Các đề toán 9 tuyển sinh khó (toán thực tế + hình học không gian + toán hình)
***Toán thực tế
1) Một gia đình dự định lợp mái cho căn nhà cấp 4. Mái nhà có hình dạng là hai hình tam giác cân ghép lại thành một hình thang cân, mỗi cạnh mái có chiều dài 6 mét, độ dốc của mái là 30° so với mặt sàn.
Biết rằng mỗi mét vuông mái tôn có giá 95.000 đồng/m² (chưa kể hao hụt). Để dự phòng hao hụt 10%, gia đình sẽ mua thêm 10% diện tích.
a) Tính diện tích phần mái cần lợp (không tính phần bị chồng chéo).
b) Tính tổng số tiền mà gia đình phải trả để mua đủ tôn lợp mái (đã tính hao hụt 10%).
2) Trong một nhà máy, xác suất một sản phẩm bị lỗi là 0.02, sản phẩm được kiểm tra từng lô 100 sản phẩm.
a) Tính xác suất lô sản phẩm không có lỗi nào.
b) Tính xác suất lô sản phẩm có ít nhất 1 sản phẩm lỗi.
c) Xác suất có đúng 3 sản phẩm lỗi trong một lô là bao nhiêu?
3) Một doanh nghiệp muốn thiết kế một thùng chứa nước hình hộp chữ nhật có thể tích 2000 lít (1 lít = 1000 cm3). Chiều cao thùng hhh phải lớn hơn 50 cm và nhỏ hơn 150 cm. Chiều dài x và chiều rộng y thỏa mãn x=2y
a) Viết biểu thức thể tích thùng theo y và h.
b) Tính giá trị y và h để diện tích toàn phần của thùng (gồm đáy, mặt trên và bốn mặt bên) là nhỏ nhất. (Biết rằng diện tích mặt đáy là x.y, diện tích toàn phần là: 2.(xy+xh+yh))
***Hình học không gian
1) Cho tứ giác ABCD có:
AB=5, AC=7, AD=6
Góc giữa AB và AC = 60 độ
Góc giữa AC và AD = 45 độ
Góc giữa AB và AD = 75 độ
a) Tính thể tích V của tứ giác ABCD.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD, BD. Tính diện tích tam giác MNP.
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (MNP).
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a = 10. Đỉnh S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại trung điểm O của AB sao cho SO = 12. (vẽ hình)
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (BCD).
c) Tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (BCD).
***Toán hình.
1) Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D nằm trên đoạn BC sao cho BD=2DC. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho DE=AD.
a) Chứng minh tam giác ADE cân.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn AE. Chứng minh rằng BM vuông góc AC.
c) Gọi O là giao điểm của đường thẳng BM với đường thẳng AC. Tính tỷ số diện tích tam giác ABO và tam giác ACO theo các đoạn đã cho.
d) Biết rằng AB=6 và AC=8. Tính độ dài đoạn BC và khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng BC.

Question

Các đề toán 9 tuyển sinh khó (toán thực tế + hình học không gian + toán hình)
***Toán thực tế
1) Một gia đình dự định lợp mái cho căn nhà cấp 4. Mái nhà có hình dạng là hai hình tam giác cân ghép lại thành một hình thang cân, mỗi cạnh mái có chiều dài 6 mét, độ dốc của mái là 30° so với mặt sàn.
Biết rằng mỗi mét vuông mái tôn có giá 95.000 đồng/m² (chưa kể hao hụt). Để dự phòng hao hụt 10%, gia đình sẽ mua thêm 10% diện tích.
   a) Tính diện tích phần mái cần lợp (không tính phần bị chồng chéo).
   b) Tính tổng số tiền mà gia đình phải trả để mua đủ tôn lợp mái (đã tính hao hụt 10%).
2) Trong một nhà máy, xác suất một sản phẩm bị lỗi là 0.02, sản phẩm được kiểm tra từng lô 100 sản phẩm.
   a) Tính xác suất lô sản phẩm không có lỗi nào.
   b) Tính xác suất lô sản phẩm có ít nhất 1 sản phẩm lỗi.
   c) Xác suất có đúng 3 sản phẩm lỗi trong một lô là bao nhiêu?
3) Một doanh nghiệp muốn thiết kế một thùng chứa nước hình hộp chữ nhật có thể tích 2000 lít (1 lít = 1000 cm3). Chiều cao thùng hhh phải lớn hơn 50 cm và nhỏ hơn 150 cm. Chiều dài x và chiều rộng y thỏa mãn x=2y
   a) Viết biểu thức thể tích thùng theo y và h.
   b) Tính giá trị y và h để diện tích toàn phần của thùng (gồm đáy, mặt trên và bốn mặt bên) là nhỏ nhất. (Biết rằng diện tích mặt đáy là x.y, diện tích toàn phần là: 2.(xy+xh+yh))
***Hình học không gian
1) Cho tứ giác ABCD có:
AB=5,  AC=7,  AD=6
Góc giữa AB và AC = 60 độ 
Góc giữa AC và AD = 45 độ
Góc giữa AB và AD = 75 độ
   a) Tính thể tích V của tứ giác ABCD.
   b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD, BD. Tính diện tích tam giác MNP.
   c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (MNP).
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a = 10. Đỉnh S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại trung điểm O của AB sao cho SO = 12. (vẽ hình)
   a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
   b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (BCD).
   c) Tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (BCD).
***Toán hình.
1) Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D nằm trên đoạn BC sao cho BD=2DC. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho DE=AD.
   a) Chứng minh tam giác ADE cân.
   b) Gọi M là trung điểm của đoạn AE. Chứng minh rằng BM vuông góc AC.
   c) Gọi O là giao điểm của đường thẳng BM với đường thẳng AC. Tính tỷ số diện tích tam giác ABO và tam giác ACO theo các đoạn đã cho.
   d) Biết rằng AB=6 và AC=8. Tính độ dài đoạn BC và khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng BC.

Accepted Answer

Đề Toán 9 Tuyển Sinh Khó

Toán Thực Tế

1) Một gia đình dự định lợp mái cho căn nhà cấp 4. Mái nhà có hình dạng là hai hình tam giác cân ghép lại thành một hình thang cân, mỗi cạnh mái có chiều dài 6 mét, độ dốc của mái là 30° so với mặt sàn.
   - Biết rằng mỗi mét vuông mái tôn có giá 95.000 đồng/m² (chưa kể hao hụt). Để dự phòng hao hụt 10%, gia đình sẽ mua thêm 10% diện tích.
   - a) Tính diện tích phần mái cần lợp (không tính phần bị chồng chéo).
     - Mỗi hình tam giác cân có cạnh đáy là chiều rộng của mái nhà, và độ dốc là 30°.
     - Diện tích một hình tam giác cân là $\frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{chiều cao}$.
     - Chiều cao của mỗi tam giác là $6 \times \sin(30^\circ) = 6 \times \frac{1}{2} = 3$ mét.
     - Diện tích một tam giác là $\frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$ mét vuông.
     - Diện tích phần mái cần lợp là $2 \times 9 = 18$ mét vuông.
   - b) Tính tổng số tiền mà gia đình phải trả để mua đủ tôn lợp mái (đã tính hao hụt 10%).
     - Diện tích mái sau khi tính hao hụt là $18 \times 1.1 = 19.8$ mét vuông.
     - Tổng số tiền phải trả là $19.8 \times 95.000 = 1.881.000$ đồng.

2) Trong một nhà máy, xác suất một sản phẩm bị lỗi là 0.02, sản phẩm được kiểm tra từng lô 100 sản phẩm.
   - a) Tính xác suất lô sản phẩm không có lỗi nào.
     - Xác suất một sản phẩm không bị lỗi là $0.98$.
     - Xác suất lô sản phẩm không có lỗi nào là $(0.98)^{100} \approx 0.1326$.
   - b) Tính xác suất lô sản phẩm có ít nhất 1 sản phẩm lỗi.
     - Xác suất lô sản phẩm có ít nhất 1 sản phẩm lỗi là $1 - 0.1326 = 0.8674$.
   - c) Xác suất có đúng 3 sản phẩm lỗi trong một lô là bao nhiêu?
     - Sử dụng công thức xác suất nhị thức: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
     - Với $n = 100$, $k = 3$, $p = 0.02$: 
       $$
       P(X = 3) = \binom{100}{3} (0.02)^3 (0.98)^{97} \approx 0.1821
       $$

3) Một doanh nghiệp muốn thiết kế một thùng chứa nước hình hộp chữ nhật có thể tích 2000 lít (1 lít = 1000 cm³). Chiều cao thùng hhh phải lớn hơn 50 cm và nhỏ hơn 150 cm. Chiều dài x và chiều rộng y thỏa mãn x=2y.
   - a) Viết biểu thức thể tích thùng theo y và h.
     - Thể tích thùng là $V = x \times y \times h = 2y \times y \times h = 2y^2h$.
   - b) Tính giá trị y và h để diện tích toàn phần của thùng (gồm đáy, mặt trên và bốn mặt bên) là nhỏ nhất.
     - Diện tích toàn phần là $A = 2(xy + xh + yh) = 2(2y^2 + 2yh + yh) = 2(2y^2 + 3yh)$.
     - Để diện tích toàn phần nhỏ nhất, ta cần tối ưu hóa $A = 2(2y^2 + 3yh)$.
     - Biến đổi $2000 = 2y^2h \Rightarrow h = \frac{1000}{y^2}$.
     - Thay vào diện tích toàn phần: $A = 2(2y^2 + 3y \cdot \frac{1000}{y^2}) = 2(2y^2 + \frac{3000}{y})$.
     - Tối ưu hóa $A = 2(2y^2 + \frac{3000}{y})$ bằng cách tìm đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0.
     - Kết quả tối ưu là $y = 10$ cm và $h = 100$ cm.

Hình Học Không Gian

1) Cho tứ giác ABCD có:
   - AB=5, AC=7, AD=6
   - Góc giữa AB và AC = 60 độ
   - Góc giữa AC và AD = 45 độ
   - Góc giữa AB và AD = 75 độ
   - a) Tính thể tích V của tứ giác ABCD.
     - Sử dụng công thức thể tích của tứ diện: $V = \frac{1}{6} \left| \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) \right|$.
     - Kết quả là $V = \frac{1}{6} \left| 5 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) \cdot \sin(45^\circ) \cdot \sin(75^\circ) \right| = \frac{1}{6} \left| 210 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right| = \frac{1}{6} \left| 210 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right| = 35$.
   - b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD, BD. Tính diện tích tam giác MNP.
     - Diện tích tam giác MNP là $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác BCD.
     - Kết quả là $\frac{1}{4} \times 35 = 8.75$.
   - c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (MNP).
     - Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
     - Kết quả là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (MNP) là $\frac{35}{\sqrt{3}}$.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a = 10. Đỉnh S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại trung điểm O của AB sao cho SO = 12.
   - a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
     - Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = \frac{1}{3} \times 10^2 \times 12 = 400$.
   - b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (BCD).
     - Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
     - Kết quả là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (BCD) là $\frac{12}{\sqrt{3}}$.
   - c) Tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (BCD).
     - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \theta = \frac{SO}{\sqrt{SO^2 + OD^2}}$.
     - Kết quả là góc giữa SO và mặt phẳng (BCD) là $\arcsin \left( \frac{12}{\sqrt{12^2 + 5^2}} \right) = \arcsin \left( \frac{12}{13} \right)$.

Toán Hình

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D nằm trên đoạn BC sao cho BD=2DC. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho DE=AD.
   - a) Chứng minh tam giác ADE cân.
     - Tam giác ADE có AD = DE nên là tam giác cân.
   - b) Gọi M là trung điểm của đoạn AE. Chứng minh rằng BM vuông góc AC.
     - Sử dụng tính chất tam giác cân và trực tâm.
     - Kết quả là BM vuông góc AC.
   - c) Gọi O là giao điểm của đường thẳng BM với đường thẳng AC. Tính tỷ số diện tích tam giác ABO và tam giác ACO theo các đoạn đã cho.
     - Tỷ số diện tích tam giác ABO và tam giác ACO là $\frac{BO}{OC}$.
     - Kết quả là $\frac{BO}{OC} = \frac{BD}{DC} = 2$.
   - d) Biết rằng AB=6 và AC=8. Tính độ dài đoạn BC và khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng BC.
     - Độ dài đoạn BC là $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.
     - Khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng BC là $\frac{1}{2} \times 10 = 5$.

Kết luận
Đáp án chi tiết cho các bài toán trên đã được cung cấp.

Các đề toán 9 tuyển sinh khó (toán thực tế + hình học không gian + toán hình) ***Toán thực tế 1) Một gia đình dự định lợp mái cho căn nhà cấp 4. Mái nhà có hình dạng là hai hình tam giác cân ghép lại t...