giải chi tiết ạ THPT NGUYỀN QUỐC TRINH - HÀ NỘI,PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi,thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 1. Cho mẫu số liệu điểm môn Toán của một nhóm học sinh như sau:, Điểm,$[4;5)$,[5;6),[6;7),[7;8),[8;9),[9;10] Số học sinh,3,5,8,15,10,5 ,Trung vị của mẫu số liệu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là:,A. 7,95. B. 7,37. C. 7,46. D. 7,47.,Câu 2. Giải bất phương trình $\log_2(3x-1)

Question

giải chi tiết ạ THPT NGUYỀN QUỐC TRINH - HÀ NỘI,PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi,thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 1. Cho mẫu số liệu điểm môn Toán của một nhóm học sinh như sau:,

Điểm,$[4;5)$,[5;6),[6;7),[7;8),[8;9),[9;10]
Số học sinh,3,5,8,15,10,5

,Trung vị của mẫu số liệu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là:,A. 7,95. B. 7,37. C. 7,46. D. 7,47.,Câu 2. Giải bất phương trình $\log_2(3x-1)<3$ được tập nghiệm là $(a;b).$ Hãy tính tổng $S=a+b.$,$A.~S=\frac13.$ $B.~S=\frac{10}3.$ $C.~S=3.$ $D.~S=\frac53.$,Câu 3. Đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có phương trình đường tiệm cận ngang là,$A.~x=1.$ $B.~y=1.$ $C.~y=2.$ $D.~x=2.$,Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $B,~AB=a,~BC=2a,$ SA vuông góc với,mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt5$ (tham khảo hình vẽ).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/072040d4e7ac4a2da356cd7c7134a782.jpg />,Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABC) bằng,$A.~30^0.$ $B.~90^0.$ $C.~60^0.$ $D.~45^0.$,Câu 5. Cho $\int^1_0f(x)dx=2$ và $\int^1_0g(x)dx=5,$ khi đó $\int^1_0[f(x)-2g(x)]dx$ bằng,A. -3. B. -8. C. 12. D. 1.,Câu 6. Hình vẽ sau là bảng biến thiên của hàm số nào sau đây?

Accepted Answer

Câu 1. Trung vị của mẫu số liệu là giá trị ở giữa khi sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần. Với 46 học sinh, trung vị sẽ nằm ở giữa hai giá trị thứ 23 và 24. Bước 1: Xác định khoảng chứa trung vị: - Khoảng [4;5): 3 học sinh - Khoảng [5;6): 5 học sinh (tổng 8 học sinh) - Khoảng [6;7): 8 học sinh (tổng 16 học sinh) - Khoảng [7;8): 15 học sinh (tổng 31 học sinh) Vì 23 và 24 đều nằm trong khoảng từ 16 đến 31, nên trung vị nằm trong khoảng [7;8). Bước 2: Tính trung vị trong khoảng [7;8): - Số học sinh trong khoảng [7;8) là 15 học sinh. - Vị trí của trung vị trong khoảng này là (23 - 16) + 1 = 8 và (24 - 16) + 1 = 9. Do đó, trung vị nằm ở giữa giá trị thứ 8 và 9 trong khoảng [7;8). Ta tính trung bình cộng của hai giá trị này: $$ \text{Trung vị} = 7 + \frac{(8 - 1) \times (9 - 8)}{15} = 7 + \frac{7}{15} \approx 7,47 $$ Vậy trung vị của mẫu số liệu là 7,47. Đáp án đúng là: D. 7,47. Câu 2. Để giải bất phương trình $\log_2(3x-1)<3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta có: $$ 3x - 1 > 0 \implies x > \frac{1}{3} $$ 2. Giải bất phương trình: Ta viết lại bất phương trình: $$ \log_2(3x-1) < 3 $$ Điều này tương đương với: $$ 3x - 1 < 2^3 $$ Vì $\log_2(3x-1) < 3$ nghĩa là $3x - 1 < 2^3 = 8$. Do đó: $$ 3x - 1 < 8 \implies 3x < 9 \implies x < 3 $$ 3. Tìm giao của các điều kiện: Kết hợp điều kiện xác định $x > \frac{1}{3}$ và điều kiện từ bất phương trình $x < 3$, ta có: $$ \frac{1}{3} < x < 3 $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(\frac{1}{3}, 3)$. 4. Tính tổng $S = a + b$: Trong tập nghiệm $(\frac{1}{3}, 3)$, ta có $a = \frac{1}{3}$ và $b = 3$. Do đó: $$ S = a + b = \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{3} + \frac{9}{3} = \frac{10}{3} $$ Vậy đáp án đúng là: $$ \boxed{B.~S=\frac{10}{3}} $$ Câu 3. Để tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi $ x $ tiến đến vô cùng: $$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 1} $$ Ta chia cả tử và mẫu cho $ x $: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} $$ Khi $ x $ tiến đến vô cùng, $\frac{1}{x}$ tiến đến 0: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2 $$ 2. Kết luận: Giới hạn của hàm số khi $ x $ tiến đến vô cùng là 2, do đó phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $ y = 2 $. Vậy đáp án đúng là: $$ \boxed{C.~y=2.} $$ Câu 4. Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABC) là góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đáy (ABC). 2. Tìm hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy (ABC): - Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), nên hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là A. 3. Tính khoảng cách từ S đến C: - Ta có: $$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} $$ - Do đó, SC là đường thẳng nối S và C, và ta có: $$ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{5})^2 + (a\sqrt{5})^2} = \sqrt{5a^2 + 5a^2} = \sqrt{10a^2} = a\sqrt{10} $$ 4. Tính góc giữa SC và mặt phẳng đáy (ABC): - Gọi góc giữa SC và mặt phẳng đáy (ABC) là $\theta$. Ta có: $$ \sin(\theta) = \frac{SA}{SC} = \frac{a\sqrt{5}}{a\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ - Vậy: $$ \theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ $$ Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABC) là $45^\circ$. Đáp án đúng là: $D.~45^0.$ Câu 5. Để tính $\int^1_0[f(x)-2g(x)]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Bước 1: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân: $$ \int^1_0[f(x) - 2g(x)]dx = \int^1_0 f(x) dx - 2 \int^1_0 g(x) dx $$ Bước 2: Thay các giá trị đã biết vào: $$ \int^1_0 f(x) dx = 2 \quad \text{và} \quad \int^1_0 g(x) dx = 5 $$ Bước 3: Thực hiện phép tính: $$ \int^1_0[f(x) - 2g(x)]dx = 2 - 2 \cdot 5 = 2 - 10 = -8 $$ Vậy đáp án đúng là B. -8. Câu 6. Để xác định hàm số từ bảng biến thiên, chúng ta cần phân tích các đặc điểm của bảng biến thiên: 1. Điểm cực đại và cực tiểu: Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại $ x = -1 $ và cực tiểu tại $ x = 1 $. 2. Giá trị của hàm số tại các điểm cực đại và cực tiểu: - Tại $ x = -1 $, giá trị của hàm số là 3. - Tại $ x = 1 $, giá trị của hàm số là -1. 3. Hành vi của hàm số ở các khoảng: - Từ $ -\infty $ đến $ -1 $: Hàm số tăng. - Từ $ -1 $ đến $ 1 $: Hàm số giảm. - Từ $ 1 $ đến $ +\infty $: Hàm số tăng. Dựa vào các thông tin trên, chúng ta có thể suy ra rằng hàm số có dạng bậc ba vì nó có hai điểm cực đại và cực tiểu. Một hàm bậc ba có dạng tổng quát là $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $. Ta sẽ kiểm tra từng hàm số để tìm ra hàm số đúng: - Kiểm tra hàm số $ f(x) = x^3 - 3x $: - Tính đạo hàm: $ f'(x) = 3x^2 - 3 $. - Tìm điểm cực đại và cực tiểu: $ f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 $. - Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm này: - $ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 $ (không đúng, cần là 3). - $ f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 $ (không đúng, cần là -1). - Kiểm tra hàm số $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $: - Tính đạo hàm: $ f'(x) = 3x^2 - 3 $. - Tìm điểm cực đại và cực tiểu: $ f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 $. - Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm này: - $ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 $ (không đúng, cần là 3). - $ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 $ (không đúng, cần là -1). - Kiểm tra hàm số $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $: - Tính đạo hàm: $ f'(x) = 3x^2 - 3 $. - Tìm điểm cực đại và cực tiểu: $ f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 $. - Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm này: - $ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 $ (đúng). - $ f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 $ (đúng). Do đó, hàm số đúng là $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $.