Trả lời đúng sai

Câu 1: a) Phương trình đường thẳng AB là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 - 3t \\ y = -5 + 7t \\ z = 1 - t \end{array} \right. \] b) Góc trượt giữa đường bay AB và mặt đất (mặt phẳng $(Oxy)$) là góc giữa đường thẳng AB và hình chiếu của nó lên mặt phẳng $(Oxy)$. Vector chỉ phương của đường thẳng AB là $\vec{AB} = (-3, 7, -1)$. Vector chỉ phương của hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng $(Oxy)$ là $\vec{u} = (-3, 7, 0)$. Góc giữa hai vector này là: \[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{u}}{|\vec{AB}| |\vec{u}|} = \frac{(-3)(-3) + 7 \cdot 7 + (-1) \cdot 0}{\sqrt{(-3)^2 + 7^2 + (-1)^2} \sqrt{(-3)^2 + 7^2 + 0^2}} = \frac{9 + 49}{\sqrt{59} \sqrt{58}} = \frac{58}{\sqrt{59} \sqrt{58}} = \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{59}} \] \[ \theta = \arccos \left(\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{59}}\right) \] Do đó, góc trượt không nằm trong phạm vi cho phép từ 2,5° đến 9°. c) Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm $M(5, 0, 0)$, $N(0, -1, 0)$, $P(0, 0, 2)$. Ta tìm phương trình mặt phẳng (P): \[ \vec{MN} = (-5, -1, 0), \quad \vec{MP} = (-5, 0, 2) \] Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \vec{n} = \vec{MN} \times \vec{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -5 & -1 & 0 \\ -5 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (-2, 10, -5) \] Phương trình mặt phẳng (P) là: \[ -2(x - 5) + 10(y - 0) - 5(z - 0) = 0 \Rightarrow -2x + 10y - 5z + 10 = 0 \Rightarrow 2x - 10y + 5z = 10 \] Thay phương trình đường thẳng AB vào phương trình mặt phẳng (P): \[ 2(4 - 3t) - 10(-5 + 7t) + 5(1 - t) = 10 \] \[ 8 - 6t + 50 - 70t + 5 - 5t = 10 \] \[ 63 - 81t = 10 \Rightarrow 81t = 53 \Rightarrow t = \frac{53}{81} \] Tọa độ điểm C là: \[ x = 4 - 3 \cdot \frac{53}{81} = 4 - \frac{159}{81} = \frac{324 - 159}{81} = \frac{165}{81} = \frac{55}{27} \] \[ y = -5 + 7 \cdot \frac{53}{81} = -5 + \frac{371}{81} = \frac{-405 + 371}{81} = \frac{-34}{81} \] \[ z = 1 - \frac{53}{81} = \frac{81 - 53}{81} = \frac{28}{81} \] Độ cao của điểm C là: \[ z = \frac{28}{81} \approx 0.346 \text{ km} = 346 \text{ m} \] d) Tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 800m. Điểm đầu E của đường băng là $E(2, 0.5, 0)$. Độ cao tối thiểu để người phi công nhìn thấy điểm đầu E của đường băng là 150m. Độ cao của điểm C là 346m, do đó người phi công đã đạt được quy định an toàn bay. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: Phần a) Tính giá trị của hàm số tại các điểm đã cho: - \( f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\frac{\pi}{2} - \sin\left( 2 \cdot -\frac{\pi}{2} \right) = -\frac{\pi}{2} - \sin(-\pi) = -\frac{\pi}{2} - 0 = -\frac{\pi}{2} \) - \( f(\pi) = \pi - \sin(2\pi) = \pi - 0 = \pi \) Phần b) Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x - \sin 2x) = 1 - 2\cos 2x \] Phần c) Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow 1 - 2\cos 2x = 0 \] \[ 2\cos 2x = 1 \] \[ \cos 2x = \frac{1}{2} \] Các nghiệm của phương trình \(\cos 2x = \frac{1}{2}\) trong đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \pi]\) là: \[ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Trong đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \pi]\), các giá trị của \(x\) thỏa mãn là: \[ x = -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \] Phần d) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \pi]\): - Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và các điểm cực trị: - \( f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\frac{\pi}{2} \) - \( f\left( \pi \right) = \pi \) - \( f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\pi}{6} - \sin\left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( f\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{6} - \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( f\left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{5\pi}{6} - \sin\left( \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \) So sánh các giá trị: - \( f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 \) - \( f\left( \pi \right) = \pi \approx 3.14 \) - \( f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.52 + 0.87 = 0.35 \) - \( f\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.52 - 0.87 = -0.35 \) - \( f\left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.62 + 0.87 = 3.49 \) Giá trị lớn nhất là \( f\left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \) Giá trị nhỏ nhất là \( f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\frac{\pi}{2} \) Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: \[ \left( \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \] Đáp số: \(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\) Câu 3: a) Số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó là: \[ C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \] b) Số cách lấy được 3 quả cầu không có quả màu đỏ là: \[ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] c) Xác suất lấy được 3 quả cầu không có quả màu đỏ là: \[ P(\text{không có quả màu đỏ}) = \frac{\text{số cách lấy 3 quả không có quả màu đỏ}}{\text{số cách lấy 3 quả từ hộp}} = \frac{20}{84} = \frac{5}{21} \] d) Xác suất lấy được 3 quả cầu có ít nhất 1 quả màu đỏ là: \[ P(\text{ít nhất 1 quả màu đỏ}) = 1 - P(\text{không có quả màu đỏ}) = 1 - \frac{5}{21} = \frac{16}{21} \] Đáp số: a) 84 b) 20 c) $\frac{5}{21}$ d) $\frac{16}{21}$ Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Tìm hàm số $Q(t)$ Hàm số $Q^\prime(t) = 4t^3 - 72t^2 + 288t$ là đạo hàm của hàm số $Q(t)$. Để tìm $Q(t)$, ta thực hiện tích phân của $Q^\prime(t)$: \[ Q(t) = \int (4t^3 - 72t^2 + 288t) \, dt \] \[ Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2 + C \] Biết rằng tại thời điểm $t = 2$ giờ, lượng khách tham quan là 500 người, ta có: \[ Q(2) = 2^4 - 24 \cdot 2^3 + 144 \cdot 2^2 + C = 500 \] \[ 16 - 192 + 576 + C = 500 \] \[ 392 + C = 500 \] \[ C = 108 \] Vậy hàm số $Q(t)$ là: \[ Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2 + 108 \] Bước 2: Tính lượng khách tham quan tại thời điểm $t = 5$ giờ Thay $t = 5$ vào hàm số $Q(t)$: \[ Q(5) = 5^4 - 24 \cdot 5^3 + 144 \cdot 5^2 + 108 \] \[ Q(5) = 625 - 3000 + 3600 + 108 \] \[ Q(5) = 1325 \] Bước 3: Tìm lượng khách tham quan lớn nhất Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $Q(t)$ trên đoạn $[0, 13]$, ta cần tìm các điểm cực trị của $Q(t)$ bằng cách giải phương trình $Q^\prime(t) = 0$: \[ 4t^3 - 72t^2 + 288t = 0 \] \[ 4t(t^2 - 18t + 72) = 0 \] \[ 4t(t - 6)(t - 12) = 0 \] Các nghiệm của phương trình là: \[ t = 0, \quad t = 6, \quad t = 12 \] Ta kiểm tra giá trị của $Q(t)$ tại các điểm này và tại hai đầu đoạn $[0, 13]$: \[ Q(0) = 0^4 - 24 \cdot 0^3 + 144 \cdot 0^2 + 108 = 108 \] \[ Q(6) = 6^4 - 24 \cdot 6^3 + 144 \cdot 6^2 + 108 = 1296 \] \[ Q(12) = 12^4 - 24 \cdot 12^3 + 144 \cdot 12^2 + 108 = 108 \] \[ Q(13) = 13^4 - 24 \cdot 13^3 + 144 \cdot 13^2 + 108 = 108 \] Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất là 1296, đạt được khi $t = 6$ giờ. Kết luận a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số $Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2 + 108$. b) Tại thời điểm $t = 5$ giờ, lượng khách tham quan là 1325 người. c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người, đạt được khi $t = 6$ giờ.