Giai bai tap đúng sai Xong,Câu 1: Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn,$Q^\prime(t)=4t^3-72t^2+288t,$ trong đó t tính bằng giờ,$(0\leq t\leq13),~Q^\prime(t)$ tính bằng,khách/giờ. Nguồn: R.Larson and B. Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có,a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2.$,b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người.,c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người.,d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm $t=6.$,Câu 2: Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ,oxygen (mg//1 trong một hồ nước saau giờ $(t\geq0)$ khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được,xấp xỉ bởi hàm số $y(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$,a) Vào thời điểm $t=1$ thì nồng độ oxygen trong nước là 3,5(mg /1),b) Nồng độ oxygen (mg / l) trong một hồ nước không vượt quá 5(mg /1),c) Vào thời điểm $t=0$ thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất,d) Nồng độ oxygen (mg//1)ttoog mộthhồ nước thấ hấấ là ,,5mm /1),3,Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có,$A(0;0;0),~B(2;0;0),~D(0;2;0).$,$A^\prime(0;0;2).$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AA' (Hình 3).,,a) Toạ độ của điểm M là $(1;0;0).$,b) Toạ độ của điểm N là $(0;1;0).$,c) Phương trình mặt phẳng (DMN) là $\frac x1+\frac y2+\frac z1=1.$,d) Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN) bằng $\frac83.$,Câu 4: Khi điều tra sức khỏe nhiều người cao tuổi ở một địa phương, người ta thấy rằng có 40% người cao,tuổi bị bệnh tiểu đường. Bên cạnh đó, số người bị bệnh huyết áp cao trong những người bị bệnh tiểu,đường là 70%, trong những người không bị bệnh tiểu đường là 25%. Chọn ngẫu nhiên 1 người cao,tuổi để kiểm tra sức khỏe.,a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4,b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường, là 0,7,c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường, là 0,75,d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là 0,8

Question

Giai bai tap đúng sai Xong,Câu 1: Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn,$Q^\prime(t)=4t^3-72t^2+288t,$ trong đó t tính bằng giờ,$(0\leq t\leq13),~Q^\prime(t)$ tính bằng,khách/giờ. Nguồn: R.Larson and B. Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có,a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2.$,b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người.,c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người.,d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm $t=6.$,Câu 2: Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ,oxygen (mg//1 trong một hồ nước saau  giờ $(t\geq0)$ khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được,xấp xỉ bởi hàm số $y(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$,a) Vào thời điểm $t=1$ thì nồng độ oxygen trong nước là 3,5(mg /1),b) Nồng độ oxygen (mg / l) trong một hồ nước không vượt quá 5(mg /1),c) Vào thời điểm $t=0$ thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất,d) Nồng độ oxygen (mg//1)ttoog  mộthhồ nước thấ  hấấ  là ,,5mm /1),3,Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có,$A(0;0;0),~B(2;0;0),~D(0;2;0).$,$A^\prime(0;0;2).$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AA' (Hình 3).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/9f1000fc68ef498682a02f6ebf19e720.jpg />,a) Toạ độ của điểm M là $(1;0;0).$,b) Toạ độ của điểm N là $(0;1;0).$,c) Phương trình mặt phẳng (DMN) là $\frac x1+\frac y2+\frac z1=1.$,d) Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN) bằng $\frac83.$,Câu 4: Khi điều tra sức khỏe nhiều người cao tuổi ở một địa phương, người ta thấy rằng có 40% người cao,tuổi bị bệnh tiểu đường. Bên cạnh đó, số người bị bệnh huyết áp cao trong những người bị bệnh tiểu,đường là 70%, trong những người không bị bệnh tiểu đường là 25%. Chọn ngẫu nhiên 1 người cao,tuổi để kiểm tra sức khỏe.,a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4,b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường, là 0,7,c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường, là 0,75,d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là 0,8

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

Bước 1: Xác định hàm số $Q(t)$
Hàm số $Q(t)$ là nguyên hàm của $Q'(t)$. Ta có:
$$ Q'(t) = 4t^3 - 72t^2 + 288t $$

Tính nguyên hàm của $Q'(t)$:
$$ Q(t) = \int (4t^3 - 72t^2 + 288t) \, dt $$
$$ Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2 + C $$

Biết rằng sau 2 giờ đã có 500 người, ta có:
$$ Q(2) = 500 $$
$$ 2^4 - 24 \cdot 2^3 + 144 \cdot 2^2 + C = 500 $$
$$ 16 - 192 + 576 + C = 500 $$
$$ 392 + C = 500 $$
$$ C = 108 $$

Vậy hàm số $Q(t)$ là:
$$ Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2 + 108 $$

Bước 2: Kiểm tra các lựa chọn

a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số $Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2$
Đúng, vì ta đã xác định được hàm số $Q(t)$ như trên.

b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người
Ta tính $Q(5)$:
$$ Q(5) = 5^4 - 24 \cdot 5^3 + 144 \cdot 5^2 + 108 $$
$$ Q(5) = 625 - 3000 + 3600 + 108 $$
$$ Q(5) = 1325 $$

Đúng, sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người.

c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người
Để tìm giá trị lớn nhất của $Q(t)$ trong khoảng $0 \leq t \leq 13$, ta cần tìm điểm cực đại của $Q(t)$.

Tính đạo hàm của $Q(t)$:
$$ Q'(t) = 4t^3 - 72t^2 + 288t $$

Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $Q'(t) = 0$:
$$ 4t^3 - 72t^2 + 288t = 0 $$
$$ 4t(t^2 - 18t + 72) = 0 $$
$$ 4t(t - 6)(t - 12) = 0 $$

Các nghiệm là $t = 0$, $t = 6$, và $t = 12$.

Kiểm tra giá trị của $Q(t)$ tại các điểm này:
$$ Q(0) = 108 $$
$$ Q(6) = 6^4 - 24 \cdot 6^3 + 144 \cdot 6^2 + 108 $$
$$ Q(6) = 1296 - 5184 + 5184 + 108 $$
$$ Q(6) = 1296 $$

$$ Q(12) = 12^4 - 24 \cdot 12^3 + 144 \cdot 12^2 + 108 $$
$$ Q(12) = 20736 - 41472 + 20736 + 108 $$
$$ Q(12) = 108 $$

Vậy giá trị lớn nhất của $Q(t)$ là 1296, đạt được khi $t = 6$.

d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm $t = 6$
Để tìm giá trị lớn nhất của $Q'(t)$ trong khoảng $0 \leq t \leq 13$, ta cần tìm điểm cực đại của $Q'(t)$.

Tính đạo hàm của $Q'(t)$:
$$ Q''(t) = 12t^2 - 144t + 288 $$

Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $Q''(t) = 0$:
$$ 12t^2 - 144t + 288 = 0 $$
$$ t^2 - 12t + 24 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2} $$
$$ t = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2} $$
$$ t = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{2} $$
$$ t = 6 \pm 2\sqrt{3} $$

Kiểm tra giá trị của $Q'(t)$ tại các điểm này:
$$ Q'(6) = 4 \cdot 6^3 - 72 \cdot 6^2 + 288 \cdot 6 $$
$$ Q'(6) = 864 - 2592 + 1728 $$
$$ Q'(6) = 0 $$

Vậy tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất không đạt được tại thời điểm $t = 6$.

Kết luận
Các lựa chọn đúng là:
a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số $Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2$.
b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người.
c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người.

Đáp án: a, b, c.

Câu 2:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một.

a) Vào thời điểm $ t = 1 $ thì nồng độ oxygen trong nước là 3,5 (mg/l).

Thay $ t = 1 $ vào hàm số $ y(t) = 5 - \frac{15t}{9t^2 + 1} $:

$$ y(1) = 5 - \frac{15 \cdot 1}{9 \cdot 1^2 + 1} = 5 - \frac{15}{9 + 1} = 5 - \frac{15}{10} = 5 - 1.5 = 3.5 $$

Vậy phát biểu a) đúng.

b) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước không vượt quá 5 (mg/l).

Ta thấy rằng hàm số $ y(t) = 5 - \frac{15t}{9t^2 + 1} $ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 5 vì phần trừ đi luôn dương hoặc bằng 0. Do đó, phát biểu b) đúng.

c) Vào thời điểm $ t = 0 $ thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất.

Thay $ t = 0 $ vào hàm số $ y(t) $:

$$ y(0) = 5 - \frac{15 \cdot 0}{9 \cdot 0^2 + 1} = 5 - 0 = 5 $$

Vậy tại $ t = 0 $, nồng độ oxygen là 5 (mg/l), đây là giá trị lớn nhất của hàm số. Phát biểu c) đúng.

d) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước thấp nhất là 3,5 (mg/l).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y(t) $, ta tính đạo hàm của $ y(t) $:

$$ y'(t) = \frac{d}{dt}\left(5 - \frac{15t}{9t^2 + 1}\right) = -\frac{15(9t^2 + 1) - 15t \cdot 18t}{(9t^2 + 1)^2} = -\frac{15(9t^2 + 1 - 18t^2)}{(9t^2 + 1)^2} = -\frac{15(1 - 9t^2)}{(9t^2 + 1)^2} $$

Đặt $ y'(t) = 0 $:

$$ -\frac{15(1 - 9t^2)}{(9t^2 + 1)^2} = 0 \Rightarrow 1 - 9t^2 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow t = \pm \frac{1}{3} $$

Vì $ t \geq 0 $, ta chỉ xét $ t = \frac{1}{3} $.

Thay $ t = \frac{1}{3} $ vào hàm số $ y(t) $:

$$ y\left(\frac{1}{3}\right) = 5 - \frac{15 \cdot \frac{1}{3}}{9 \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1} = 5 - \frac{5}{1 + 1} = 5 - \frac{5}{2} = 2.5 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2.5 (mg/l). Phát biểu d) sai.

Kết luận:
- Phát biểu a) đúng.
- Phát biểu b) đúng.
- Phát biểu c) đúng.
- Phát biểu d) sai.

Câu 3:
a) Tọa độ của điểm M là $(1;0;0)$ vì M là trung điểm của AB, ta có:
$$ M = \left( \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (1, 0, 0) $$

b) Tọa độ của điểm N là $(0;1;1)$ vì N là trung điểm của AA', ta có:
$$ N = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2} \right) = (0, 0, 1) $$

c) Phương trình mặt phẳng (DMN):
- Ta có các điểm D(0, 2, 0), M(1, 0, 0), N(0, 0, 1).
- Vector DM = (1 - 0, 0 - 2, 0 - 0) = (1, -2, 0)
- Vector DN = (0 - 0, 0 - 2, 1 - 0) = (0, -2, 1)

Phương trình mặt phẳng (DMN) có dạng:
$$ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$
Lấy điểm D(0, 2, 0) làm điểm tham chiếu, ta có:
$$ a(x - 0) + b(y - 2) + c(z - 0) = 0 $$
$$ ax + b(y - 2) + cz = 0 $$

Ta cần tìm các hệ số a, b, c từ hai vector DM và DN:
$$ \begin{vmatrix}
x & y - 2 & z \
1 & -2 & 0 \
0 & -2 & 1 
\end{vmatrix} = 0 $$

Tính định thức:
$$ x(-2 \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) - (y - 2)(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + z(1 \cdot (-2) - 0 \cdot (-2)) = 0 $$
$$ x(-2) - (y - 2)(1) + z(-2) = 0 $$
$$ -2x - y + 2 - 2z = 0 $$
$$ -2x - y - 2z + 2 = 0 $$
$$ 2x + y + 2z = 2 $$
$$ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1 $$

d) Khoảng cách từ điểm C'(2, 2, 2) đến mặt phẳng (DMN):
Phương trình mặt phẳng (DMN) đã tìm được là:
$$ 2x + y + 2z = 2 $$

Khoảng cách từ điểm (x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ là:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ d = \frac{|2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} $$
$$ d = \frac{|4 + 2 + 4 - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} $$
$$ d = \frac{|8|}{\sqrt{9}} $$
$$ d = \frac{8}{3} $$

Đáp số:
a) Tọa độ của điểm M là $(1;0;0)$.
b) Tọa độ của điểm N là $(0;0;1)$.
c) Phương trình mặt phẳng (DMN) là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$.
d) Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN) bằng $\frac{8}{3}$.

Câu 4:
a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4

b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường, là 0,7

c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường, là 0,25

d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là:
$$ P(A) = P(D) \cdot P(A|D) + P(\overline{D}) \cdot P(A|\overline{D}) $$
$$ P(A) = 0,4 \cdot 0,7 + 0,6 \cdot 0,25 $$
$$ P(A) = 0,28 + 0,15 $$
$$ P(A) = 0,43 $$

Đáp số: 0,43