chọn đáp án đúng

Câu 20. Để giải phương trình $10^x = 5$, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của lôgarit để tìm giá trị của $x$. Cụ thể, ta có: \[ 10^x = 5 \] Áp dụng tính chất của lôgarit, ta có: \[ x = \log_{10} 5 \] Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = \log 5 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~x = \log 5 \] Câu 21. Để giải bất phương trình $\log_3(x-1) < 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_3(x-1) < 1$. Điều này tương đương với: \[ x-1 < 3^1 \] - Tính toán: \[ x-1 < 3 \] - Giải phương trình: \[ x < 4 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 1$ và kết quả từ bước 2 ($x < 4$), ta có: \[ 1 < x < 4 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = (1; 4) \] Đáp án: D. $S = (1; 4)$. Câu 22. Phương trình tham số của trục Ox trong không gian với hệ tọa độ Oxyz là phương trình của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0,0,0) và song song với trục Ox. Trục Ox là đường thẳng nằm trên mặt phẳng Oxy và song song với trục Ox, do đó tọa độ y và z của mọi điểm trên trục Ox đều bằng 0. Tọa độ x của mọi điểm trên trục Ox có thể thay đổi tùy theo tham số t. Do đó, phương trình tham số của trục Ox là: \[ D. \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{array} \right. \] Đáp án đúng là: D. Câu 23. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình chóp và các mặt phẳng vuông góc. 1. Xác định các tính chất cơ bản: - Đáy ABCD là hình chữ nhật. - \( SA \perp (ABCD) \). 2. Xét các mặt phẳng: - Mặt phẳng (SBC) bao gồm các điểm S, B, C. - Chúng ta cần tìm mặt phẳng nào vuông góc với (SBC). 3. Kiểm tra từng mặt phẳng: - Mặt phẳng (SAB): + \( AB \subset (ABCD) \) và \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp AB \). + \( SB \subset (SAB) \) và \( BC \subset (SBC) \), nhưng không đủ để kết luận (SAB) vuông góc với (SBC). - Mặt phẳng (ABCD): + \( AB \subset (ABCD) \) và \( BC \subset (SBC) \). + \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp BC \). + Tuy nhiên, \( (ABCD) \) không vuông góc với \( (SBC) \) vì \( BC \) nằm trong cả hai mặt phẳng này. - Mặt phẳng (SAD): + \( AD \subset (ABCD) \) và \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp AD \). + \( SD \subset (SAD) \) và \( BC \subset (SBC) \), nhưng không đủ để kết luận (SAD) vuông góc với (SBC). - Mặt phẳng (SCD): + \( CD \subset (ABCD) \) và \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp CD \). + \( SC \subset (SCD) \) và \( BC \subset (SBC) \), nhưng không đủ để kết luận (SCD) vuông góc với (SBC). 4. Lập luận về mặt phẳng (ABCD): - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp BC \). - \( BC \subset (SBC) \), do đó \( (ABCD) \perp (SBC) \). Vậy mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (SBC) là \( (ABCD) \). Đáp án: B. (ABCD) Câu 24. Để tính $\int^2_{-1}[f(x)-2]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách nó thành hai phần riêng biệt. Ta có: \[ \int^2_{-1}[f(x)-2]dx = \int^2_{-1}f(x)dx - \int^2_{-1}2dx \] Biết rằng $\int^2_{-1}f(x)dx = 5$, ta cần tính $\int^2_{-1}2dx$. Tích phân của một hằng số từ $a$ đến $b$ là: \[ \int^b_a c \, dx = c(b-a) \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int^2_{-1}2dx = 2(2 - (-1)) = 2(2 + 1) = 2 \times 3 = 6 \] Vậy: \[ \int^2_{-1}[f(x)-2]dx = 5 - 6 = -1 \] Đáp án đúng là: A. -1. Câu 25. Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho để xem nó có thỏa mãn các đặc điểm của đồ thị trong hình vẽ hay không. 1. Kiểm tra các hàm số: - Hàm số A: \( y = -x^4 + x^2 - 2 \) - Đây là hàm bậc 4 với hệ số cao nhất âm (-1). Đồ thị của hàm bậc 4 với hệ số cao nhất âm sẽ mở rộng xuống dưới ở hai đầu, không phù hợp với đồ thị trong hình vẽ. - Hàm số B: \( y = -x^3 + 3x^2 - 2 \) - Đây là hàm bậc 3 với hệ số cao nhất âm (-1). Đồ thị của hàm bậc 3 với hệ số cao nhất âm sẽ mở rộng xuống dưới ở hai đầu, không phù hợp với đồ thị trong hình vẽ. - Hàm số C: \( y = x^4 - x^2 - 2 \) - Đây là hàm bậc 4 với hệ số cao nhất dương (1). Đồ thị của hàm bậc 4 với hệ số cao nhất dương sẽ mở rộng lên trên ở hai đầu, không phù hợp với đồ thị trong hình vẽ. - Hàm số D: \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \) - Đây là hàm bậc 3 với hệ số cao nhất dương (1). Đồ thị của hàm bậc 3 với hệ số cao nhất dương sẽ mở rộng lên trên ở hai đầu, phù hợp với đồ thị trong hình vẽ. 2. Kiểm tra điểm cực trị: - Để chắc chắn hơn, chúng ta sẽ kiểm tra các điểm cực trị của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \): - Tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 6x \) - Tìm điểm cực trị: \( y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \) - Kiểm tra dấu của đạo hàm: - Khi \( x < 0 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng) - Khi \( 0 < x < 2 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm) - Khi \( x > 2 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng) - Vậy hàm số đạt cực đại tại \( x = 0 \) và cực tiểu tại \( x = 2 \). 3. Kiểm tra giá trị tại các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \( y = 0^3 - 3(0)^2 - 2 = -2 \) - Tại \( x = 2 \): \( y = 2^3 - 3(2)^2 - 2 = 8 - 12 - 2 = -6 \) Như vậy, đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \) có các đặc điểm phù hợp với đồ thị trong hình vẽ, bao gồm các điểm cực trị và hướng mở rộng của đồ thị. Đáp án đúng là: D. \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \) Câu 26. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng (trung vị): - Xác định các khoảng và trung điểm của mỗi khoảng: - [0; 3): Trung điểm là $\frac{0 + 3}{2} = 1,5$ - [3; 6): Trung điểm là $\frac{3 + 6}{2} = 4,5$ - [6; 9): Trung điểm là $\frac{6 + 9}{2} = 7,5$ - [9; 12): Trung điểm là $\frac{9 + 12}{2} = 10,5$ - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(1,5 \times 1) + (4,5 \times 2) + (7,5 \times 4) + (10,5 \times 11)}{1 + 2 + 4 + 11} \] \[ \bar{x} = \frac{1,5 + 9 + 30 + 115,5}{18} = \frac{156}{18} = 8,67 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi trung điểm và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng: \[ \sigma^2 = \frac{(1,5 - 8,67)^2 \times 1 + (4,5 - 8,67)^2 \times 2 + (7,5 - 8,67)^2 \times 4 + (10,5 - 8,67)^2 \times 11}{18} \] \[ \sigma^2 = \frac{(7,17)^2 \times 1 + (4,17)^2 \times 2 + (1,17)^2 \times 4 + (1,83)^2 \times 11}{18} \] \[ \sigma^2 = \frac{51,4089 + 34,9682 + 5,4756 + 37,2483}{18} = \frac{129,091}{18} = 7,1717 \] 3. Tính độ lệch chuẩn: - Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \[ \sigma = \sqrt{7,1717} \approx 2,67 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là A. 2,67. Câu 27. Để tìm phương trình của mặt cầu (S) tâm $A(2;1;0)$ đi qua điểm $B(0;1;2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính bán kính của mặt cầu: Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm $A$ đến điểm $B$. Ta tính khoảng cách này bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AB = \sqrt{(0 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 2. Viết phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm $(a, b, c)$ và bán kính $r$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 \] Thay tâm $A(2, 1, 0)$ và bán kính $r = 2\sqrt{2}$ vào phương trình trên, ta có: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 \] Do đó, phương trình của mặt cầu (S) là: \[ (S): (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 8 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(S):(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=8 \] Câu 28. Để tìm $\int x^3 dx$, chúng ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản cho lũy thừa của biến số. Công thức nguyên hàm của $x^n$ là: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Trong đó, $n$ là số thực khác -1 và $C$ là hằng số nguyên hàm. Áp dụng công thức này vào bài toán: \[ n = 3 \] \[ \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \] Do đó, kết quả của $\int x^3 dx$ là: \[ \frac{1}{4} x^4 + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \textcircled{A.}~\frac{1}{4} x^4 + C \] Câu 29. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f(x)$, ta thấy rằng hàm số đồng biến trên các khoảng sau: - Từ $(-\infty; -2)$ - Từ $(1; +\infty)$ Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng: - $(-\infty; -2)$ - $(1; +\infty)$ Vậy đáp án là: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(1; +\infty)$.