Giup e vs ạ lớp 12 Bài tập tự luận,Bài 1. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty;1),~(1;+\infty)$ các có bảng biến thiên như sau,,FeO,Xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số đã cho.,Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:,$a)~y=-x^3+6x^2-9x+4;$ $b)~y=x^4-6x^2+8x+1;$ $c)~y=\frac{3-2x}{x+7};$,$d)~y=\frac{x^2-x+1}{x-1};$ $e)~y=x+\sqrt{16-x^2};$ $f)~y=\log_2(2x^2-x-1).$,Bài 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số $f(x).$,Biết rằng hàm số $f(x)$ có đạo hàm:,$a)~f^\prime(x)=x(x+1)(x-4)^3,\forall x\in\mathbb{R};$ $b)~f^\prime(x)=x(x-1)(x^2-1),\forall x\in\mathbb{R}.$,Bài 4. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3;3]$ và có đồ thị như hình,vẽ. Xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số đã cho trên khoảng,,$(-3;3).$

Question

Giup e vs ạ lớp 12 Bài tập tự luận,Bài 1. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty;1),~(1;+\infty)$ các có bảng biến thiên như sau,

,FeO,Xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số đã cho.,Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:,$a)~y=-x^3+6x^2-9x+4;$ $b)~y=x^4-6x^2+8x+1;$ $c)~y=\frac{3-2x}{x+7};$,$d)~y=\frac{x^2-x+1}{x-1};$ $e)~y=x+\sqrt{16-x^2};$ $f)~y=\log_2(2x^2-x-1).$,Bài 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số $f(x).$,Biết rằng hàm số $f(x)$ có đạo hàm:,$a)~f^\prime(x)=x(x+1)(x-4)^3,\forall x\in\mathbb{R};$ $b)~f^\prime(x)=x(x-1)(x^2-1),\forall x\in\mathbb{R}.$,Bài 4. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3;3]$ và có đồ thị như hình,vẽ. Xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số đã cho trên khoảng,

,$(-3;3).$

Accepted Answer

Bài 1. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có thể xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số như sau: 1. Xác định các khoảng đơn điệu: - Hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$. - Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên các khoảng $(0; 1)$ và $(1; 2)$. 2. Xác định các cực trị: - Tại điểm $x = 0$, hàm số đạt cực đại với giá trị cực đại là $f(0) = 3$. - Tại điểm $x = 2$, hàm số đạt cực tiểu với giá trị cực tiểu là $f(2) = -1$. Tóm lại: - Các khoảng đồng biến của hàm số là $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$. - Các khoảng nghịch biến của hàm số là $(0; 1)$ và $(1; 2)$. - Cực đại của hàm số là $f(0) = 3$. - Cực tiểu của hàm số là $f(2) = -1$. Bài 2. a) $y=-x^3+6x^2-9x+4.$ $y'=-3x^2+12x-9.$ $y'=0\Leftrightarrow -3x^2+12x-9=0$ $\Leftrightarrow x^2-4x+3=0$ $\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0$ $\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=3.$ Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(1;3).$ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty ).$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1,$ giá trị cực tiểu là $y(1)=0.$ Hàm số đạt cực đại tại $x=3,$ giá trị cực đại là $y(3)=4.$ b) $y=x^4-6x^2+8x+1.$ $y'=4x^3-12x+8.$ $y'=0\Leftrightarrow 4x^3-12x+8=0$ $\Leftrightarrow x^3-3x+2=0$ $\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x-2)=0$ $\Leftrightarrow (x-1)^2(x+2)=0$ $\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-2.$ Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-2;1).$ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(1;+\infty ).$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2,$ giá trị cực tiểu là $y(-2)=-19.$ Hàm số đạt cực đại tại $x=1,$ giá trị cực đại là $y(1)=4.$ c) $y=\frac{3-2x}{x+7}.$ Điều kiện: $x\ne -7.$ $y'=\frac{-2(x+7)-(3-2x)}{(x+7)^2}=\frac{-17}{(x+7)^2}<0,\forall x\ne -7.$ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-7)$ và $(-7;+\infty ).$ Hàm số không có cực trị. d) $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}.$ Điều kiện: $x\ne 1.$ $y'=\frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+1)}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$ $y'=0\Leftrightarrow \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=0$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2.$ Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty ).$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$ và $(1;2).$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0,$ giá trị cực tiểu là $y(0)=-1.$ Hàm số đạt cực đại tại $x=2,$ giá trị cực đại là $y(2)=3.$ e) $y=x+\sqrt{16-x^2}.$ Điều kiện: $16-x^2\ge 0\Leftrightarrow -4\le x\le 4.$ $y'=1+\frac{1}{2}(16-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x)=1-\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}.$ $y'=0\Leftrightarrow 1-\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}=0$ $\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{16-x^2}}=1$ $\Leftrightarrow x=\sqrt{16-x^2}$ $\Leftrightarrow x>0$ và $x^2=16-x^2$ $\Leftrightarrow x^2=8$ $\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}.$ Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng $(-4;2\sqrt{2}).$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2\sqrt{2};4).$ Hàm số đạt cực đại tại $x=2\sqrt{2},$ giá trị cực đại là $y(2\sqrt{2})=4\sqrt{2}.$ f) $y=\log_2(2x^2-x-1).$ Điều kiện: $2x^2-x-1>0\Leftrightarrow x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>1.$ $y'=\frac{1}{(2x^2-x-1)\ln 2}\times (4x-1).$ $y'=0\Leftrightarrow \frac{1}{(2x^2-x-1)\ln 2}\times (4x-1)=0$ $\Leftrightarrow 4x-1=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}.$ Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-\frac{1}{2})$ và $(1;+\infty ).$ Hàm số không có cực trị. Bài 3. Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số $f(x)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định a) $f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^3$ - Ta thấy $f'(x)$ là một đa thức nên xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$. - Đạo hàm bằng 0 tại các điểm: $$ f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^3 = 0 $$ Suy ra: $$ x = 0, \quad x = -1, \quad x = 4 $$ b) $f'(x) = x(x - 1)(x^2 - 1)$ - Ta thấy $f'(x)$ là một đa thức nên xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$. - Đạo hàm bằng 0 tại các điểm: $$ f'(x) = x(x - 1)(x^2 - 1) = x(x - 1)(x - 1)(x + 1) = x(x - 1)^2(x + 1) = 0 $$ Suy ra: $$ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 $$ Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng giữa các điểm đã tìm a) $f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^3$ - Chia $\mathbb{R}$ thành các khoảng: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 4)$, $(4, +\infty)$. - Kiểm tra dấu của $f'(x)$ trong mỗi khoảng: - Khi $x < -1$: $x < 0$, $x + 1 < 0$, $x - 4 < 0$. Suy ra $f'(x) > 0$. - Khi $-1 < x < 0$: $x < 0$, $x + 1 > 0$, $x - 4 < 0$. Suy ra $f'(x) < 0$. - Khi $0 < x < 4$: $x > 0$, $x + 1 > 0$, $x - 4 < 0$. Suy ra $f'(x) < 0$. - Khi $x > 4$: $x > 0$, $x + 1 > 0$, $x - 4 > 0$. Suy ra $f'(x) > 0$. b) $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 1)$ - Chia $\mathbb{R}$ thành các khoảng: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$. - Kiểm tra dấu của $f'(x)$ trong mỗi khoảng: - Khi $x < -1$: $x < 0$, $x - 1 < 0$, $x + 1 < 0$. Suy ra $f'(x) < 0$. - Khi $-1 < x < 0$: $x < 0$, $x - 1 < 0$, $x + 1 > 0$. Suy ra $f'(x) > 0$. - Khi $0 < x < 1$: $x > 0$, $x - 1 < 0$, $x + 1 > 0$. Suy ra $f'(x) < 0$. - Khi $x > 1$: $x > 0$, $x - 1 > 0$, $x + 1 > 0$. Suy ra $f'(x) > 0$. Bước 3: Xác định các khoảng đơn điệu và cực trị a) $f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^3$ - Hàm số tăng trên các khoảng: $(-\infty, -1)$ và $(4, +\infty)$. - Hàm số giảm trên các khoảng: $(-1, 0)$ và $(0, 4)$. - Cực trị: - Cực đại tại $x = -1$ và $x = 4$. - Cực tiểu tại $x = 0$. b) $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 1)$ - Hàm số tăng trên các khoảng: $(-1, 0)$ và $(1, +\infty)$. - Hàm số giảm trên các khoảng: $(-\infty, -1)$ và $(0, 1)$. - Cực trị: - Cực đại tại $x = -1$. - Cực tiểu tại $x = 0$. Kết luận a) $f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^3$ - Khoảng tăng: $(-\infty, -1)$ và $(4, +\infty)$. - Khoảng giảm: $(-1, 0)$ và $(0, 4)$. - Cực đại tại $x = -1$ và $x = 4$. - Cực tiểu tại $x = 0$. b) $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 1)$ - Khoảng tăng: $(-1, 0)$ và $(1, +\infty)$. - Khoảng giảm: $(-\infty, -1)$ và $(0, 1)$. - Cực đại tại $x = -1$. - Cực tiểu tại $x = 0$. Bài 4. Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f(x)$, ta xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số trên khoảng $(-3;3)$ như sau: 1. Xác định các khoảng đơn điệu: - Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên các khoảng $(-3; -1)$ và $(1; 3)$. - Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên các khoảng $(-1; 1)$. 2. Xác định các cực trị: - Cực đại: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$, giá trị cực đại là $f(-1) = 2$. - Cực tiểu: Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$, giá trị cực tiểu là $f(1) = -2$. Tóm lại: - Các khoảng đồng biến: $(-3; -1)$ và $(1; 3)$. - Các khoảng nghịch biến: $(-1; 1)$. - Cực đại: $f(-1) = 2$. - Cực tiểu: $f(1) = -2$.