giải toán 12

Để xét tính đơn điệu của hàm số \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Ta có: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x) = 3x^2 - 12x + 9 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị (nếu có) Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng Ta xét dấu của \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \) trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm \( x = 1 \) và \( x = 3 \). - Trên khoảng \( (-\infty, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, 1) \). - Trên khoảng \( (1, 3) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (1, 3) \). - Trên khoảng \( (3, +\infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (3, +\infty) \). Kết luận: - Hàm số \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (3, +\infty) \). - Hàm số \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) nghịch biến trên khoảng \( (1, 3) \).