Giải giúp mình với ạ Câu 9: Cho $(S):~x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z-5=0$,a. Tìm tâm và bK của (S),b. Xét vị trí giữa điểm $M(-1;2;3)$ và $(S)$,$a.~I(2;-1;3)$,$R=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2+5}=\sqrt{19}$,b. Ta có : $IM=\sqrt{(-1-2)^2+(2+1)^2+(3-3)^2}$,$=3\sqrt2

Question

Giải giúp mình với ạ Câu 9: Cho $(S):~x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z-5=0$,a. Tìm tâm và bK của (S),b. Xét vị trí giữa điểm $M(-1;2;3)$ và $(S)$,$a.~I(2;-1;3)$,$R=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2+5}=\sqrt{19}$,b. Ta có : $IM=\sqrt{(-1-2)^2+(2+1)^2+(3-3)^2}$,$=3\sqrt2<R(M~ở~treng~ls))$,c. Viết pt mp (P) tiếp xúc với (P) tại điểm $H(2;1;-5)$,HONGHA

Accepted Answer

Câu 9:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

Phần a: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S)

Phương trình của mặt cầu (S) là:
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z - 5 = 0 $$

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$, $y$, và $z$ lại và hoàn thành bình phương:
$$ (x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + (z^2 - 6z) = 5 $$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 3)^2 - 9 = 5 $$
$$ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 - 14 = 5 $$
$$ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 19 $$

Từ đây, ta thấy rằng tâm của mặt cầu là $ I(2, -1, 3) $ và bán kính $ R = \sqrt{19} $.

Phần b: Xét vị trí của điểm $ M(-1, 2, 3) $ so với mặt cầu (S)

Ta tính khoảng cách từ điểm $ M $ đến tâm $ I $:
$$ IM = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 + 1)^2 + (3 - 3)^2} $$
$$ IM = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 0^2} $$
$$ IM = \sqrt{9 + 9 + 0} $$
$$ IM = \sqrt{18} $$
$$ IM = 3\sqrt{2} $$

So sánh $ IM $ với bán kính $ R $:
$$ 3\sqrt{2} < \sqrt{19} $$

Vậy điểm $ M $ nằm trong mặt cầu (S).

Phần c: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm $ H(2, 1, -5) $

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $ H $ có dạng:
$$ (x - x_0)(x_H - x_0) + (y - y_0)(y_H - y_0) + (z - z_0)(z_H - z_0) = R^2 $$

Trong đó, $ (x_0, y_0, z_0) $ là tâm của mặt cầu và $ (x_H, y_H, z_H) $ là tọa độ của điểm tiếp xúc.

Thay vào các giá trị:
$$ (x - 2)(2 - 2) + (y + 1)(1 + 1) + (z - 3)(-5 - 3) = 19 $$
$$ 0 + (y + 1) \cdot 2 + (z - 3) \cdot (-8) = 19 $$
$$ 2(y + 1) - 8(z - 3) = 19 $$
$$ 2y + 2 - 8z + 24 = 19 $$
$$ 2y - 8z + 26 = 19 $$
$$ 2y - 8z = -7 $$
$$ y - 4z = -\frac{7}{2} $$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
$$ y - 4z = -\frac{7}{2} $$

Đáp số:
a. Tâm $ I(2, -1, 3) $, Bán kính $ R = \sqrt{19} $
b. Điểm $ M $ nằm trong mặt cầu (S)
c. Phương trình mặt phẳng (P) là $ y - 4z = -\frac{7}{2} $