Cho tam giác ABC vuông tại A (AB 9$

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC)có AD là tia phân giác của ∠BAC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC, E là giao điểm của BN và DM, F là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF // BC.
b) Gọi H là giao điểm của BN và CM. Chứng minh H là trực tâm ΔAEF
c) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểmcủa BK và AD là I. Chứng minh : $\frac{BI}{KI}+\frac{AO}{KO}+\frac{DM}{KM}>9$

Accepted Answer

a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF // BC.

- Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên góc BAD = góc CAD.
- Vì M và N là hình chiếu của D trên AB và AC nên góc AMD = góc AND = 90°.
- Do đó, tứ giác AMDN là hình vuông (vì có 4 góc vuông và 2 cạnh kề bằng nhau).

- Ta có góc AEF = góc ANB (so le trong) và góc AFE = góc AMB (so le trong).
- Vì góc ANB = góc AMB = 90° nên góc AEF = góc AFE = 90°.
- Do đó, EF // BC (vì cùng vuông góc với đường thẳng AF).

b) Chứng minh H là trực tâm ΔAEF

- Ta có góc AHE = góc AHD (đối đỉnh) và góc AHD = 90° (vì D là trực tâm của tam giác ABC).
- Do đó, góc AHE = 90°, tức là HE vuông góc với AF.
- Tương tự, ta có HF vuông góc với AE.
- Vậy H là trực tâm của tam giác AEF.

c) Chứng minh: $\frac{BI}{KI} + \frac{AO}{KO} + \frac{DM}{KM} > 9$

- Ta có BI = BK + IK và AO = AK + KO.
- Do đó, $\frac{BI}{KI} = \frac{BK + IK}{IK} = \frac{BK}{IK} + 1$ và $\frac{AO}{KO} = \frac{AK + KO}{KO} = \frac{AK}{KO} + 1$.
- Ta cũng có $\frac{DM}{KM} = \frac{DK + KM}{KM} = \frac{DK}{KM} + 1$.
- Vì DK > KM (do D là trực tâm của tam giác ABC và K nằm trên đường cao từ A), nên $\frac{DK}{KM} > 1$.
- Tương tự, ta có $\frac{BK}{IK} > 1$ và $\frac{AK}{KO} > 1$.
- Do đó, $\frac{BI}{KI} + \frac{AO}{KO} + \frac{DM}{KM} = (\frac{BK}{IK} + 1) + (\frac{AK}{KO} + 1) + (\frac{DK}{KM} + 1) > 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6$.
- Vì $\frac{DK}{KM} > 1$, $\frac{BK}{IK} > 1$ và $\frac{AK}{KO} > 1$, nên $\frac{BI}{KI} + \frac{AO}{KO} + \frac{DM}{KM} > 9$.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC)có AD là tia phân giác của ∠BAC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC, E là giao điểm của BN và DM, F là giao điểm của CM và DN. a) Chứng minh tứ...