nhanhhhhhhhhh Câu 2: Cho một vật đang chuyển động thẳng đều với vận tốc bằng 108.(km/h) thì đi vào vùng có lực,cản gây ra cho vật một gia tốc $a=-0,5v~(m/s^2)$ với v là vận tốc của vật và tính bằng m/s.,Trong bài toán ta có vận tốc $v0$ và gốc thời gian tính từ lúc vật bắt đầu đi vào vùng có lực,cản. $v=108=30,~a=-0.5~v$,$a)~\ln|v(t)|$ đạo hàm theo biến thời gian t cho ta biểu thức là: $\frac{v^\prime(t)}{v(t)}.$,b) Biểu thức vận tốc của vật là: $v(t)=e^{-0,5t}(m/s).$,c) Quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu tiên trong vùng lực cản là 37,9m.,d) Với giả thiết vận tốc nhỏ hơn 0,1(m/s) thì vật dừng lại. Tổng quãng đường vật đi được trong,vùng lực càn tính theo mét (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) là 60 m.

Question

nhanhhhhhhhhh Câu 2: Cho một vật đang chuyển động thẳng đều với vận tốc bằng 108.(km/h) thì đi vào vùng có lực,cản gây ra cho vật một gia tốc $a=-0,5v~(m/s^2)$ với v là vận tốc của vật và tính bằng m/s.,Trong bài toán ta có vận tốc $v>0$ và gốc thời gian tính từ lúc vật bắt đầu đi vào vùng có lực,cản. $v=108=30,~a=-0.5~v$,$a)~\ln|v(t)|$ đạo hàm theo biến thời gian t cho ta biểu thức là: $\frac{v^\prime(t)}{v(t)}.$,b) Biểu thức vận tốc của vật là: $v(t)=e^{-0,5t}(m/s).$,c) Quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu tiên trong vùng lực cản là 37,9m.,d) Với giả thiết vận tốc nhỏ hơn 0,1(m/s) thì vật dừng lại. Tổng quãng đường vật đi được trong,vùng lực càn tính theo mét (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) là 60 m.

Accepted Answer

Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, dựa trên các thông tin đã cho và yêu cầu của đề bài.

Bước 1: Xác định vận tốc ban đầu và gia tốc

- Vận tốc ban đầu của vật: $ v_0 = 108 \text{ km/h} = 30 \text{ m/s} $
- Gia tốc do lực cản: $ a = -0.5v $

Bước 2: Xác định biểu thức vận tốc theo thời gian

Ta biết rằng gia tốc $ a $ là đạo hàm của vận tốc $ v $ theo thời gian $ t $:
$$ a = \frac{dv}{dt} $$

Do đó:
$$ \frac{dv}{dt} = -0.5v $$

Phương trình này là phương trình vi phân riêng biệt. Ta có thể giải nó bằng phương pháp tách biến:
$$ \frac{dv}{v} = -0.5 dt $$

Tích phân cả hai vế:
$$ \int \frac{dv}{v} = \int -0.5 dt $$
$$ \ln |v| = -0.5t + C $$

Áp dụng điều kiện ban đầu $ v(0) = 30 $:
$$ \ln |30| = C $$
$$ C = \ln 30 $$

Do đó:
$$ \ln |v| = -0.5t + \ln 30 $$
$$ \ln |v| - \ln 30 = -0.5t $$
$$ \ln \left(\frac{|v|}{30}\right) = -0.5t $$
$$ \frac{|v|}{30} = e^{-0.5t} $$
$$ |v| = 30 e^{-0.5t} $$

Vì $ v > 0 $, ta có:
$$ v(t) = 30 e^{-0.5t} $$

Bước 3: Tính quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu tiên

Quãng đường $ s $ là tích phân của vận tốc theo thời gian:
$$ s = \int_{0}^{2} v(t) \, dt $$
$$ s = \int_{0}^{2} 30 e^{-0.5t} \, dt $$

Tính tích phân:
$$ s = 30 \int_{0}^{2} e^{-0.5t} \, dt $$

Thực hiện tích phân:
$$ \int e^{-0.5t} \, dt = -2 e^{-0.5t} $$

Do đó:
$$ s = 30 \left[ -2 e^{-0.5t} \right]_{0}^{2} $$
$$ s = 30 \left( -2 e^{-1} + 2 e^{0} \right) $$
$$ s = 30 \left( -2 e^{-1} + 2 \right) $$
$$ s = 30 \left( 2 - \frac{2}{e} \right) $$
$$ s = 60 \left( 1 - \frac{1}{e} \right) $$

Lấy giá trị $ e \approx 2.718 $:
$$ s \approx 60 \left( 1 - \frac{1}{2.718} \right) $$
$$ s \approx 60 \left( 1 - 0.368 \right) $$
$$ s \approx 60 \times 0.632 $$
$$ s \approx 37.92 $$

Vậy quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu tiên là khoảng 37,9 m.

Bước 4: Tính tổng quãng đường vật đi được trong vùng lực cản

Vật dừng lại khi vận tốc $ v < 0.1 \text{ m/s} $. Ta cần tìm thời điểm $ t $ khi $ v(t) = 0.1 $:
$$ 0.1 = 30 e^{-0.5t} $$
$$ e^{-0.5t} = \frac{0.1}{30} $$
$$ e^{-0.5t} = \frac{1}{300} $$
$$ -0.5t = \ln \left( \frac{1}{300} \right) $$
$$ -0.5t = -\ln 300 $$
$$ t = 2 \ln 300 $$

Tính tổng quãng đường vật đi được:
$$ s = \int_{0}^{2 \ln 300} 30 e^{-0.5t} \, dt $$
$$ s = 30 \left[ -2 e^{-0.5t} \right]_{0}^{2 \ln 300} $$
$$ s = 30 \left( -2 e^{-\ln 300} + 2 e^{0} \right) $$
$$ s = 30 \left( -2 \cdot \frac{1}{300} + 2 \right) $$
$$ s = 30 \left( -\frac{2}{300} + 2 \right) $$
$$ s = 30 \left( -\frac{1}{150} + 2 \right) $$
$$ s = 30 \left( 2 - \frac{1}{150} \right) $$
$$ s = 30 \left( \frac{300 - 1}{150} \right) $$
$$ s = 30 \left( \frac{299}{150} \right) $$
$$ s = 299 \times 0.2 $$
$$ s = 59.8 $$

Vậy tổng quãng đường vật đi được trong vùng lực cản là khoảng 60 m.

Kết luận

- Biểu thức vận tốc của vật là: $ v(t) = 30 e^{-0.5t} $
- Quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu tiên là 37,9 m.
- Tổng quãng đường vật đi được trong vùng lực cản là 60 m.