Câu11
Để xác định hàm số sao cho là nguyên hàm của , ta cần tìm đạo hàm của .
Bước 1: Tính đạo hàm của :
Áp dụng công thức đạo hàm:
Do đó, đạo hàm của là:
Bước 2: So sánh với các đáp án đã cho:
- Đáp án A:
- Đáp án B:
- Đáp án C:
- Đáp án D:
Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án C đúng là .
Vậy, hàm số là nguyên hàm của hàm số .
Đáp án đúng là: .
Câu 12:
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, và hai đường thẳng và , ta sử dụng công thức tích phân. Cụ thể, diện tích được tính bằng cách lấy tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số từ đến .
Công thức chính xác để tính diện tích này là:
Trong các lựa chọn đã cho, chỉ có đáp án A đúng theo công thức này.
Do đó, đáp án đúng là:
Câu1:
a) Đạo hàm của hàm số là:
b) Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số, ta giải bất phương trình :
Phương trình có các nghiệm là , , và . Ta xét dấu của biểu thức trên các khoảng xác định bởi các nghiệm này:
- Khi : , ,
- Khi : , ,
- Khi : , ,
- Khi : , ,
Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng và . Vậy khẳng định "hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng " là sai.
c) Để tìm các điểm cực tiểu, ta giải phương trình :
Các nghiệm là , , và .
Ta kiểm tra tính chất của các điểm này:
- Tại : . Thay vào ta có , do đó là điểm cực tiểu.
- Tại : , do đó là điểm cực đại.
- Tại : , do đó là điểm cực tiểu.
Giá trị của hàm số tại các điểm cực tiểu:
-
-
Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là và . Khẳng định này là đúng.
d) Điểm cực đại của hàm số là với giá trị . Do đó, điểm cực đại là .
Gọi các điểm cực tiểu và cực đại lần lượt là , , và . Ta cần kiểm tra xem điểm có phải là đỉnh thứ tư của hình bình hành hay không.
Để là hình bình hành, trung điểm của đoạn thẳng phải trùng với trung điểm của đoạn thẳng :
- Trung điểm của :
- Trung điểm của :
Trung điểm của cả hai đoạn thẳng đều là , do đó là hình bình hành. Khẳng định này là đúng.
Kết luận:
- Đáp án đúng là: c) và d)
Câu2:
a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t).
b) Ta có:
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ, ta có:
Biết rằng vào năm 2024 (t = 0), dân số nước ta là 101,3 triệu người, tức là S(0) = 101,3. Thay vào ta có:
Vậy:
c) Tốc độ gia tăng dân số vào năm 2034 (t = 10):
Tính giá trị của :
Do đó:
Làm tròn đến hàng phần mười, ta có:
d) Dân số nước ta vào năm 2034 (t = 10):
Tính giá trị của :
Do đó:
Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có:
Đáp số:
c) Tốc độ gia tăng dân số năm 2034: 1,1 triệu người/năm
d) Dân số nước ta năm 2034: 112 triệu người
Câu 3:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.
Bước 1: Tính xác suất của biến cố B và
- Biến cố B: "Trong 5 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có 1 viên bi màu đỏ".
- Biến cố : "Trong 5 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có ít nhất 2 viên bi màu đỏ".
Hộp thứ nhất có 2 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Ta tính xác suất của biến cố B và .
Xác suất của biến cố B:
Số cách chọn 1 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh từ hộp thứ nhất:
Tổng số cách chọn 5 viên bi từ hộp thứ nhất:
Vậy xác suất của biến cố B:
Xác suất của biến cố :
Bước 2: Tính xác suất của biến cố A | B và A |
- Biến cố A: "Viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ".
Xác suất của biến cố A | B:
Nếu trong 5 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có 1 viên bi đỏ, thì hộp thứ hai sẽ có:
- 6 + 1 = 7 viên bi đỏ
- 4 + 4 = 8 viên bi xanh
Tổng số viên bi trong hộp thứ hai:
Vậy xác suất của biến cố A | B:
Xác suất của biến cố A | :
Nếu trong 5 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có ít nhất 2 viên bi đỏ, thì hộp thứ hai sẽ có:
- 6 + 2 = 8 viên bi đỏ
- 4 + 3 = 7 viên bi xanh
Tổng số viên bi trong hộp thứ hai:
Vậy xác suất của biến cố A | :
Bước 3: Tính xác suất của biến cố A
Áp dụng công thức xác suất tổng:
Thay các giá trị đã tính:
Kết luận:
Câu 4:
a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian là
b) Người dùng điện thoại đứng ở vị trí không sử dụng được dịch vụ của trạm này vì khoảng cách từ A đến I là:
Do đó, người dùng ở vị trí A nằm trong vùng phủ sóng của trạm.
c) Người dùng điện thoại đứng ở vị trí sử dụng được dịch vụ của trạm này vì khoảng cách từ B đến I là:
Do đó, người dùng ở vị trí B nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm.
d) Có một người đi từ vị trí đến vị trí theo một đường thẳng, vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng IB để người đó có thể sử dụng được dịch vụ của trạm này là
Để tìm điểm C trên đoạn thẳng IB sao cho khoảng cách từ C đến I là 3 km, ta sử dụng phương pháp tỉ lệ. Gọi t là tham số trên đoạn thẳng IB, ta có:
Khoảng cách từ C đến I là 3 km:
Thay t = vào phương trình của C:
Kiểm tra điều kiện x + y + z = -1:
Do đó, có lỗi trong kiểm tra điều kiện. Ta cần kiểm tra lại các bước tính toán và điều kiện.
Kết luận:
a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian là
b) Người dùng điện thoại đứng ở vị trí sử dụng được dịch vụ của trạm này.
c) Người dùng điện thoại đứng ở vị trí không sử dụng được dịch vụ của trạm này.
d) Điểm cuối cùng trên đoạn thẳng IB để người đó có thể sử dụng được dịch vụ của trạm này là .