Bài 4. Cho xOy là góc nhọn. Trên tia Ox lấy điểm A (  A O). Trên tia Oy
lấy điểm B sao cho = OA OB. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với OA, cắt Oy tại
E. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OB, cắt Ox tại F.
a) Chứng minh  = OAE OBF, từ đó suy ra = OE OF.
b) Gọi I là giao điểm của AE và BF. Gọi M là trung điểm của EF. So sánh EM
và 2
+ EI IF .
c) Chứng minh ba điểm O, I, M thẳng hàng.
Bài 5. Cho đa thức ( ) 2 P x ax bx c = + + có 1
2 = x là một nghiệm.
Xác định a, b, c biết số a nhỏ hơn số c một đơn vị và đa thức ( ) P x chia hết cho x-3

Question

Bài 4.  Cho xOy là góc nhọn. Trên tia Ox lấy điểm A (  A O). Trên tia Oy 
lấy điểm B sao cho = OA OB. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với OA, cắt Oy tại 
E. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OB, cắt Ox tại F. 
a) Chứng minh  = OAE OBF, từ đó suy ra = OE OF. 
b) Gọi I là giao điểm của AE và BF. Gọi M là trung điểm của EF. So sánh EM 
và 2
 + EI IF . 
c) Chứng minh ba điểm O, I, M thẳng hàng. 
Bài 5.  Cho đa thức ( ) 2 P x ax bx c = + + có 1
 2 = x là một nghiệm. 
Xác định a, b, c biết số a nhỏ hơn số c một đơn vị và đa thức ( ) P x chia hết cho x-3

Accepted Answer

Bài 4.
a) Ta có:
- $\angle OAE = \angle OBF = 90^\circ$ (do AE và BF vuông góc với OA và OB)
- OA = OB (theo đề bài)
- $\angle AOE = \angle BOF$ (góc giữa hai tia Ox và Oy)

Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ nhất (cạnh kề và hai góc kề), ta có:
$\Delta OAE = \Delta OBF$

Từ đó suy ra:
OE = OF

b) Vì $\Delta OAE = \Delta OBF$, nên AE = BF. 
Mặt khác, M là trung điểm của EF, nên EM = MF.

Ta có:
$EI^2 + IF^2 = (EM + MI)^2 + (MF - MI)^2$
$= EM^2 + 2EM \cdot MI + MI^2 + MF^2 - 2MF \cdot MI + MI^2$
$= EM^2 + MF^2 + 2MI^2$

Vì EM = MF, nên:
$EM^2 + MF^2 = 2EM^2$

Do đó:
$EI^2 + IF^2 = 2EM^2 + 2MI^2$

Nhưng ta thấy rằng:
$2EM^2 + 2MI^2 = 2(EM^2 + MI^2)$

Vậy:
$EI^2 + IF^2 = 2EM^2$

c) Ta có:
- $\angle EIM = \angle FIM$ (do $\Delta OAE = \Delta OBF$ và M là trung điểm của EF)
- $\angle EOI = \angle FOI$ (do $\Delta OAE = \Delta OBF$)

Do đó, ba điểm O, I, M thẳng hàng.

Bài 5.
Để xác định các hệ số $a$, $b$, và $c$ của đa thức $P(x) = ax^2 + bx + c$, ta thực hiện các bước sau:

1. Biết rằng $x = 1$ là một nghiệm của đa thức $P(x)$:
   Thay $x = 1$ vào đa thức:
   $$
   P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 0
   $$
   Vậy ta có phương trình:
   $$
   a + b + c = 0 \quad \text{(1)}
   $$

2. Biết rằng $x = 2$ là một nghiệm của đa thức $P(x)$:
   Thay $x = 2$ vào đa thức:
   $$
   P(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = 0
   $$
   Vậy ta có phương trình:
   $$
   4a + 2b + c = 0 \quad \text{(2)}
   $$

3. Biết rằng số $a$ nhỏ hơn số $c$ một đơn vị:
   Ta có:
   $$
   a = c - 1 \quad \text{(3)}
   $$

4. Biết rằng đa thức $P(x)$ chia hết cho $x - 3$:
   Thay $x = 3$ vào đa thức:
   $$
   P(3) = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c = 0
   $$
   Vậy ta có phương trình:
   $$
   9a + 3b + c = 0 \quad \text{(4)}
   $$

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm $a$, $b$, và $c$:

Từ phương trình (3):
$$
a = c - 1
$$

Thay $a = c - 1$ vào phương trình (1):
$$
(c - 1) + b + c = 0 \
2c + b - 1 = 0 \
b = 1 - 2c \quad \text{(5)}
$$

Thay $a = c - 1$ và $b = 1 - 2c$ vào phương trình (2):
$$
4(c - 1) + 2(1 - 2c) + c = 0 \
4c - 4 + 2 - 4c + c = 0 \
c - 2 = 0 \
c = 2
$$

Thay $c = 2$ vào phương trình (3):
$$
a = 2 - 1 = 1
$$

Thay $c = 2$ vào phương trình (5):
$$
b = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3
$$

Vậy các hệ số $a$, $b$, và $c$ là:
$$
a = 1, \quad b = -3, \quad c = 2
$$

Đáp số: $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$.

Bài 4. Cho xOy là góc nhọn. Trên tia Ox lấy điểm A (  A O). Trên tia Oy lấy điểm B sao cho = OA OB. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với OA, cắt Oy tại E. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OB, cắt Ox t...