âuiaisisisisxkxk Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số,$y=\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}$ là,A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.,Câu 2. (Đề Tham Khảo 2018) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?,$A.~y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$ $B.~y=\frac{x^2}{x^2+1}$ $C.~y=\sqrt{x^2-1}$ $D.~y=\frac x{x+1}$,Câu 3. (Mã 110 2017) Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-5x+4}{x^2-1}.$,A. 2 B. 3 C. 0 D. 1,Câu 4. (Mã 123 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: $y=\frac{x^2-3x-4}{x^2-16}$,A. 2 B. 3 C. 1 D. 0,Câu 5. (Mã 104 2017) Đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x^2-4}$ có mấy tiệm cận.,A. 3 B. 1 C. 2 D. 0,Câu 6. (Mã 101 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}$ là,A. 1 B. 2 C. 0 D. 3,Câu 7. (Mã 102 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+x}$ là,A. 2 B. 1 C. 3 D. 0,Câu 8. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Đồ thị hàm số $y=\frac{5x+1-\sqrt{x+1}}{x^2+2x}$ có tất cả bao nhiêu,đường tiệm cận?,A. 3 B. 0 C. 2 D. 1,Câu 9. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}.$,$A.~x=3$ và $x=2.$ $B.~x=3.$ $C.~x=-3$ và $x=-2.$ $D.~x=-3.$,Câu 10. (Mã 103 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+25}-5}{x^2+x}$ là,A. 3 B. 2 C. 0 D. 1,Câu 11. (Mã 104 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+16}-4}{x^2+x}$ là,A. 3 B. 2 C. 1 D. 0,Câu 12. (Chuyên Sơn La 2019) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+x}$ là,A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.,Câu 13. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Đồ thị hàm số $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}$ có tất cả bao nhiêu tiệm,cận đứng và tiệm cận ngang?,A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.,Trang 6

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tìm tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tiệm cận đứng
Tiệm cận đứng của hàm số là các đường thẳng $x = a$ sao cho $\lim_{x \to a} y = \pm \infty$. Để tìm các giá trị $a$, chúng ta cần tìm các nghiệm của mẫu số $x^2 - 1 = 0$.

$x^2 - 1 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$

Vậy $x = 1$ hoặc $x = -1$.

Do đó, đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x = 1$ và $x = -1$.

Bước 2: Tìm tiệm cận ngang
Tiệm cận ngang của hàm số là các đường thẳng $y = b$ sao cho $\lim_{x \to \pm \infty} y = b$. Để tìm giá trị $b$, chúng ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng.

$\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{5x^2 - 4x - 1}{x^2 - 1}$

Chia cả tử và mẫu cho $x^2$:

$\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{5 - \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}}$

Khi $x \to \pm \infty$, các phân số $\frac{4}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ và $\frac{1}{x^2}$ đều tiến đến 0.

Vậy $\lim_{x \to \pm \infty} y = \frac{5 - 0 - 0}{1 - 0} = 5$

Do đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là $y = 5$.

Kết luận:
Đồ thị hàm số $y=\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}$ có 2 tiệm cận đứng ($x = 1$ và $x = -1$) và 1 tiệm cận ngang ($y = 5$).

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2 + 1 = 3$.

Đáp án đúng là: D. 3.

Câu 2.
Để xác định đồ thị của hàm số nào có tiệm cận đứng, ta cần kiểm tra các hàm số đã cho để xem có điểm nào làm mẫu số bằng 0 (trừ trường hợp mẫu số có thể giản ước với tử số).

A. $ y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} $

Tử số: $ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) $
Mẫu số: $ x - 1 $

Khi $ x = 1 $, mẫu số bằng 0 nhưng tử số cũng bằng 0, do đó ta có thể giản ước:
$$ y = \frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 1} = x - 2 \quad \text{(khi } x \neq 1) $$

Vậy hàm số này không có tiệm cận đứng vì nó rút gọn thành một đường thẳng $ y = x - 2 $ ngoại trừ điểm $ x = 1 $.

B. $ y = \frac{x^2}{x^2 + 1} $

Mẫu số: $ x^2 + 1 $

$ x^2 + 1 $ luôn dương với mọi $ x $, do đó mẫu số không bao giờ bằng 0. Vậy hàm số này không có tiệm cận đứng.

C. $ y = \sqrt{x^2 - 1} $

Điều kiện xác định: $ x^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow x \leq -1 $ hoặc $ x \geq 1 $

Hàm số này không có dạng phân thức nên không có tiệm cận đứng.

D. $ y = \frac{x}{x + 1} $

Mẫu số: $ x + 1 $

Khi $ x = -1 $, mẫu số bằng 0. Do đó, hàm số này có tiệm cận đứng tại $ x = -1 $.

Vậy đáp án đúng là D. $ y = \frac{x}{x + 1} $.

Câu 3.
Để tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-5x+4}{x^2-1}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tiệm cận đứng:
   - Điều kiện xác định: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$.
   - Ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến các điểm bất định $\pm 1$:
     $$
     \lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-4)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-4}{x+1} = \frac{1-4}{1+1} = -\frac{3}{2}
     $$
     Do đó, $x = 1$ không là tiệm cận đứng.
     $$
     \lim_{x \to -1} y = \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x-1)(x-4)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x-4}{x+1} = \frac{-1-4}{-1+1} = \text{không xác định}
     $$
     Do đó, $x = -1$ là tiệm cận đứng.

2. Tìm tiệm cận ngang:
   - Ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng:
     $$
     \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = 1
     $$
     Do đó, $y = 1$ là tiệm cận ngang.

3. Kết luận:
   - Đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-5x+4}{x^2-1}$ có 1 tiệm cận đứng là $x = -1$ và 1 tiệm cận ngang là $y = 1$.

Vậy số tiệm cận của đồ thị hàm số là 2.

Đáp án đúng là: A. 2

Câu 4.
Để tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-3x-4}{x^2-16}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Điều kiện xác định của hàm số là mẫu số khác 0:
$$ x^2 - 16 \neq 0 $$
$$ (x - 4)(x + 4) \neq 0 $$
$$ x \neq 4 \text{ và } x \neq -4 $$

Bước 2: Tìm các điểm x làm cho mẫu số bằng 0
Mẫu số bằng 0 khi:
$$ x^2 - 16 = 0 $$
$$ (x - 4)(x + 4) = 0 $$
$$ x = 4 \text{ hoặc } x = -4 $$

Bước 3: Kiểm tra các điểm này có làm cho tử số bằng 0 hay không
Tử số là:
$$ x^2 - 3x - 4 $$

- Khi $ x = 4 $:
$$ 4^2 - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0 $$
Vậy $ x = 4 $ làm cho cả tử số và mẫu số đều bằng 0, do đó nó không tạo thành tiệm cận đứng.

- Khi $ x = -4 $:
$$ (-4)^2 - 3(-4) - 4 = 16 + 12 - 4 = 24 \neq 0 $$
Vậy $ x = -4 $ làm cho mẫu số bằng 0 nhưng tử số không bằng 0, do đó nó tạo thành tiệm cận đứng.

Bước 4: Kết luận
Hàm số $y=\frac{x^2-3x-4}{x^2-16}$ có 1 tiệm cận đứng tại $ x = -4 $.

Vậy đáp án đúng là:
C. 1

Câu 5.
Để tìm số lượng tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x^2-4}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   Ta có:
   $$
   x^2 - 4 \neq 0 \implies (x - 2)(x + 2) \neq 0 \implies x \neq 2 \text{ và } x \neq -2
   $$
   Vậy ĐKXĐ là: $ x \neq 2 $ và $ x \neq -2 $.

2. Tìm tiệm cận đứng:
   Tiệm cận đứng là những đường thẳng thẳng đứng mà hàm số tiến đến vô cùng khi $ x $ tiến đến giá trị nào đó. Ta xét giới hạn của hàm số khi $ x $ tiến đến các điểm $ x = 2 $ và $ x = -2 $:
   $$
   \lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{4}
   $$
   $$
   \lim_{x \to -2} y = \lim_{x \to -2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{x+2} = -\infty
   $$
   Do đó, hàm số có tiệm cận đứng tại $ x = -2 $.

3. Tìm tiệm cận ngang:
   Tiệm cận ngang là đường thẳng nằm ngang mà hàm số tiến đến khi $ x $ tiến đến vô cùng. Ta xét giới hạn của hàm số khi $ x $ tiến đến $ +\infty $ và $ -\infty $:
   $$
   \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-2}{x^2-4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} = 0
   $$
   Do đó, hàm số có tiệm cận ngang là $ y = 0 $.

4. Kết luận:
   Đồ thị hàm số $ y = \frac{x-2}{x^2-4} $ có 2 tiệm cận: 1 tiệm cận đứng tại $ x = -2 $ và 1 tiệm cận ngang tại $ y = 0 $.

Vậy đáp án đúng là: C. 2

Câu 6.
Để tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- ĐKXĐ của $\sqrt{x+9}$ là $x + 9 \geq 0$, suy ra $x \geq -9$.
- ĐKXĐ của mẫu số $x^2 + x$ là $x^2 + x \neq 0$, suy ra $x \neq 0$ và $x \neq -1$.

Vậy ĐKXĐ của hàm số là $x \geq -9$, $x \neq 0$, $x \neq -1$.

Bước 2: Tìm các điểm có thể là tiệm cận đứng
- Các điểm có thể là tiệm cận đứng là những điểm làm cho mẫu số bằng 0, tức là $x = 0$ và $x = -1$.

Bước 3: Kiểm tra giới hạn của hàm số tại các điểm trên
- Ta kiểm tra giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến $0$ và $-1$.

Tính giới hạn khi $x \to 0$:
$$
\lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}
$$
Áp dụng phép nhân liên hợp:
$$
= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+9}+3)}{(x^2+x)(\sqrt{x+9}+3)}
= \lim_{x \to 0} \frac{x+9-9}{(x^2+x)(\sqrt{x+9}+3)}
= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(x+1)(\sqrt{x+9}+3)}
= \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+9}+3)}
= \frac{1}{(0+1)(\sqrt{0+9}+3)}
= \frac{1}{1 \cdot 6}
= \frac{1}{6}
$$

Tính giới hạn khi $x \to -1$:
$$
\lim_{x \to -1} y = \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}
$$
Áp dụng phép nhân liên hợp:
$$
= \lim_{x \to -1} \frac{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+9}+3)}{(x^2+x)(\sqrt{x+9}+3)}
= \lim_{x \to -1} \frac{x+9-9}{(x^2+x)(\sqrt{x+9}+3)}
= \lim_{x \to -1} \frac{x}{x(x+1)(\sqrt{x+9}+3)}
= \lim_{x \to -1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+9}+3)}
= \frac{1}{(-1+1)(\sqrt{-1+9}+3)}
= \frac{1}{0 \cdot (\sqrt{8}+3)}
= \text{không tồn tại}
$$

Vì giới hạn khi $x \to -1$ không tồn tại, nên $x = -1$ là tiệm cận đứng.

Bước 4: Kết luận
- Tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số là $x = -1$.

Vậy số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1.

Đáp án đúng là: A. 1

Câu 7.
Để tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+x}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- ĐKXĐ của $\sqrt{x+4}$ là $x + 4 \geq 0$, suy ra $x \geq -4$.
- ĐKXĐ của mẫu số $x^2 + x$ là $x^2 + x \neq 0$, suy ra $x \neq 0$ và $x \neq -1$.

Vậy ĐKXĐ của hàm số là $x \geq -4$, $x \neq 0$, $x \neq -1$.

Bước 2: Tìm các điểm có thể là tiệm cận đứng
Tiệm cận đứng của hàm số là các đường thẳng $x = a$ sao cho $\lim_{x \to a} y = \pm \infty$. Ta xét các điểm $x = 0$ và $x = -1$ vì chúng làm mẫu số bằng 0.

Bước 3: Kiểm tra giới hạn tại các điểm $x = 0$ và $x = -1$
- Tại $x = 0$: 
  $$
  \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+x}
  $$
  Thay $x = 0$ vào tử số:
  $$
  \sqrt{0+4} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0
  $$
  Thay $x = 0$ vào mẫu số:
  $$
  0^2 + 0 = 0
  $$
  Do đó, ta có dạng $\frac{0}{0}$, cần sử dụng phương pháp nhân liên hợp để đơn giản hóa:
  $$
  \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{(x^2+x)(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x+4-4}{(x^2+x)(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(x+1)(\sqrt{x+4}+2)}
  $$
  $$
  = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{(0+1)(\sqrt{0+4}+2)} = \frac{1}{1 \cdot (2+2)} = \frac{1}{4}
  $$
  Vậy $\lim_{x \to 0} y = \frac{1}{4}$, không phải tiệm cận đứng.

- Tại $x = -1$:
  $$
  \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+x}
  $$
  Thay $x = -1$ vào tử số:
  $$
  \sqrt{-1+4} - 2 = \sqrt{3} - 2
  $$
  Thay $x = -1$ vào mẫu số:
  $$
  (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0
  $$
  Do đó, ta có dạng $\frac{\sqrt{3} - 2}{0}$, suy ra $\lim_{x \to -1} y = \pm \infty$ (tùy thuộc vào chiều tiếp cận).

Vậy $x = -1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Kết luận: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1.

Đáp án đúng là: B. 1

Câu 8.
Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{5x+1-\sqrt{x+1}}{x^2+2x}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm các đường tiệm cận đứng
Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0 tại điểm đó.

Mẫu số: $x^2 + 2x = x(x + 2)$

$x(x + 2) = 0$

$\Rightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$

Ta kiểm tra xem tại các điểm này, tử số có bằng 0 hay không:
- Khi $x = 0$: $5(0) + 1 - \sqrt{0 + 1} = 1 - 1 = 0$
- Khi $x = -2$: $5(-2) + 1 - \sqrt{-2 + 1} = -10 + 1 - \sqrt{-1}$ (không xác định vì căn số âm)

Do đó, chỉ có $x = 0$ là điểm làm mẫu số bằng 0 nhưng tử số cũng bằng 0, nên không phải là đường tiệm cận đứng. Điểm $x = -2$ không xác định do căn số âm, nên cũng không phải là đường tiệm cận đứng.

Bước 2: Tìm các đường tiệm cận ngang
Đường tiệm cận ngang xuất hiện khi $\lim_{x \to \pm\infty} y = L$, trong đó $L$ là hằng số hữu hạn.

Ta tính giới hạn của hàm số khi $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{5x + 1 - \sqrt{x + 1}}{x^2 + 2x}$

Chia cả tử và mẫu cho $x^2$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5x}{x^2} + \frac{1}{x^2} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2}}$

= $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x^2}}{1 + \frac{2}{x}}$

Khi $x \to \pm\infty$, các phân số $\frac{5}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{\sqrt{x + 1}}{x^2}$ và $\frac{2}{x}$ đều tiến đến 0.

Do đó:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{0 + 0 - 0}{1 + 0} = 0$

Vậy đường tiệm cận ngang là $y = 0$.

Kết luận:
Đồ thị hàm số $y=\frac{5x+1-\sqrt{x+1}}{x^2+2x}$ có 1 đường tiệm cận ngang là $y = 0$. Không có đường tiệm cận đứng.

Đáp án đúng là: D. 1.

Câu 9.
Để tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Hàm số có dạng phân thức, do đó ta cần tìm các giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0:
$$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$

Phương trình này có các nghiệm:
$$ x = 2 \quad \text{và} \quad x = 3 $$

Vậy ĐKXĐ của hàm số là $x \neq 2$ và $x \neq 3$.

Bước 2: Xét giới hạn của hàm số tại các điểm $x = 2$ và $x = 3$

Ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến 2 và 3.

- Khi $x \to 2$:
$$ y = \lim_{x \to 2} \frac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{(x-2)(x-3)} $$

Thay $x = 2$ vào tử số:
$$ 2(2) - 1 - \sqrt{2^2 + 2 + 3} = 4 - 1 - \sqrt{9} = 4 - 1 - 3 = 0 $$

Do đó, ta có dạng $\frac{0}{0}$, ta cần biến đổi để tính giới hạn:
$$ y = \lim_{x \to 2} \frac{(2x-1-\sqrt{x^2+x+3})(2x-1+\sqrt{x^2+x+3})}{(x-2)(x-3)(2x-1+\sqrt{x^2+x+3})} $$
$$ = \lim_{x \to 2} \frac{(2x-1)^2 - (x^2+x+3)}{(x-2)(x-3)(2x-1+\sqrt{x^2+x+3})} $$
$$ = \lim_{x \to 2} \frac{4x^2 - 4x + 1 - x^2 - x - 3}{(x-2)(x-3)(2x-1+\sqrt{x^2+x+3})} $$
$$ = \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 5x - 2}{(x-2)(x-3)(2x-1+\sqrt{x^2+x+3})} $$
$$ = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(3x+1)}{(x-2)(x-3)(2x-1+\sqrt{x^2+x+3})} $$
$$ = \lim_{x \to 2} \frac{3x+1}{(x-3)(2x-1+\sqrt{x^2+x+3})} $$

Khi $x \to 2$, ta có:
$$ \frac{3(2)+1}{(2-3)(2(2)-1+\sqrt{2^2+2+3})} = \frac{7}{(-1)(3+\sqrt{9})} = \frac{7}{(-1)(3+3)} = \frac{7}{-6} = -\frac{7}{6} $$

Vậy khi $x \to 2$, hàm số không tiến đến vô cực, nên $x = 2$ không là tiệm cận đứng.

- Khi $x \to 3$:
$$ y = \lim_{x \to 3} \frac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{(x-2)(x-3)} $$

Thay $x = 3$ vào tử số:
$$ 2(3) - 1 - \sqrt{3^2 + 3 + 3} = 6 - 1 - \sqrt{15} = 5 - \sqrt{15} $$

Do đó, ta có dạng $\frac{5 - \sqrt{15}}{0}$, tức là hàm số tiến đến vô cực khi $x \to 3$. Vậy $x = 3$ là tiệm cận đứng.

Kết luận:
Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}$ có tiệm cận đứng là $x = 3$.

Đáp án đúng là: $B.~x=3$.

Câu 10.
Để tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+25}-5}{x^2+x}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- ĐKXĐ của $\sqrt{x+25}$ là $x + 25 \geq 0$, suy ra $x \geq -25$.
- ĐKXĐ của mẫu số $x^2 + x$ là $x^2 + x \neq 0$, suy ra $x \neq 0$ và $x \neq -1$.

Do đó, ĐKXĐ của hàm số là $x \geq -25$ và $x \neq 0$, $x \neq -1$.

Bước 2: Tìm các điểm có thể là tiệm cận đứng
- Các điểm có thể là tiệm cận đứng là những điểm mà tại đó mẫu số bằng 0, tức là $x = 0$ và $x = -1$.

Bước 3: Kiểm tra giới hạn của hàm số tại các điểm có thể là tiệm cận đứng
- Tại $x = 0$: 
  $$
  \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+25}-5}{x^2+x}
  $$
  Ta thấy rằng khi $x \to 0$, mẫu số $x^2 + x \to 0$. Ta cần kiểm tra xem tử số có bằng 0 hay không:
  $$
  \sqrt{0+25} - 5 = 5 - 5 = 0
  $$
  Do đó, giới hạn này có dạng $\frac{0}{0}$, ta cần sử dụng phương pháp L'Hôpital hoặc biến đổi đại số để tính tiếp:
  $$
  \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+25}-5}{x^2+x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+25}-5)}{\frac{d}{dx}(x^2+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+25}}}{2x+1} = \frac{\frac{1}{10}}{1} = \frac{1}{10}
  $$
  Như vậy, giới hạn hữu hạn tại $x = 0$, do đó $x = 0$ không là tiệm cận đứng.

- Tại $x = -1$:
  $$
  \lim_{x \to -1} y = \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+25}-5}{x^2+x}
  $$
  Ta thấy rằng khi $x \to -1$, mẫu số $x^2 + x \to 0$. Ta cần kiểm tra xem tử số có bằng 0 hay không:
  $$
  \sqrt{-1+25} - 5 = \sqrt{24} - 5 \neq 0
  $$
  Do đó, giới hạn này có dạng $\frac{\text{hữu hạn}}{0}$, suy ra giới hạn vô cùng:
  $$
  \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+25}-5}{x^2+x} = \pm \infty
  $$
  Như vậy, $x = -1$ là tiệm cận đứng.

Kết luận: Đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+25}-5}{x^2+x}$ có 1 tiệm cận đứng là $x = -1$.

Đáp án đúng là: D. 1.

Câu 11.
Để tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+16}-4}{x^2+x}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số:
- $\sqrt{x+16}$ có nghĩa khi $x + 16 \geq 0$, tức là $x \geq -16$.
- $x^2 + x \neq 0$, tức là $x(x + 1) \neq 0$, suy ra $x \neq 0$ và $x \neq -1$.

Do đó, ĐKXĐ của hàm số là $x \geq -16$ và $x \neq 0$, $x \neq -1$.

Bước 2: Tìm các điểm có thể là tiệm cận đứng:
- Các điểm $x = 0$ và $x = -1$ là những điểm làm mẫu số bằng 0, do đó chúng có thể là tiệm cận đứng.

Bước 3: Kiểm tra giới hạn của hàm số tại các điểm này:
- Tại $x = 0$:
  $$
  \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+16}-4}{x^2+x}
  $$
  Thay $x = 0$ vào mẫu số:
  $$
  x^2 + x = 0^2 + 0 = 0
  $$
  Thay $x = 0$ vào tử số:
  $$
  \sqrt{0+16} - 4 = \sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0
  $$
  Do đó, ta có dạng $\frac{0}{0}$, cần sử dụng phương pháp nhân liên hợp để tính giới hạn:
  $$
  \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+16}-4}{x^2+x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+16}-4)(\sqrt{x+16}+4)}{(x^2+x)(\sqrt{x+16}+4)}
  $$
  $$
  = \lim_{x \to 0} \frac{x+16-16}{(x^2+x)(\sqrt{x+16}+4)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(x+1)(\sqrt{x+16}+4)}
  $$
  $$
  = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+16}+4)} = \frac{1}{(0+1)(\sqrt{0+16}+4)} = \frac{1}{1 \cdot 8} = \frac{1}{8}
  $$
  Kết luận: Giới hạn hữu hạn tại $x = 0$, nên $x = 0$ không là tiệm cận đứng.

- Tại $x = -1$:
  $$
  \lim_{x \to -1} y = \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+16}-4}{x^2+x}
  $$
  Thay $x = -1$ vào mẫu số:
  $$
  x^2 + x = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0
  $$
  Thay $x = -1$ vào tử số:
  $$
  \sqrt{-1+16} - 4 = \sqrt{15} - 4
  $$
  Do đó, ta có dạng $\frac{\sqrt{15} - 4}{0}$, suy ra giới hạn vô cùng:
  $$
  \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+16}-4}{x^2+x} = \pm \infty
  $$
  Kết luận: Giới hạn vô cùng tại $x = -1$, nên $x = -1$ là tiệm cận đứng.

Vậy số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1.

Đáp án đúng là: C. 1

Câu 12.
Để tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+x}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- ĐKXĐ của $\sqrt{x+4}$ là $x + 4 \geq 0$, suy ra $x \geq -4$.
- ĐKXĐ của mẫu số $x^2 + x$ là $x^2 + x \neq 0$, suy ra $x \neq 0$ và $x \neq -1$.

Vậy ĐKXĐ của hàm số là $x \geq -4$, $x \neq 0$, và $x \neq -1$.

Bước 2: Tìm các điểm có thể là tiệm cận đứng
Tiệm cận đứng của hàm số là các đường thẳng $x = a$ sao cho $\lim_{x \to a} y = \pm \infty$. Ta xét các điểm $x = 0$ và $x = -1$ vì chúng làm mẫu số bằng 0.

Bước 3: Kiểm tra giới hạn tại các điểm $x = 0$ và $x = -1$
- Tại $x = 0$: 
  $$
  \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+x}
  $$
  Thay $x = 0$ vào tử số:
  $$
  \sqrt{0+4} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0
  $$
  Thay $x = 0$ vào mẫu số:
  $$
  0^2 + 0 = 0
  $$
  Do đó, ta có dạng $\frac{0}{0}$, cần sử dụng phương pháp nhân liên hợp để đơn giản hóa:
  $$
  \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{(x^2+x)(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x+4-4}{(x^2+x)(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(x+1)(\sqrt{x+4}+2)}
  $$
  $$
  = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{(0+1)(\sqrt{0+4}+2)} = \frac{1}{1 \cdot (2+2)} = \frac{1}{4}
  $$
  Vậy $\lim_{x \to 0} y = \frac{1}{4}$, không phải tiệm cận đứng.

- Tại $x = -1$:
  $$
  \lim_{x \to -1} y = \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+x}
  $$
  Thay $x = -1$ vào tử số:
  $$
  \sqrt{-1+4} - 2 = \sqrt{3} - 2
  $$
  Thay $x = -1$ vào mẫu số:
  $$
  (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0
  $$
  Do đó, ta có dạng $\frac{\sqrt{3} - 2}{0}$, suy ra $\lim_{x \to -1} y = \pm \infty$ (tùy thuộc vào chiều tiếp cận).

Vậy $x = -1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Kết luận: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1.

Đáp án đúng là: C. 1.

Câu 13.
Để tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 - 1}}$, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Điều kiện để hàm số có nghĩa là:
$$ x^2 - 1 > 0 $$
$$ (x - 1)(x + 1) > 0 $$

Giải bất phương trình này, ta có:
$$ x < -1 \quad \text{hoặc} \quad x > 1 $$

Vậy ĐKXĐ của hàm số là:
$$ x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $$

Bước 2: Tìm tiệm cận đứng
Tiệm cận đứng là những đường thẳng thẳng đứng mà hàm số tiến đến vô cùng khi $ x $ tiến đến giá trị nào đó.

Ta xét giới hạn của hàm số khi $ x $ tiến đến các điểm giới hạn của miền xác định:
- Khi $ x \to -1^- $:
$$ f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 - 1}} \to \frac{-1 + 1}{\sqrt{(-1)^2 - 1}} = \frac{0}{0} $$
Nhưng vì $ x^2 - 1 \to 0^- $ (tức là âm), nên $ \sqrt{x^2 - 1} \to 0 $ từ phía âm, dẫn đến $ f(x) \to -\infty $.

- Khi $ x \to 1^+ $:
$$ f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 - 1}} \to \frac{1 + 1}{\sqrt{1^2 - 1}} = \frac{2}{0} $$
Nhưng vì $ x^2 - 1 \to 0^+ $ (tức là dương), nên $ \sqrt{x^2 - 1} \to 0 $ từ phía dương, dẫn đến $ f(x) \to +\infty $.

Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng là $ x = -1 $ và $ x = 1 $.

Bước 3: Tìm tiệm cận ngang
Tiệm cận ngang là những đường thẳng ngang mà hàm số tiến đến khi $ x $ tiến đến vô cực.

Ta xét giới hạn của hàm số khi $ x \to \pm \infty $:
$$ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 - 1}} $$

Chia cả tử và mẫu cho $ x $:
$$ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 - 1}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} $$

Khi $ x \to \pm \infty $, ta có:
$$ \frac{1}{x} \to 0 \quad \text{và} \quad \frac{1}{x^2} \to 0 $$

Do đó:
$$ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \frac{1 + 0}{\sqrt{1 - 0}} = 1 $$

Vậy hàm số có một tiệm cận ngang là $ y = 1 $.

Kết luận
Hàm số $ f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 - 1}} $ có tất cả 3 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Đáp án đúng là: B. 3.