Giải đề này

Câu 1: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ta chọn hệ tọa độ sao cho A là gốc tọa độ, AB nằm trên trục Ox, AD nằm trên trục Oy và SA nằm trên trục Oz. - Do đó, các đỉnh có tọa độ như sau: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(3, 0, 0)\) - \(D(0, 1, 0)\) - \(S(0, 0, 2)\) 2. Tìm tọa độ điểm M: - Điểm M thuộc đoạn thẳng DC và \(DC = 3DM\). Do đó, M chia DC thành tỉ lệ 1:2. - Tọa độ của C là \(C(3, 1, 0)\). - Tọa độ của M là: \[ M = \left(\frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 0}{3}, \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{3}, 0\right) = \left(2, 1, 0\right) \] 3. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng: - Vectơ chỉ phương của BM là: \[ \overrightarrow{BM} = M - B = (2 - 3, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0) \] - Vectơ chỉ phương của SD là: \[ \overrightarrow{SD} = D - S = (0 - 0, 1 - 0, 0 - 2) = (0, 1, -2) \] 4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa BM và SD: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa BM và SD là tích vector của \(\overrightarrow{BM}\) và \(\overrightarrow{SD}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-2) - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-2) - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 0) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(-1) = (-2, -2, -1) \] 5. Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng SD: - Chọn điểm B trên đường thẳng BM và điểm D trên đường thẳng SD. - Vectơ BD là: \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (0 - 3, 1 - 0, 0 - 0) = (-3, 1, 0) \] - Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng SD là: \[ d(B, SD) = \frac{|\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} \] \[ \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{n} = (-3) \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot (-1) = 6 - 2 + 0 = 4 \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] \[ d(B, SD) = \frac{|4|}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \] 6. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD là \(\frac{4}{3}\) hoặc khoảng 1.33 (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số: Khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD là \(\boxed{1.33}\). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính tổng của dãy số geometric trong trường hợp lãi kép. Giả sử mỗi năm bác Bình gửi vào ngân hàng một khoản tiền là \( A \) triệu đồng. Sau 5 năm, tổng số tiền trong tài khoản của bác Bình sẽ là: \[ S = A(1 + 0.07)^4 + A(1 + 0.07)^3 + A(1 + 0.07)^2 + A(1 + 0.07) + A \] Công thức tổng của dãy số geometric là: \[ S = A \left( \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \right) \] Trong đó: - \( r \) là lãi suất hàng năm (ở đây là 0.07), - \( n \) là số năm (ở đây là 5). Áp dụng vào bài toán: \[ S = A \left( \frac{(1 + 0.07)^5 - 1}{0.07} \right) \] Biết rằng tổng số tiền sau 5 năm phải là 1 tỷ đồng (1000 triệu đồng): \[ 1000 = A \left( \frac{(1.07)^5 - 1}{0.07} \right) \] Tính giá trị của \((1.07)^5\): \[ (1.07)^5 \approx 1.40255 \] Do đó: \[ 1000 = A \left( \frac{1.40255 - 1}{0.07} \right) \] \[ 1000 = A \left( \frac{0.40255}{0.07} \right) \] \[ 1000 = A \times 5.75071 \] Giải phương trình để tìm \( A \): \[ A = \frac{1000}{5.75071} \approx 173.9 \] Vậy, mỗi năm bác Bình cần gửi vào ngân hàng khoảng 174 triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 3: Để tính tốc độ âm thanh trung bình trong khoảng [0;80], ta cần tính tổng các giá trị của tốc độ âm thanh ở các đoạn và chia cho tổng chiều dài của các đoạn đó. Ta sẽ tính từng đoạn một: 1. Đoạn từ 0 đến 11,5 km: \[ s(x) = -4x + 341 \] Tính giá trị tại hai điểm đầu cuối của đoạn này: \[ s(0) = -4 \cdot 0 + 341 = 341 \] \[ s(11,5) = -4 \cdot 11,5 + 341 = -46 + 341 = 295 \] 2. Đoạn từ 11,5 đến 22 km: \[ s(x) = 295 \] Giá trị của s(x) là hằng số 295 trên toàn bộ đoạn này. 3. Đoạn từ 22 đến 32 km: \[ s(x) = \frac{3}{4}x + 278,5 \] Tính giá trị tại hai điểm đầu cuối của đoạn này: \[ s(22) = \frac{3}{4} \cdot 22 + 278,5 = 16,5 + 278,5 = 295 \] \[ s(32) = \frac{3}{4} \cdot 32 + 278,5 = 24 + 278,5 = 302,5 \] 4. Đoạn từ 32 đến 50 km: \[ s(x) = \frac{3}{2}x + 254,5 \] Tính giá trị tại hai điểm đầu cuối của đoạn này: \[ s(32) = \frac{3}{2} \cdot 32 + 254,5 = 48 + 254,5 = 302,5 \] \[ s(50) = \frac{3}{2} \cdot 50 + 254,5 = 75 + 254,5 = 329,5 \] 5. Đoạn từ 50 đến 80 km: \[ s(x) = -\frac{3}{2}x + 404,5 \] Tính giá trị tại hai điểm đầu cuối của đoạn này: \[ s(50) = -\frac{3}{2} \cdot 50 + 404,5 = -75 + 404,5 = 329,5 \] \[ s(80) = -\frac{3}{2} \cdot 80 + 404,5 = -120 + 404,5 = 284,5 \] Bây giờ, ta tính trung bình cộng của các giá trị này: \[ \text{Trung bình} = \frac{s(0) + s(11,5) + s(22) + s(32) + s(50) + s(80)}{6} \] \[ = \frac{341 + 295 + 295 + 302,5 + 329,5 + 284,5}{6} \] \[ = \frac{1847,5}{6} \] \[ = 307,92 \] Vậy tốc độ âm thanh trung bình trong khoảng [0;80] là 307,92 m/s. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số ban đầu: - Tứ giác ABCD là hình thang vuông ở A và B. - Độ dài \( AB = 25 \text{ m} \), \( AD = 15 \text{ m} \), \( BC = 18 \text{ m} \). 2. Chuyển đổi đơn vị từ mét sang centimet: - \( AB = 25 \text{ m} = 2500 \text{ cm} \) - \( AD = 15 \text{ m} = 1500 \text{ cm} \) - \( BC = 18 \text{ m} = 1800 \text{ cm} \) 3. Xác định độ cao của các điểm: - Điểm A có độ cao ban đầu là \( h_A \). - Điểm B có độ cao giảm đi 10 cm, tức là \( h_B = h_A - 10 \text{ cm} \). - Điểm C có độ cao giảm đi \( a \) cm, tức là \( h_C = h_A - a \text{ cm} \). - Điểm D có độ cao giảm đi 6 cm, tức là \( h_D = h_A - 6 \text{ cm} \). 4. Xác định điều kiện đồng phẳng: - Để bốn điểm A, B', C', D đồng phẳng, các điểm này phải nằm trên cùng một mặt phẳng. Điều này có nghĩa là các đoạn thẳng nối các điểm này phải tạo thành một hình phẳng. 5. Áp dụng công thức tính diện tích hình thang: - Diện tích hình thang ABCD ban đầu là: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times AD \] \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (2500 + 1800) \times 1500 = \frac{1}{2} \times 4300 \times 1500 = 3225000 \text{ cm}^2 \] 6. Xác định diện tích hình thang mới: - Diện tích hình thang mới A'B'C'D' là: \[ S_{A'B'C'D'} = \frac{1}{2} \times (A'B' + C'D') \times A'D' \] \[ S_{A'B'C'D'} = \frac{1}{2} \times (2500 + 1800) \times 1500 = 3225000 \text{ cm}^2 \] 7. Xác định độ cao mới của các điểm: - Độ cao mới của điểm B là \( h_B' = h_A - 10 \text{ cm} \). - Độ cao mới của điểm C là \( h_C' = h_A - a \text{ cm} \). - Độ cao mới của điểm D là \( h_D' = h_A - 6 \text{ cm} \). 8. Xác định giá trị của \( a \): - Để bốn điểm A, B', C', D đồng phẳng, các đoạn thẳng nối các điểm này phải tạo thành một hình phẳng. Điều này có nghĩa là các đoạn thẳng nối các điểm này phải tạo thành một hình phẳng. - Do đó, ta có: \[ h_B' = h_A - 10 \text{ cm} \] \[ h_C' = h_A - a \text{ cm} \] \[ h_D' = h_A - 6 \text{ cm} \] - Để bốn điểm A, B', C', D đồng phẳng, ta có: \[ h_B' = h_D' - 4 \text{ cm} \] \[ h_A - 10 \text{ cm} = h_A - 6 \text{ cm} - 4 \text{ cm} \] \[ h_A - 10 \text{ cm} = h_A - 10 \text{ cm} \] - Do đó, ta có: \[ a = 8 \text{ cm} \] Vậy giá trị của \( a \) là \( 8 \text{ cm} \). Câu 5: Chi phí nguyên vật liệu ban đầu là 50 triệu đồng. Chi phí gia công lắp màng Silic xung quanh thành vi mạch là: \[ 15 \times (2a + 2b) = 30(a + b) \text{ (triệu đồng)} \] Chi phí gia công phủ chất làm mát bao quanh cả 2 bề mặt vi mạch là: \[ 32 \times 2ab = 64ab \text{ (triệu đồng)} \] Tổng chi phí sản xuất mỗi chiếc vi mạch là: \[ C = 50 + 30(a + b) + 64ab \text{ (triệu đồng)} \] Giá bán mỗi chiếc vi mạch là: \[ P = 428ab \text{ (triệu đồng)} \] Lợi nhuận thu được từ mỗi chiếc vi mạch là: \[ L = P - C = 428ab - (50 + 30(a + b) + 64ab) = 364ab - 30(a + b) - 50 \text{ (triệu đồng)} \] Theo đề bài, nếu cả 2 kích thước thành phần của vi mạch giảm đi 15 pm thì lợi nhuận thu được mỗi chiếc bằng chi phí sản xuất của mỗi chiếc vi mạch đó. Ta có: \[ 364(a-15)(b-15) - 30((a-15) + (b-15)) - 50 = 50 + 30((a-15) + (b-15)) + 64(a-15)(b-15) \] Simplifying the above equation: \[ 364(ab - 15a - 15b + 225) - 30(a + b - 30) - 50 = 50 + 30(a + b - 30) + 64(ab - 15a - 15b + 225) \] \[ 364ab - 5460a - 5460b + 81900 - 30a - 30b + 900 - 50 = 50 + 30a + 30b - 900 + 64ab - 960a - 960b + 14400 \] \[ 364ab - 5490a - 5490b + 82750 = 64ab - 990a - 990b + 14450 \] \[ 300ab - 4500a - 4500b + 68300 = 0 \] \[ ab - 15a - 15b + 227.67 = 0 \] \[ ab - 15a - 15b = -227.67 \] \[ (a - 15)(b - 15) = -227.67 + 225 \] \[ (a - 15)(b - 15) = -2.67 \] Để lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tối ưu hóa biểu thức \( L = 364ab - 30(a + b) - 50 \). Ta sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của \( L \): \[ f(a, b) = 364ab - 30(a + b) - 50 \] Đạo hàm riêng theo \( a \) và \( b \): \[ \frac{\partial f}{\partial a} = 364b - 30 = 0 \Rightarrow b = \frac{30}{364} = \frac{15}{182} \approx 0.082 \] \[ \frac{\partial f}{\partial b} = 364a - 30 = 0 \Rightarrow a = \frac{30}{364} = \frac{15}{182} \approx 0.082 \] Do đó, \( a = b \approx 0.082 \). Chu vi của vi mạch là: \[ 2(a + b) = 2(0.082 + 0.082) = 2 \times 0.164 = 0.328 \] Kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất: \[ 0.3 \text{ pm} \] Đáp số: 0.3 pm. Câu 6: Gọi A là biến cố "Lấy được đồng xu cân đối". Gọi B là biến cố "Tung đồng xu 3 lần đều thấy xuất hiện mặt ngửa". Ta có: $P(A)=\frac{1}{2}$ $P(\bar{A})=1-P(A)=\frac{1}{2}$ $P_{A}(B)=(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$ $P_{\bar{A}}(B)=(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{27}$ Xác suất để tung đồng xu 3 lần đều thấy xuất hiện mặt ngửa là: $P(B)=P(A).P_{A}(B)+P(\bar{A}).P_{\bar{A}}(B)$ $=\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}+\frac{1}{2}\times \frac{8}{27}$ $=\frac{91}{432}$ Xác suất để lấy được đồng xu cân đối khi tung đồng xu 3 lần đều thấy xuất hiện mặt ngửa là: $P_{B}(A)=\frac{P(A).P_{A}(B)}{P(B)}$ $=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}}{\frac{91}{432}}$ $=\frac{27}{91}\approx 0,3$ Đáp số: 0,3