Tìm đa thức bậc 2 biết f(x)−f(x−1)=x

Gọi đa thức cần tìm là \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Ta có: \[ f(x) - f(x-1) = x \] Thay \( f(x) = ax^2 + bx + c \) vào: \[ ax^2 + bx + c - [a(x-1)^2 + b(x-1) + c] = x \] Mở ngoặc và rút gọn: \[ ax^2 + bx + c - [ax^2 - 2ax + a + bx - b + c] = x \] \[ ax^2 + bx + c - ax^2 + 2ax - a - bx + b - c = x \] \[ 2ax - a + b = x \] So sánh hệ số của \( x \) và hằng số ở hai vế: \[ 2a = 1 \] \[ -a + b = 0 \] Giải hệ phương trình này: \[ a = \frac{1}{2} \] \[ b = a = \frac{1}{2} \] Vậy đa thức cần tìm là: \[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + c \] Do đó, đa thức bậc 2 cần tìm là: \[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + c \] Đáp số: \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + c \)