 0 \\ yx > 0 \end{cases} \] Từ đó ta có: \[ x > \frac{1}{3}, \quad x \neq 1, \quad y > 0 \] Phương trình đã cho là: \[ \log_x(2x+1) + 2\log_{yx}(3x-1) = 2 \] Chúng ta sẽ chuyển đổi phương trình này thành dạng dễ dàng hơn để giải. Đầu tiên, ta viết lại phương trình dưới dạng: \[ \log_x(2x+1) + \log_{yx}((3x-1)^2) = 2 \] Áp dụng công thức $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, ta có: \[ \log_x(2x+1) + \log_{yx}((3x-1)^2) = \log_x(2x+1) + \frac{\log_x((3x-1)^2)}{\log_x(yx)} \] Do $\log_x(yx) = \log_x(y) + \log_x(x) = \log_x(y) + 1$, ta có: \[ \log_x(2x+1) + \frac{\log_x((3x-1)^2)}{\log_x(y) + 1} = 2 \] Để đơn giản hóa, ta đặt $t = \log_x(y)$. Phương trình trở thành: \[ \log_x(2x+1) + \frac{\log_x((3x-1)^2)}{t + 1} = 2 \] Chúng ta sẽ thử các giá trị của $x$ từ các đáp án đã cho để kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. 1. Kiểm tra $x = 2$: \[ \log_2(2 \cdot 2 + 1) + 2\log_{2y}(3 \cdot 2 - 1) = \log_2(5) + 2\log_{2y}(5) \] Để phương trình này đúng, ta cần: \[ \log_2(5) + 2\log_{2y}(5) = 2 \] Điều này không đúng vì $\log_2(5) > 1$ và $2\log_{2y}(5) > 0$. 2. Kiểm tra $x = \frac{13}{6}$: \[ \log_{\frac{13}{6}}\left(2 \cdot \frac{13}{6} + 1\right) + 2\log_{\frac{13}{6}y}\left(3 \cdot \frac{13}{6} - 1\right) = \log_{\frac{13}{6}}\left(\frac{19}{3}\right) + 2\log_{\frac{13}{6}y}\left(\frac{11}{2}\right) \] Để phương trình này đúng, ta cần: \[ \log_{\frac{13}{6}}\left(\frac{19}{3}\right) + 2\log_{\frac{13}{6}y}\left(\frac{11}{2}\right) = 2 \] Điều này không đúng vì $\log_{\frac{13}{6}}\left(\frac{19}{3}\right) > 1$ và $2\log_{\frac{13}{6}y}\left(\frac{11}{2}\right) > 0$. 3. Kiểm tra $x = 3$: \[ \log_3(2 \cdot 3 + 1) + 2\log_{3y}(3 \cdot 3 - 1) = \log_3(7) + 2\log_{3y}(8) \] Để phương trình này đúng, ta cần: \[ \log_3(7) + 2\log_{3y}(8) = 2 \] Điều này không đúng vì $\log_3(7) > 1$ và $2\log_{3y}(8) > 0$. 4. Kiểm tra $x = -\frac{13}{6}$: \[ \log_{-\frac{13}{6}}(2 \cdot -\frac{13}{6} + 1) + 2\log_{-\frac{13}{6}y}(3 \cdot -\frac{13}{6} - 1) = \log_{-\frac{13}{6}}(-\frac{19}{3}) + 2\log_{-\frac{13}{6}y}(-\frac{11}{2}) \] Điều kiện xác định không cho phép $x < 0$, do đó $x = -\frac{13}{6}$ không thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[ S = \{2\} \] Đáp án đúng là: B. $S = \{2\}$. Câu 9. Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' được tính bằng công thức: \[ V = S_{đáy} \times h \] Trong đó: - \( S_{đáy} \) là diện tích đáy của lăng trụ. - \( h \) là chiều cao của lăng trụ. Đáy của lăng trụ là hình vuông ABCD có cạnh bằng \( a \). Diện tích đáy \( S_{đáy} \) là: \[ S_{đáy} = a \times a = a^2 \] Chiều cao của lăng trụ \( h \) là khoảng cách từ đỉnh \( A' \) thẳng đứng xuống đáy \( (ABCD) \), tức là \( AA' = 3a \). Do đó, thể tích của khối lăng trụ là: \[ V = a^2 \times 3a = 3a^3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~3a^3 \] Câu 10. Để kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt phẳng $(P)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Thay tọa độ của điểm $M(1; -1; 0)$ vào phương trình mặt phẳng: \[ 2(1) - (-1) + 0 - 5 = 2 + 1 + 0 - 5 = -2 \neq 0 \] Do đó, điểm $M$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. B. Thay tọa độ của điểm $N(1; -1; 4)$ vào phương trình mặt phẳng: \[ 2(1) - (-1) + 4 - 5 = 2 + 1 + 4 - 5 = 2 \neq 0 \] Do đó, điểm $N$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. C. Thay tọa độ của điểm $P(1; -1; 3)$ vào phương trình mặt phẳng: \[ 2(1) - (-1) + 3 - 5 = 2 + 1 + 3 - 5 = 1 \neq 0 \] Do đó, điểm $P$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. D. Thay tọa độ của điểm $Q(1; -1; 2)$ vào phương trình mặt phẳng: \[ 2(1) - (-1) + 2 - 5 = 2 + 1 + 2 - 5 = 0 \] Do đó, điểm $Q$ thuộc mặt phẳng $(P)$. Vậy điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ là $Q(1; -1; 2)$. Câu 11. Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng đường cong trong hình vẽ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. Hàm số A: \( y = \frac{x + 2}{x + 1} \) - Đây là hàm phân thức, có đường thẳng \( x = -1 \) là tiệm cận đứng và đường thẳng \( y = 1 \) là tiệm cận ngang. Đồ thị của hàm này sẽ có dạng đường cong với hai nhánh ở hai phía của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Tuy nhiên, nó không phù hợp với hình vẽ vì đồ thị của nó không có dạng uốn lượn như trong hình. Hàm số B: \( y = -x^3 - 2x + 1 \) - Đây là hàm bậc ba với hệ số cao nhất âm (-1). Đồ thị của hàm bậc ba với hệ số cao nhất âm sẽ có dạng uốn lượn từ trên xuống dưới. Tuy nhiên, nó không phù hợp với hình vẽ vì đồ thị của nó sẽ có dạng uốn lượn ngược lại so với hình vẽ. Hàm số C: \( y = x^3 - 2x - 1 \) - Đây là hàm bậc ba với hệ số cao nhất dương (1). Đồ thị của hàm bậc ba với hệ số cao nhất dương sẽ có dạng uốn lượn từ dưới lên trên. Điều này phù hợp với hình vẽ, vì đồ thị của nó có dạng uốn lượn từ dưới lên trên. Hàm số D: \( y = -x + 1 \) - Đây là hàm tuyến tính, đồ thị của nó là một đường thẳng. Nó không phù hợp với hình vẽ vì đồ thị của nó không có dạng uốn lượn. Qua việc kiểm tra từng hàm số, chúng ta thấy rằng chỉ có hàm số \( y = x^3 - 2x - 1 \) có dạng đồ thị phù hợp với hình vẽ. Đáp án: C. \( y = x^3 - 2x - 1 \) Câu 12. Để tìm nguyên hàm của biểu thức $\int(x^2 + \frac{3}{x}) \, dx$, chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng lẻ. 1. Tính nguyên hàm của $x^2$: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] 2. Tính nguyên hàm của $\frac{3}{x}$: \[ \int \frac{3}{x} \, dx = 3 \int \frac{1}{x} \, dx = 3 \ln |x| + C_2 \] 3. Kết hợp hai kết quả trên lại: \[ \int(x^2 + \frac{3}{x}) \, dx = \frac{x^3}{3} + 3 \ln |x| + C \] Trong đó, $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân tổng quát. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\frac{1}{3}x^3 + 3 \ln |x| + C \]