giupsmik với

Câu 9. Để chứng minh rằng hệ $E=\{e_1=(1,1,1,1);e_2=(0,1,2,3);e_3=(0,2,3,4);e_4=(-1,-2,-3,-4)\}$ là hệ phụ thuộc tuyến tính trong không gian vectơ $\mathbb{R}^4$, ta cần tìm các số thực $a, b, c, d$ không đồng thời bằng 0 sao cho: \[ a e_1 + b e_2 + c e_3 + d e_4 = 0 \] Viết thành phương trình: \[ a(1,1,1,1) + b(0,1,2,3) + c(0,2,3,4) + d(-1,-2,-3,-4) = (0,0,0,0) \] Phân tích từng thành phần: \[ \begin{cases} a - d = 0 \\ a + b + 2c - 2d = 0 \\ a + 2b + 3c - 3d = 0 \\ a + 3b + 4c - 4d = 0 \end{cases} \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ a = d \] Thay $a = d$ vào các phương trình còn lại: \[ \begin{cases} d + b + 2c - 2d = 0 \\ d + 2b + 3c - 3d = 0 \\ d + 3b + 4c - 4d = 0 \end{cases} \] Simplifying these equations: \[ \begin{cases} b + 2c - d = 0 \\ 2b + 3c - 2d = 0 \\ 3b + 4c - 3d = 0 \end{cases} \] Ta thấy rằng phương trình thứ hai và thứ ba đều có thể suy ra từ phương trình thứ nhất. Cụ thể: - Từ $b + 2c - d = 0$, nhân cả hai vế với 2 ta được $2b + 4c - 2d = 0$. - Từ $b + 2c - d = 0$, nhân cả hai vế với 3 ta được $3b + 6c - 3d = 0$. Như vậy, hệ phương trình này có vô số nghiệm, tức là tồn tại các số thực $a, b, c, d$ không đồng thời bằng 0 thỏa mãn phương trình trên. Do đó, hệ $E$ là hệ phụ thuộc tuyến tính. Kết luận: Hệ $E=\{e_1=(1,1,1,1);e_2=(0,1,2,3);e_3=(0,2,3,4);e_4=(-1,-2,-3,-4)\}$ là hệ phụ thuộc tuyến tính trong không gian vectơ $\mathbb{R}^4$. Câu 10. Để chứng minh rằng tập hợp $E = \{e_1, e_2, e_3, e_4\}$ là hệ phụ thuộc tuyến tính trong không gian vectơ $\mathbb{R}^4$, ta cần tìm các số thực $a, b, c, d$ không đồng thời bằng 0 sao cho: \[ a e_1 + b e_2 + c e_3 + d e_4 = 0 \] Tức là: \[ a(1, 2, 3, 4) + b(2, 3, 4, 5) + c(3, 4, 5, 6) + d(-4, -5, -6, -7) = (0, 0, 0, 0) \] Ta sẽ viết lại phương trình này dưới dạng hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + 2b + 3c - 4d = 0 \\ 2a + 3b + 4c - 5d = 0 \\ 3a + 4b + 5c - 6d = 0 \\ 4a + 5b + 6c - 7d = 0 \end{cases} \] Ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm các giá trị của $a, b, c, d$. Ta có thể sử dụng phương pháp giảm dần để giải hệ phương trình này. Nhân phương trình thứ nhất với 2 rồi trừ đi phương trình thứ hai: \[ 2(a + 2b + 3c - 4d) - (2a + 3b + 4c - 5d) = 0 \\ 2a + 4b + 6c - 8d - 2a - 3b - 4c + 5d = 0 \\ b + 2c - 3d = 0 \quad \text{(Phương trình mới 1)} \] Nhân phương trình thứ nhất với 3 rồi trừ đi phương trình thứ ba: \[ 3(a + 2b + 3c - 4d) - (3a + 4b + 5c - 6d) = 0 \\ 3a + 6b + 9c - 12d - 3a - 4b - 5c + 6d = 0 \\ 2b + 4c - 6d = 0 \quad \text{(Phương trình mới 2)} \] Nhân phương trình thứ nhất với 4 rồi trừ đi phương trình thứ tư: \[ 4(a + 2b + 3c - 4d) - (4a + 5b + 6c - 7d) = 0 \\ 4a + 8b + 12c - 16d - 4a - 5b - 6c + 7d = 0 \\ 3b + 6c - 9d = 0 \quad \text{(Phương trình mới 3)} \] Bây giờ ta có hệ phương trình mới: \[ \begin{cases} b + 2c - 3d = 0 \\ 2b + 4c - 6d = 0 \\ 3b + 6c - 9d = 0 \end{cases} \] Nhận thấy rằng phương trình mới 2 và phương trình mới 3 đều là bội của phương trình mới 1, do đó chúng không mang thêm thông tin mới. Ta chỉ cần giải phương trình mới 1: \[ b + 2c - 3d = 0 \] Chọn $d = t$ (t là tham số), ta có: \[ b + 2c - 3t = 0 \] \[ b = 3t - 2c \] Chọn $c = s$ (s là tham số), ta có: \[ b = 3t - 2s \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ a + 2(3t - 2s) + 3s - 4t = 0 \] \[ a + 6t - 4s + 3s - 4t = 0 \] \[ a + 2t - s = 0 \] \[ a = s - 2t \] Vậy ta đã tìm được các giá trị của $a, b, c, d$ không đồng thời bằng 0: \[ a = s - 2t, \quad b = 3t - 2s, \quad c = s, \quad d = t \] Do đó, tập hợp $E$ là hệ phụ thuộc tuyến tính.