giải chi tiết

Câu 45. Để tìm thời điểm nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( c(t) = \frac{t}{t^2 + 1} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( c(t) \): \[ c'(t) = \frac{(t^2 + 1) - t(2t)}{(t^2 + 1)^2} = \frac{t^2 + 1 - 2t^2}{(t^2 + 1)^2} = \frac{1 - t^2}{(t^2 + 1)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( c'(t) = 0 \): \[ \frac{1 - t^2}{(t^2 + 1)^2} = 0 \] \[ 1 - t^2 = 0 \] \[ t^2 = 1 \] \[ t = 1 \text{ hoặc } t = -1 \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm \( c'(t) \) để xác định tính chất của các điểm cực trị: - Khi \( t < -1 \), \( 1 - t^2 < 0 \) nên \( c'(t) < 0 \) - Khi \( -1 < t < 1 \), \( 1 - t^2 > 0 \) nên \( c'(t) > 0 \) - Khi \( t > 1 \), \( 1 - t^2 < 0 \) nên \( c'(t) < 0 \) Từ đó, ta thấy: - \( c'(t) \) chuyển từ âm sang dương tại \( t = -1 \), do đó \( t = -1 \) là điểm cực tiểu. - \( c'(t) \) chuyển từ dương sang âm tại \( t = 1 \), do đó \( t = 1 \) là điểm cực đại. Bước 4: Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \( c(t) \) đạt được tại \( t = 1 \). Do đó, sau khi tiêm thuốc khoảng 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất. Đáp án đúng là: B. 1 giờ. Câu 46. Giá tiền cho mỗi hành khách là $(3-\frac x{40}),~(USD)$ Số tiền thu được từ x hành khách là: $f(x) = x(3 - \frac{x}{40}) = 3x - \frac{x^2}{40}$ Để tìm giá trị lớn nhất của f(x), ta tính đạo hàm của f(x): $f'(x) = 3 - \frac{2x}{40} = 3 - \frac{x}{20}$ Đặt f'(x) = 0 để tìm điểm cực đại: $3 - \frac{x}{20} = 0$ $\frac{x}{20} = 3$ $x = 60$ Do đó, f(x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 60. Tính giá trị lớn nhất của f(x): $f(60) = 3(60) - \frac{(60)^2}{40} = 180 - \frac{3600}{40} = 180 - 90 = 90$ Vậy, một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng 90 USD khi có 60 hành khách. Đáp án đúng là: C. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách. Câu 47. Để tìm số tiền học phí cao nhất, ta cần tính tổng số tiền học phí của một phòng học khi có x học sinh. Tổng số tiền học phí sẽ là: \[ f(x) = x \cdot \left(9 - \frac{x}{40}\right)^2 \] Bước 1: Tìm đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \left(9 - \frac{x}{40}\right)^2 + x \cdot 2 \left(9 - \frac{x}{40}\right) \left(-\frac{1}{40}\right) \] \[ f'(x) = \left(9 - \frac{x}{40}\right)^2 - \frac{x}{20} \left(9 - \frac{x}{40}\right) \] \[ f'(x) = \left(9 - \frac{x}{40}\right) \left(9 - \frac{x}{40} - \frac{x}{20}\right) \] \[ f'(x) = \left(9 - \frac{x}{40}\right) \left(9 - \frac{3x}{40}\right) \] Bước 2: Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ \left(9 - \frac{x}{40}\right) \left(9 - \frac{3x}{40}\right) = 0 \] Từ đó ta có hai nghiệm: \[ 9 - \frac{x}{40} = 0 \Rightarrow x = 360 \] \[ 9 - \frac{3x}{40} = 0 \Rightarrow x = 120 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định và giá trị của \( f(x) \) tại các điểm này: - \( x = 360 \) không thỏa mãn vì sức chứa tối đa mỗi phòng học là 200 học sinh. - \( x = 120 \) thỏa mãn điều kiện. Bước 4: Tính giá trị của \( f(x) \) tại \( x = 120 \): \[ f(120) = 120 \cdot \left(9 - \frac{120}{40}\right)^2 \] \[ f(120) = 120 \cdot (9 - 3)^2 \] \[ f(120) = 120 \cdot 6^2 \] \[ f(120) = 120 \cdot 36 \] \[ f(120) = 4320 \text{ (nghìn đồng)} \] Vậy khẳng định đúng là: D. Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất bằng 4320 (nghìn đồng). Đáp án: D. Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất bằng 4320 (nghìn đồng).