sjjajajajakkakaka Câu 14. (THPT Cù Huy Cận 2019) Cho hàm số $f(x)$ cóóđạo hhm là $f^\prime(x)=x(x-1)(x+2)^2\forall x\in\mathbb{R}$ . Số,điểm cực trị của hàm số là?,A. 5. B. 2. C. 1. D. 3.,Câu 15. (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm,$f^\prime(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^2(x-4)^2,~\forall x\in\mathbb{R}$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là,A. 3 B. 5 C. 2 D. 4,Câu 16. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm,$f^\prime(x)=x(x-1)(x-2)^2,\forall x\in\mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là,A. 5. B. 2. C. 1. D. 3.,Câu 17. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=(x-2)(x^2-3)(x^4-9).$ Số,điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ là,A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.,Câu 18. (THCS THPT Nguyễn Khuyến 2019) Nếu hàm số f x có đạo hàm là,.,$f^\prime~x=x^2~x-2~x^2-x-2~x+1$ thì tổng các điểm cực trị của hàm số f x bằng,A. -1. B. 2. C. 1. D. 0.,Câu 19. (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Cho hàm số $y=f(x)$ cóó đạo hàm,$f^\prime(x)=x(x^2+2x)^\prime(x^2-\sqrt2)\forall x\in\mathbb{R}.$ Số điểm cực trị của hàm số là,A. 4 B. 1 C. 2 D. 3,Câu 20. . (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và,$f^\prime(x)=(x-1)(x-2)^\prime(x+3).$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:,A. 3 B. 1 C. 0 D. 2,Câu 21. (Đề Minh Họa 2017) Tìm giá trị cực đại $y_\alpha$ của hàm số $y=x^3-3x+2.$,$A.~y_{CO}=-1$ $B.~y_{(0)}=4$ $C.~x_{to}=1$ $D.~x_{co}=0$,Câu 22. (Mã 104 - 2017) Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 1 B. 3 C. 0 D. 2,Câu 23. Cho hàm số $y=\frac{x^2+3}{x+1}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?,A. Cực tiểu của hàm số bằng -3 B. Cực tiểu của hàm số bằng 1,C. Cực tiểu của hàm số bằng -6 D. Cực tiểu của hàm số bằng 2,Câu 24. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=x^3-6x^2+9x$ có tổng,hoành độ và tung độ bằng,A. 5. B. 1. C. 3. D. -1.,Câu 25. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm giá trị cực tiểu $y_{cr}$ của hàm số $y=-x^3+3x-4.$,$A.~y_{cr}=-6$ $B.~y_{\sigma}=-1$ $C.~y_{cr}=-2$ $D.~y_{cr}=1$,Câu 26. (THPT Cù Huy Cận 2019) Giá trị cực tiểu $y_{cr}$ của hàm số $y=x^3-3x^2+4$ là:,$A.~y_{CF}=0.$ $B.~y_{cr}=3.$ $C.~y_{CC}=2.$ $D.~y_{cr}=4.$,Câu 27. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Đồ thị hàm số $y=x^4-x^2+1$ có bao nhiêu điểm cực,trị có tung độ là số dương?,A. 3.. B. 1. C. 2. D. 0.,Trang 9

Question

Accepted Answer

Câu 14. Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ từ đạo hàm $ f'(x) = x(x-1)(x+2)^2 $, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm có đạo hàm bằng 0: $$ f'(x) = x(x-1)(x+2)^2 = 0 $$ Điều này xảy ra khi: $$ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -2 $$ 2. Xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $ trong các khoảng giữa các điểm trên: - Khi $ x < -2 $: $$ f'(x) = x(x-1)(x+2)^2 < 0 \quad (\text{vì } x < 0, \, x-1 < 0, \, (x+2)^2 > 0) $$ - Khi $ -2 < x < 0 $: $$ f'(x) = x(x-1)(x+2)^2 > 0 \quad (\text{vì } x < 0, \, x-1 < 0, \, (x+2)^2 > 0) $$ - Khi $ 0 < x < 1 $: $$ f'(x) = x(x-1)(x+2)^2 < 0 \quad (\text{vì } x > 0, \, x-1 < 0, \, (x+2)^2 > 0) $$ - Khi $ x > 1 $: $$ f'(x) = x(x-1)(x+2)^2 > 0 \quad (\text{vì } x > 0, \, x-1 > 0, \, (x+2)^2 > 0) $$ 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại $ x = -2 $: $$ f'(x) \text{ không đổi dấu từ âm sang dương hoặc ngược lại, do đó } x = -2 \text{ không là điểm cực trị.} $$ - Tại $ x = 0 $: $$ f'(x) \text{ thay đổi dấu từ âm sang dương, do đó } x = 0 \text{ là điểm cực tiểu.} $$ - Tại $ x = 1 $: $$ f'(x) \text{ thay đổi dấu từ dương sang âm, do đó } x = 1 \text{ là điểm cực đại.} $$ Vậy, hàm số $ f(x) $ có 2 điểm cực trị: 1 điểm cực tiểu tại $ x = 0 $ và 1 điểm cực đại tại $ x = 1 $. Đáp án: B. 2. Câu 15. Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ từ đạo hàm $ f'(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^2(x-4)^2 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: $$ f'(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^2(x-4)^2 = 0 $$ Điều này xảy ra khi: $$ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 $$ $$ (x-2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 $$ $$ (x-3)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 $$ $$ (x-4)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 $$ 2. Xác định các điểm cực trị: Ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm $ f'(x) $ ở các khoảng giữa các điểm $ x = 1, 2, 3, 4 $. - Khi $ x < 1 $: $$ f'(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^2(x-4)^2 < 0 \quad (\text{vì } x-1 < 0) $$ - Khi $ 1 < x < 2 $: $$ f'(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^2(x-4)^2 > 0 \quad (\text{vì } x-1 > 0) $$ - Khi $ 2 < x < 3 $: $$ f'(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^2(x-4)^2 > 0 \quad (\text{vì } x-1 > 0) $$ - Khi $ 3 < x < 4 $: $$ f'(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^2(x-4)^2 > 0 \quad (\text{vì } x-1 > 0) $$ - Khi $ x > 4 $: $$ f'(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^2(x-4)^2 > 0 \quad (\text{vì } x-1 > 0) $$ 3. Kiểm tra các điểm $ x = 1, 2, 3, 4 $: - Tại $ x = 1 $: $$ f'(x) \) thay đổi từ âm sang dương, do đó $ x = 1 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 2 $: \[ f'(x) \) không thay đổi dấu (cả hai phía đều dương), do đó $ x = 2 $ không phải là điểm cực trị. - Tại $ x = 3 $: \[ f'(x) \) không thay đổi dấu (cả hai phía đều dương), do đó $ x = 3 $ không phải là điểm cực trị. - Tại $ x = 4 $: \[ f'(x) \) không thay đổi dấu (cả hai phía đều dương), do đó $ x = 4 $ không phải là điểm cực trị. Vậy, hàm số $ f(x) $ có duy nhất 1 điểm cực trị tại $ x = 1 $. Do đó, số điểm cực trị của hàm số đã cho là: \[ \boxed{1} $$ Câu 16. Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ f(x) $, ta cần tìm các điểm mà đạo hàm $ f'(x) $ bằng 0 và thay đổi dấu. Bước 1: Tìm các nghiệm của đạo hàm $ f'(x) $. Ta có: $$ f'(x) = x(x - 1)(x - 2)^2 $$ Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ x(x - 1)(x - 2)^2 = 0 $$ Từ đây, ta tìm được các nghiệm: $$ x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2 $$ Bước 2: Xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $ ở các khoảng giữa các nghiệm. - Khi $ x < 0 $: Chọn $ x = -1 $: $$ f'(-1) = (-1)(-1 - 1)((-1) - 2)^2 = (-1)(-2)(-3)^2 = (-1)(-2)(9) = 18 > 0 $$ - Khi $ 0 < x < 1 $: Chọn $ x = \frac{1}{2} $: $$ f'\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2} - 1\right)\left(\frac{1}{2} - 2\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{9}{4}\right) = -\frac{9}{16} < 0 $$ - Khi $ 1 < x < 2 $: Chọn $ x = \frac{3}{2} $: $$ f'\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2} - 1\right)\left(\frac{3}{2} - 2\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{16} > 0 $$ - Khi $ x > 2 $: Chọn $ x = 3 $: $$ f'(3) = 3(3 - 1)(3 - 2)^2 = 3(2)(1)^2 = 6 > 0 $$ Bước 3: Xác định các điểm cực trị dựa trên sự thay đổi dấu của đạo hàm. - Tại $ x = 0 $: Đạo hàm thay đổi từ dương sang âm, do đó $ x = 0 $ là điểm cực đại. - Tại $ x = 1 $: Đạo hàm thay đổi từ âm sang dương, do đó $ x = 1 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 2 $: Đạo hàm không thay đổi dấu (cả hai bên đều dương), do đó $ x = 2 $ không là điểm cực trị. Vậy, số điểm cực trị của hàm số là 2 (tại $ x = 0 $ và $ x = 1 $). Đáp án đúng là: B. 2. Câu 17. Để tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$, ta cần xem xét đạo hàm $f'(x)$ và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định. Các điểm này có thể là các điểm cực trị của hàm số. Bước 1: Tìm các nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$: $$ f'(x) = (x - 2)(x^2 - 3)(x^4 - 9) $$ Phương trình $f'(x) = 0$ có các nghiệm: $$ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 $$ $$ x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3} \text{ hoặc } x = -\sqrt{3} $$ $$ x^4 - 9 = 0 \Rightarrow x^4 = 9 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt[4]{9} \text{ hoặc } x = -\sqrt[4]{9} $$ Tuy nhiên, $x^4 - 9 = 0$ đã được bao gồm trong $x^2 - 3 = 0$, vì vậy các nghiệm duy nhất là: $$ x = 2, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} $$ Bước 2: Xác định tính chất của đạo hàm ở các điểm này để xác định các điểm cực trị: - Tại $x = 2$: Ta kiểm tra dấu của $f'(x)$ ở hai bên của $x = 2$. - Khi $x < 2$, $(x - 2) < 0$, $(x^2 - 3) > 0$, $(x^4 - 9) > 0$ nên $f'(x) < 0$. - Khi $x > 2$, $(x - 2) > 0$, $(x^2 - 3) > 0$, $(x^4 - 9) > 0$ nên $f'(x) > 0$. Do đó, $x = 2$ là điểm cực tiểu. - Tại $x = \sqrt{3}$: Ta kiểm tra dấu của $f'(x)$ ở hai bên của $x = \sqrt{3}$. - Khi $x < \sqrt{3}$, $(x - 2) < 0$, $(x^2 - 3) < 0$, $(x^4 - 9) > 0$ nên $f'(x) > 0$. - Khi $x > \sqrt{3}$, $(x - 2) < 0$, $(x^2 - 3) > 0$, $(x^4 - 9) > 0$ nên $f'(x) < 0$. Do đó, $x = \sqrt{3}$ là điểm cực đại. - Tại $x = -\sqrt{3}$: Ta kiểm tra dấu của $f'(x)$ ở hai bên của $x = -\sqrt{3}$. - Khi $x < -\sqrt{3}$, $(x - 2) < 0$, $(x^2 - 3) > 0$, $(x^4 - 9) > 0$ nên $f'(x) < 0$. - Khi $x > -\sqrt{3}$, $(x - 2) < 0$, $(x^2 - 3) < 0$, $(x^4 - 9) > 0$ nên $f'(x) > 0$. Do đó, $x = -\sqrt{3}$ là điểm cực tiểu. Bước 3: Kết luận số điểm cực trị: Hàm số $y = f(x)$ có ba điểm cực trị: $x = 2$, $x = \sqrt{3}$, và $x = -\sqrt{3}$. Vậy đáp án đúng là: A. 3. Câu 18. Để tìm tổng các điểm cực trị của hàm số $ f(x) $, ta cần tìm các điểm mà đạo hàm $ f'(x) $ bằng 0 và kiểm tra tính chất của đạo hàm ở các điểm đó. Bước 1: Xác định đạo hàm $ f'(x) $: $$ f'(x) = x^2(x-2)(x^2-x-2)(x+1) $$ Bước 2: Tìm các nghiệm của phương trình $ f'(x) = 0 $: $$ x^2(x-2)(x^2-x-2)(x+1) = 0 $$ Phương trình này có các nghiệm: $$ x = 0, \quad x = 2, \quad x^2 - x - 2 = 0, \quad x = -1 $$ Giải phương trình $ x^2 - x - 2 = 0 $: $$ x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0 $$ Có các nghiệm: $$ x = 2, \quad x = -1 $$ Như vậy, các nghiệm của phương trình $ f'(x) = 0 $ là: $$ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -1 $$ Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm ở các điểm này để xác định các điểm cực trị: - Tại $ x = 0 $: $$ f'(x) = x^2(x-2)(x^2-x-2)(x+1) $$ Khi $ x $ tăng dần qua 0, $ f'(x) $ chuyển từ âm sang dương, do đó $ x = 0 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 2 $: $$ f'(x) = x^2(x-2)(x^2-x-2)(x+1) $$ Khi $ x $ tăng dần qua 2, $ f'(x) $ chuyển từ dương sang âm, do đó $ x = 2 $ là điểm cực đại. - Tại $ x = -1 $: $$ f'(x) = x^2(x-2)(x^2-x-2)(x+1) $$ Khi $ x $ tăng dần qua -1, $ f'(x) $ chuyển từ âm sang dương, do đó $ x = -1 $ là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính tổng các điểm cực trị: $$ 0 + 2 - 1 = 1 $$ Vậy tổng các điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ là 1. Đáp án đúng là: C. 1 Câu 19. Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = f(x) $ với đạo hàm $ f'(x) = x(x^2 + 2x)(x^2 - \sqrt{2}) $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm có đạo hàm bằng 0: $$ f'(x) = x(x^2 + 2x)(x^2 - \sqrt{2}) $$ Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ x(x^2 + 2x)(x^2 - \sqrt{2}) = 0 $$ Ta có các nghiệm: $$ x = 0, \quad x^2 + 2x = 0, \quad x^2 - \sqrt{2} = 0 $$ 2. Giải các phương trình: - $ x = 0 $ - $ x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = -2 $ - $ x^2 - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x^2 = \sqrt{2} \Rightarrow x = \sqrt[4]{2} \text{ hoặc } x = -\sqrt[4]{2} $ Vậy các điểm có đạo hàm bằng 0 là: $$ x = 0, \quad x = -2, \quad x = \sqrt[4]{2}, \quad x = -\sqrt[4]{2} $$ 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại các điểm này để xác định cực trị: - Tại $ x = 0 $: $$ f'(x) = x(x^2 + 2x)(x^2 - \sqrt{2}) $$ Khi $ x $ tăng dần qua 0 từ âm sang dương, $ f'(x) $ chuyển từ âm sang dương, do đó $ x = 0 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = -2 $: $$ f'(x) = x(x^2 + 2x)(x^2 - \sqrt{2}) $$ Khi $ x $ tăng dần qua -2 từ âm sang dương, $ f'(x) $ chuyển từ dương sang âm, do đó $ x = -2 $ là điểm cực đại. - Tại $ x = \sqrt[4]{2} $: $$ f'(x) = x(x^2 + 2x)(x^2 - \sqrt{2}) $$ Khi $ x $ tăng dần qua $ \sqrt[4]{2} $ từ âm sang dương, $ f'(x) $ chuyển từ dương sang âm, do đó $ x = \sqrt[4]{2} $ là điểm cực đại. - Tại $ x = -\sqrt[4]{2} $: $$ f'(x) = x(x^2 + 2x)(x^2 - \sqrt{2}) $$ Khi $ x $ tăng dần qua $ -\sqrt[4]{2} $ từ âm sang dương, $ f'(x) $ chuyển từ âm sang dương, do đó $ x = -\sqrt[4]{2} $ là điểm cực tiểu. 4. Kết luận: Hàm số $ y = f(x) $ có 4 điểm cực trị: 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. Đáp án đúng là: A. 4 Câu 20. Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = f(x) $ với đạo hàm $ f'(x) = (x-1)(x-2)(x+3) $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm có đạo hàm bằng 0: $$ f'(x) = (x-1)(x-2)(x+3) $$ Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ (x-1)(x-2)(x+3) = 0 $$ Giải phương trình này, ta tìm được các nghiệm: $$ x = 1, \quad x = 2, \quad x = -3 $$ 2. Xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $ trong các khoảng xác định: Ta xét dấu của $ f'(x) $ trong các khoảng: $ (-\infty, -3) $, $ (-3, 1) $, $ (1, 2) $, và $ (2, +\infty) $. - Khi $ x < -3 $: Chọn $ x = -4 $: $$ f'(-4) = (-4-1)(-4-2)(-4+3) = (-5)(-6)(-1) = -30 < 0 $$ - Khi $ -3 < x < 1 $: Chọn $ x = 0 $: $$ f'(0) = (0-1)(0-2)(0+3) = (-1)(-2)(3) = 6 > 0 $$ - Khi $ 1 < x < 2 $: Chọn $ x = 1.5 $: $$ f'(1.5) = (1.5-1)(1.5-2)(1.5+3) = (0.5)(-0.5)(4.5) = -1.125 < 0 $$ - Khi $ x > 2 $: Chọn $ x = 3 $: $$ f'(3) = (3-1)(3-2)(3+3) = (2)(1)(6) = 12 > 0 $$ 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại $ x = -3 $: $ f'(x) $ thay đổi từ âm sang dương, do đó $ x = -3 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 1 $: $ f'(x) $ thay đổi từ dương sang âm, do đó $ x = 1 $ là điểm cực đại. - Tại $ x = 2 $: $ f'(x) $ thay đổi từ âm sang dương, do đó $ x = 2 $ là điểm cực tiểu. Vậy, hàm số $ y = f(x) $ có 3 điểm cực trị. Đáp án: A. 3 Câu 21. Để tìm giá trị cực đại của hàm số $ y = x^3 - 3x + 2 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 $$ 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 0 $$ $$ 3x^2 - 3 = 0 $$ $$ 3(x^2 - 1) = 0 $$ $$ x^2 - 1 = 0 $$ $$ (x - 1)(x + 1) = 0 $$ $$ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 $$ 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta kiểm tra đạo hàm ở các khoảng xung quanh các điểm $ x = 1 $ và $ x = -1 $: - Khi $ x < -1 $, $ y' > 0 $ - Khi $ -1 < x < 1 $, $ y' < 0 $ - Khi $ x > 1 $, $ y' > 0 $ Do đó: - $ x = -1 $ là điểm cực đại. - $ x = 1 $ là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại: $$ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 $$ Vậy giá trị cực đại của hàm số $ y = x^3 - 3x + 2 $ là $ y_{\text{cực đại}} = 4 $. Đáp án đúng là: $ B.~y_{(0)}=4 $. Câu 22. Để tìm số điểm cực trị của hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. $y' = \left(\frac{2x+3}{x+1}\right)' = \frac{(2x+3)'(x+1) - (2x+3)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - (2x+3)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$ Bước 2: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của đạo hàm. Điều kiện xác định của đạo hàm là $(x+1)^2 \neq 0$, suy ra $x \neq -1$. Bước 3: Tìm các điểm cực trị. Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $y' = 0$: $\frac{-1}{(x+1)^2} = 0$ Phương trình này vô nghiệm vì $\frac{-1}{(x+1)^2}$ luôn luôn âm và không thể bằng 0. Do đó, hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ không có điểm cực trị. Vậy đáp án đúng là: C. 0 Đáp số: C. 0 Câu 23. Để tìm cực tiểu của hàm số $y=\frac{x^2+3}{x+1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. $$ y' = \left( \frac{x^2 + 3}{x + 1} \right)' = \frac{(x^2 + 3)'(x + 1) - (x^2 + 3)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{(2x)(x + 1) - (x^2 + 3)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 3}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. $$ y' = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = 0 $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ Phương trình này có dạng bậc hai, ta giải nó: $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ $$ (x + 3)(x - 1) = 0 $$ $$ x = -3 \text{ hoặc } x = 1 $$ Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị. - Ta kiểm tra dấu của đạo hàm $y'$ ở các khoảng $( -\infty, -3 )$, $( -3, 1 )$, $( 1, +\infty )$ để xác định tính chất của các điểm cực trị. - Khi $x < -3$: Chọn $x = -4$, ta có $y' = \frac{(-4)^2 + 2(-4) - 3}{(-4 + 1)^2} = \frac{16 - 8 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0$. Vậy $y'$ dương ở khoảng $( -\infty, -3 )$. - Khi $-3 < x < 1$: Chọn $x = 0$, ta có $y' = \frac{0^2 + 2(0) - 3}{(0 + 1)^2} = \frac{-3}{1} = -3 < 0$. Vậy $y'$ âm ở khoảng $( -3, 1 )$. - Khi $x > 1$: Chọn $x = 2$, ta có $y' = \frac{2^2 + 2(2) - 3}{(2 + 1)^2} = \frac{4 + 4 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0$. Vậy $y'$ dương ở khoảng $( 1, +\infty )$. Từ đó, ta thấy: - Tại $x = -3$, hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó $x = -3$ là điểm cực đại. - Tại $x = 1$, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó $x = 1$ là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu. $$ y(1) = \frac{1^2 + 3}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2 $$ Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là 2, đạt được khi $x = 1$. Do đó, mệnh đề đúng là: D. Cực tiểu của hàm số bằng 2. Câu 24. Để tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 9x$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x) = 3x^2 - 12x + 9 $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 0 $$ $$ 3x^2 - 12x + 9 = 0 $$ $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ $$ (x - 1)(x - 3) = 0 $$ $$ x = 1 \text{ hoặc } x = 3 $$ Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm: - Khi $ x < 1 $, chọn $ x = 0 $: $$ y'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 $$ - Khi $ 1 < x < 3 $, chọn $ x = 2 $: $$ y'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 $$ - Khi $ x > 3 $, chọn $ x = 4 $: $$ y'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 $$ Từ đó, ta thấy: - $ y' $ chuyển từ dương sang âm tại $ x = 1 $, do đó $ x = 1 $ là điểm cực đại. - $ y' $ chuyển từ âm sang dương tại $ x = 3 $, do đó $ x = 3 $ là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại $ x = 1 $: $$ y(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4 $$ Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là $ (1, 4) $. Bước 5: Tính tổng hoành độ và tung độ của điểm cực đại: $$ 1 + 4 = 5 $$ Do đó, đáp án đúng là: A. 5 Đáp số: A. 5 Câu 25. Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số $ y = -x^3 + 3x - 4 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x - 4) = -3x^2 + 3 $$ 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 0 $$ $$ -3x^2 + 3 = 0 $$ $$ -3(x^2 - 1) = 0 $$ $$ x^2 - 1 = 0 $$ $$ x^2 = 1 $$ $$ x = \pm 1 $$ 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta kiểm tra đạo hàm ở các điểm lân cận để xác định tính chất của các điểm cực trị. - Tại $ x = -1 $: $$ y'' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 3) = -6x $$ $$ y''(-1) = -6(-1) = 6 > 0 $$ Do đó, $ x = -1 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 1 $: $$ y''(1) = -6(1) = -6 < 0 $$ Do đó, $ x = 1 $ là điểm cực đại. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu: $$ y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) - 4 = 1 - 3 - 4 = -6 $$ Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $ y_{cr} = -6 $. Đáp án đúng là: $ A.~y_{cr} = -6 $. Câu 26. Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 4 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x $$ 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 0 $$ $$ 3x^2 - 6x = 0 $$ $$ 3x(x - 2) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 $$ 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta tính đạo hàm bậc hai: $$ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 $$ - Kiểm tra tại $ x = 0 $: $$ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 $$ Do đó, $ x = 0 $ là điểm cực đại. - Kiểm tra tại $ x = 2 $: $$ y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 $$ Do đó, $ x = 2 $ là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu: $$ y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 $$ Vậy giá trị cực tiểu của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 4 $ là $ y_{cr} = 0 $. Đáp án đúng là: $ A.~y_{cr} = 0 $. Câu 27. Để tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^4 - x^2 + 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - x^2 + 1) = 4x^3 - 2x $$ Bước 2: Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 0 $$ $$ 4x^3 - 2x = 0 $$ $$ 2x(2x^2 - 1) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 - 1 = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = \frac{1}{2} $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Bước 3: Xác định các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Khi $x = 0$: $$ y = 0^4 - 0^2 + 1 = 1 $$ - Khi $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ y = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4} $$ - Khi $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ y = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4} $$ Bước 4: Kiểm tra các giá trị của hàm số để xác định các điểm cực trị có tung độ là số dương: - Tại $x = 0$, $y = 1$ (số dương) - Tại $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{3}{4}$ (số dương) - Tại $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{3}{4}$ (số dương) Như vậy, đồ thị hàm số $y = x^4 - x^2 + 1$ có 3 điểm cực trị có tung độ là số dương. Đáp án đúng là: A. 3