Hoi bai mn oi

Câu 2: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Đạo hàm của hàm số $f(x)$ Hàm số đã cho là: \[ f(x) = 5x - \log_3(x-2) \] Đạo hàm của hàm số này là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(5x) - \frac{d}{dx}(\log_3(x-2)) \] Ta biết rằng đạo hàm của $5x$ là $5$, và đạo hàm của $\log_3(x-2)$ là: \[ \frac{d}{dx}(\log_3(x-2)) = \frac{1}{(x-2)\ln(3)} \] Do đó: \[ f'(x) = 5 - \frac{1}{(x-2)\ln(3)} \] b) Tìm điểm cực tiểu của hàm số Để tìm điểm cực tiểu, ta cần giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ 5 - \frac{1}{(x-2)\ln(3)} = 0 \] \[ \frac{1}{(x-2)\ln(3)} = 5 \] \[ (x-2)\ln(3) = \frac{1}{5} \] \[ x-2 = \frac{1}{5\ln(3)} \] \[ x = 2 + \frac{1}{5\ln(3)} \] c) Xác định khoảng đồng biến của hàm số Hàm số $f(x)$ đồng biến khi $f'(x) > 0$. Ta có: \[ 5 - \frac{1}{(x-2)\ln(3)} > 0 \] \[ 5 > \frac{1}{(x-2)\ln(3)} \] \[ (x-2)\ln(3) > \frac{1}{5} \] \[ x-2 > \frac{1}{5\ln(3)} \] \[ x > 2 + \frac{1}{5\ln(3)} \] Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2 + \frac{1}{5\ln(3)}, +\infty)$. d) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(2, +\infty)$ Giá trị nhỏ nhất của hàm số xảy ra tại điểm cực tiểu $x = 2 + \frac{1}{5\ln(3)}$. Ta thay vào hàm số để tính giá trị này: \[ f\left(2 + \frac{1}{5\ln(3)}\right) = 5\left(2 + \frac{1}{5\ln(3)}\right) - \log_3\left(\frac{1}{5\ln(3)}\right) \] \[ = 10 + \frac{1}{\ln(3)} - \log_3\left(\frac{1}{5\ln(3)}\right) \] Ta cần kiểm tra xem giá trị này có lớn hơn $\frac{25}{2}$ hay không. Ta có: \[ \log_3\left(\frac{1}{5\ln(3)}\right) = -\log_3(5\ln(3)) \] Do đó: \[ f\left(2 + \frac{1}{5\ln(3)}\right) = 10 + \frac{1}{\ln(3)} + \log_3(5\ln(3)) \] Ta thấy rằng $\frac{1}{\ln(3)}$ và $\log_3(5\ln(3))$ đều là các giá trị dương nhỏ, do đó tổng của chúng sẽ nhỏ hơn $\frac{25}{2} - 10 = \frac{5}{2}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số lớn hơn $\frac{25}{2}$. Kết luận - Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f'(x) = 5 - \frac{1}{(x-2)\ln(3)}$. - Hàm số có một điểm cực tiểu tại $x = 2 + \frac{1}{5\ln(3)}$. - Hàm số đồng biến trên khoảng $(2 + \frac{1}{5\ln(3)}, +\infty)$. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(2, +\infty)$ lớn hơn $\frac{25}{2}$. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Kiểm tra hai điểm A và B có nằm ngoài tầm phát hiện của trạm theo dõi hay không - Tọa độ của trạm theo dõi là \(O(0,0,0)\). Kiểm tra điểm \(A(4,4,0)\): Tính khoảng cách từ \(O\) đến \(A\): \[ OA = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ km} \] Vì \(4\sqrt{2} < 30 \text{ km}\), nên điểm \(A\) nằm trong tầm phát hiện của trạm theo dõi. Kiểm tra điểm \(B(3,3,\frac{1}{2})\): Tính khoảng cách từ \(O\) đến \(B\): \[ OB = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2 + \left(\frac{1}{2}-0\right)^2} = \sqrt{9 + 9 + \frac{1}{4}} = \sqrt{18 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2} \approx 4.27 \text{ km} \] Vì \(\frac{\sqrt{73}}{2} < 30 \text{ km}\), nên điểm \(B\) cũng nằm trong tầm phát hiện của trạm theo dõi. b) Phương trình đường thẳng \(AB\) Phương trình đường thẳng \(AB\) đã cho là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 + 2t \\ y = 4 + t, \quad t \in \mathbb{R} \\ z = -t \end{array} \right. \] c) Vị trí đầu tiên vệ tinh do thám bị trạm theo dõi phát hiện Gọi \(M(x,y,z)\) là vị trí đầu tiên vệ tinh bị phát hiện. Khi đó, khoảng cách từ \(O\) đến \(M\) là 30 km: \[ OM = 30 \] \[ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 30 \] Thay \(x = 4 + 2t\), \(y = 4 + t\), \(z = -t\) vào: \[ \sqrt{(4 + 2t)^2 + (4 + t)^2 + (-t)^2} = 30 \] \[ \sqrt{(16 + 16t + 4t^2) + (16 + 8t + t^2) + t^2} = 30 \] \[ \sqrt{16 + 16t + 4t^2 + 16 + 8t + t^2 + t^2} = 30 \] \[ \sqrt{32 + 24t + 6t^2} = 30 \] \[ 32 + 24t + 6t^2 = 900 \] \[ 6t^2 + 24t + 32 - 900 = 0 \] \[ 6t^2 + 24t - 868 = 0 \] \[ t^2 + 4t - 144.67 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 578.68}}{2} \] \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{594.68}}{2} \] \[ t = \frac{-4 \pm 24.38}{2} \] Lấy nghiệm dương: \[ t = \frac{20.38}{2} = 10.19 \] Thay \(t = 10.19\) vào phương trình đường thẳng: \[ x = 4 + 2 \times 10.19 = 24.38 \] \[ y = 4 + 10.19 = 14.19 \] \[ z = -10.19 \] Vậy vị trí đầu tiên vệ tinh bị phát hiện là \(M(24.38, 14.19, -10.19)\). d) Thời gian vệ tinh bay qua vùng bị phát hiện Vệ tinh bay với vận tốc 90 km/h. Khoảng cách từ \(A\) đến \(M\) là: \[ AM = \sqrt{(24.38 - 4)^2 + (14.19 - 4)^2 + (-10.19 - 0)^2} \] \[ AM = \sqrt{(20.38)^2 + (10.19)^2 + (-10.19)^2} \] \[ AM = \sqrt{415.34 + 103.84 + 103.84} \] \[ AM = \sqrt{622.02} \approx 24.94 \text{ km} \] Thời gian bay qua vùng bị phát hiện: \[ \text{Thời gian} = \frac{24.94}{90} \text{ giờ} \approx 0.277 \text{ giờ} \approx 16.62 \text{ phút} \] Vậy vệ tinh bay qua vùng bị phát hiện trong khoảng thời gian ít hơn 30 phút. Câu 4: Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về xác suất và các quy tắc xác suất đã học. a) Tính \( P(\overline{A}) \) Biến cố \( A \) là "Lần bắn đầu tiên của cung thủ trúng hồng tâm", do đó: \[ P(A) = 0,35 \] Biến cố \( \overline{A} \) là "Lần bắn đầu tiên của cung thủ không trúng hồng tâm", do đó: \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,35 = 0,65 \] b) Tính \( P(B|A) \) Biến cố \( B \) là "Lần bắn thứ hai của cung thủ trúng hồng tâm". Biến cố \( B|A \) là "Lần bắn thứ hai của cung thủ trúng hồng tâm khi lần bắn đầu tiên trúng hồng tâm". Theo đề bài, nếu lần bắn đầu tiên trúng hồng tâm thì xác suất để lần bắn thứ hai cũng trúng hồng tâm là 0,45. Do đó: \[ P(B|A) = 0,45 \] c) Tính \( P(B) \) Áp dụng công thức xác suất tổng: \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A}) \] Biến cố \( B|\overline{A} \) là "Lần bắn thứ hai của cung thủ trúng hồng tâm khi lần bắn đầu tiên không trúng hồng tâm". Theo đề bài, nếu lần bắn đầu tiên không trúng hồng tâm thì xác suất để lần bắn thứ hai trúng hồng tâm là 0,25. Do đó: \[ P(B|\overline{A}) = 0,25 \] Thay các giá trị vào công thức: \[ P(B) = 0,45 \cdot 0,35 + 0,25 \cdot 0,65 \] \[ P(B) = 0,1575 + 0,1625 \] \[ P(B) = 0,32 \] d) Tính xác suất để lần bắn đầu tiên của cung thủ trúng hồng tâm, biết rằng lần bắn thứ hai của cung thủ không trúng hồng tâm Gọi \( C \) là biến cố "Lần bắn thứ hai của cung thủ không trúng hồng tâm". Ta có: \[ P(C) = 1 - P(B) = 1 - 0,32 = 0,68 \] Ta cần tính \( P(A|C) \). Áp dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} \] Biến cố \( A \cap C \) là "Lần bắn đầu tiên trúng hồng tâm và lần bắn thứ hai không trúng hồng tâm". Ta có: \[ P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C|A) \] Biến cố \( C|A \) là "Lần bắn thứ hai không trúng hồng tâm khi lần bắn đầu tiên trúng hồng tâm". Ta có: \[ P(C|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0,45 = 0,55 \] Do đó: \[ P(A \cap C) = 0,35 \cdot 0,55 = 0,1925 \] Thay vào công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|C) = \frac{0,1925}{0,68} \approx 0,28 \] Vậy xác suất để lần bắn đầu tiên của cung thủ trúng hồng tâm, biết rằng lần bắn thứ hai của cung thủ không trúng hồng tâm là 0,28 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số: a) \( P(\overline{A}) = 0,65 \) b) \( P(B|A) = 0,45 \) c) \( P(B) = 0,32 \) d) Xác suất để lần bắn đầu tiên của cung thủ trúng hồng tâm, biết rằng lần bắn thứ hai của cung thủ không trúng hồng tâm là 0,28.