gải hệ phương trình 3 ẩn

$x+y-2=4\sqrt[]{z-2}$
$x+z-2=4\sqrt[]{y-2}$
$y+z-2=4\sqrt[]{x-2}$

Question

gải hệ phương trình 3 ẩn

$x+y-2=4\sqrt[]{z-2}$
$x+z-2=4\sqrt[]{y-2}$
$y+z-2=4\sqrt[]{x-2}$

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x \geq 2, y \geq 2, z \geq 2 $.

Ta có hệ phương trình:
$$ 
\begin{cases}
x + y - 2 = 4\sqrt{z - 2} \
x + z - 2 = 4\sqrt{y - 2} \
y + z - 2 = 4\sqrt{x - 2}
\end{cases}
$$

Trừ từng phương trình từ phương trình khác để tìm mối liên hệ giữa các biến.

Từ phương trình thứ nhất và thứ hai:
$$ (x + y - 2) - (x + z - 2) = 4\sqrt{z - 2} - 4\sqrt{y - 2} $$
$$ y - z = 4(\sqrt{z - 2} - \sqrt{y - 2}) $$

Từ phương trình thứ hai và thứ ba:
$$ (x + z - 2) - (y + z - 2) = 4\sqrt{y - 2} - 4\sqrt{x - 2} $$
$$ x - y = 4(\sqrt{y - 2} - \sqrt{x - 2}) $$

Từ phương trình thứ ba và thứ nhất:
$$ (y + z - 2) - (x + y - 2) = 4\sqrt{x - 2} - 4\sqrt{z - 2} $$
$$ z - x = 4(\sqrt{x - 2} - \sqrt{z - 2}) $$

Nhìn vào các phương trình trên, ta thấy rằng nếu $ x = y = z $, thì tất cả các phương trình sẽ thỏa mãn. Thử nghiệm với $ x = y = z $:

$$ x + x - 2 = 4\sqrt{x - 2} $$
$$ 2x - 2 = 4\sqrt{x - 2} $$
$$ x - 1 = 2\sqrt{x - 2} $$

Bình phương cả hai vế:
$$ (x - 1)^2 = 4(x - 2) $$
$$ x^2 - 2x + 1 = 4x - 8 $$
$$ x^2 - 6x + 9 = 0 $$
$$ (x - 3)^2 = 0 $$
$$ x = 3 $$

Do đó, $ x = y = z = 3 $.

Kiểm tra lại:
$$ 3 + 3 - 2 = 4\sqrt{3 - 2} $$
$$ 4 = 4 $$

Cả ba phương trình đều đúng. Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
$$ x = 3, y = 3, z = 3 $$