Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định các điểm cực trị.
2. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các giá trị của tại các điểm cực trị.
3. Tính tọa độ của các điểm cực trị.
4. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị.
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số .
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
Tính đạo hàm của tử số và mẫu số:
Thay vào công thức:
Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các giá trị của tại các điểm cực trị.
Bước 3: Tính tọa độ của các điểm cực trị.
- Khi :
Điểm cực trị thứ nhất là .
- Khi :
Điểm cực trị thứ hai là .
Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị.
Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm và :
Thay tọa độ của hai điểm cực trị:
Vậy độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là .
Câu 3:
Để xác định số điểm cực trị của hàm số dựa vào đồ thị của đạo hàm , chúng ta cần tìm các điểm mà đạo hàm thay đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương. Các điểm này tương ứng với các điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số .
Dựa vào đồ thị của :
1. Xác định các điểm mà thay đổi dấu:
- Từ trái sang phải, chuyển từ âm sang dương tại . Điều này cho thấy có một điểm cực tiểu tại .
- Sau đó, chuyển từ dương sang âm tại . Điều này cho thấy có một điểm cực đại tại .
- Cuối cùng, chuyển từ âm sang dương tại . Điều này cho thấy có một điểm cực tiểu tại .
Từ những phân tích trên, chúng ta thấy rằng hàm số có ba điểm cực trị: hai điểm cực tiểu tại và , và một điểm cực đại tại .
Vậy số điểm cực trị của hàm số là 3.
Câu 4:
Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số , ta thực hiện phép chia đa thức như sau:
1. Chia tử số cho mẫu số :
Kết quả của phép chia là , với phần dư là 1.
2. Do đó, ta có thể viết lại hàm số dưới dạng:
3. Khi tiến đến vô cùng (), phần sẽ tiến đến 0. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng .
Từ đây, ta nhận thấy rằng và .
4. Tính giá trị biểu thức :
Vậy giá trị của biểu thức là 2029.
Câu 5:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng :
- Hàm số sẽ nghịch biến nếu đạo hàm của nó là âm trên khoảng .
2. Tìm đạo hàm của hàm số :
- Gọi .
- Đạo hàm của theo là: .
- Đạo hàm của theo là: .
3. Xác định điều kiện để đạo hàm là âm trên khoảng :
- Ta thấy rằng với mọi vì và . Do đó, luôn dương trên khoảng .
- Để , ta cần .
4. Xác định khoảng giá trị của trên khoảng :
- Khi , .
- Khi , .
- Do đó, nằm trong khoảng .
5. Dựa vào bảng biến thiên của :
- Từ bảng biến thiên, ta thấy khi .
6. Xác định điều kiện để nằm trong khoảng :
- Để trên khoảng , ta cần .
- Điều này dẫn đến hai bất đẳng thức:
- Giải các bất đẳng thức này:
7. Kết luận:
- Kết hợp hai bất đẳng thức, ta thấy rằng không có giá trị nào của thỏa mãn cả hai điều kiện trên cùng lúc. Tuy nhiên, do yêu cầu của bài toán là tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng , ta cần kiểm tra lại các điều kiện đã đưa ra.
- Xét lại, ta thấy rằng là giá trị duy nhất thỏa mãn cả hai điều kiện trên.
Vậy, giá trị của là .
Đáp số: .
Câu 6:
Để tìm giá trị của x sao cho diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là nhỏ nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm thể tích của hình hộp chữ nhật:
- Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
- Biết rằng thể tích của hộp sữa là 1 lít, tức là 1000 cm³, nên ta có:
2. Biểu diễn chiều cao theo x:
- Từ phương trình trên, ta có:
3. Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:
- Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
- Thay vào công thức trên, ta có:
4. Tìm giá trị của x để diện tích toàn phần nhỏ nhất:
- Để tìm giá trị của x làm cho diện tích toàn phần nhỏ nhất, ta sẽ sử dụng đạo hàm.
- Gọi .
- Tính đạo hàm của :
- Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:
5. Kiểm tra điều kiện để đảm bảo giá trị x tìm được là giá trị nhỏ nhất:
- Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai :
- Tại :
- Vì , nên là giá trị làm cho diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Kết luận: Giá trị của x để diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là nhỏ nhất là cm.
Câu 1:
Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số dựa vào đạo hàm , ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm trên các khoảng đã cho.
Hàm số có đạo hàm là:
Ta thấy rằng:
Vì luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 và khi trừ đi 4 thì kết quả luôn luôn nhỏ hơn 0. Do đó, đạo hàm luôn luôn âm trên toàn bộ tập số thực .
Kết luận:
- Nếu đạo hàm trên một khoảng, thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng .
Vậy mệnh đề đúng là:
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 2:
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , ta thấy rằng:
- Khi tăng từ đến , hàm số giảm dần.
- Tại điểm , hàm số đạt giá trị cực tiểu là .
- Khi tăng từ đến , hàm số tăng dần.
- Tại điểm , hàm số đạt giá trị cực đại là .
- Khi tăng từ đến , hàm số giảm dần.
Từ đó, giá trị cực tiểu của hàm số là , đạt được khi .
Vậy đáp án đúng là:
C. -2.
Câu 3:
Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta cần lập luận từng bước dựa vào bảng biến thiên của hàm số . Tuy nhiên, vì không có bảng biến thiên cụ thể được cung cấp trong câu hỏi, tôi sẽ giả sử một bảng biến thiên mẫu và giải thích từng bước theo đó.
Giả sử bảng biến thiên của hàm số như sau:
| | | | | | |
|-----|-----------|------|-----|-----|-----------|
| | | | | | |
| | | | | | |
Bây giờ, chúng ta sẽ lập luận từng bước:
1. Xác định các điểm cực trị:
- Tại , chuyển từ dương sang âm, do đó đạt cực đại tại với giá trị .
- Tại , chuyển từ âm sang dương, do đó đạt cực tiểu tại với giá trị .
2. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng và vì trên các khoảng này.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng vì trên khoảng này.
3. Xác định giới hạn khi tiến đến vô cùng:
- Khi , .
- Khi , .
4. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:
- Giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi .
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi .
Tóm lại, dựa vào bảng biến thiên, chúng ta đã xác định được các tính chất của hàm số như sau:
- Cực đại tại với giá trị .
- Cực tiểu tại với giá trị .
- Đồng biến trên các khoảng và .
- Nghịch biến trên khoảng .
- Giới hạn khi là và khi là .
- Giá trị lớn nhất là , đạt được khi .
- Giá trị nhỏ nhất là , đạt được khi .