qtqtqyquauaiai

Câu 14. Để tìm tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x(4x+6)}-2}{x+2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện xác định của hàm số là: \[ x(4x + 6) \geq 0 \quad \text{và} \quad x + 2 \neq 0 \] Giải bất phương trình \( x(4x + 6) \geq 0 \): \[ x(4x + 6) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{3}{2} \] Phương trình \( x + 2 \neq 0 \) cho ta: \[ x \neq -2 \] Vậy điều kiện xác định của hàm số là: \[ x \leq -\frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad x \geq 0 \quad \text{và} \quad x \neq -2 \] Bước 2: Tìm tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Trong trường hợp này, mẫu số \( x + 2 \) bằng 0 khi \( x = -2 \). Tuy nhiên, \( x = -2 \) không thuộc miền xác định của hàm số, do đó không có tiệm cận đứng. Bước 3: Tìm tiệm cận ngang Tiệm cận ngang xảy ra khi \( y \) có giới hạn hữu hạn khi \( x \to \pm \infty \). Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x(4x+6)}-2}{x+2} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + \frac{6}{x}} - \frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = \frac{\sqrt{4 + 0} - 0}{1 + 0} = \frac{2}{1} = 2 \] Vậy tiệm cận ngang là \( y = 2 \). Kết luận: - Số tiệm cận đứng: 0 - Số tiệm cận ngang: 1 Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là: \[ 0 + 1 = 1 \] Đáp án đúng là: A. 1 Câu 15. Để tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số, chúng ta cần xác định các đường tiệm cận đứng và ngang của hàm số đó. Giả sử hàm số đã cho là \( f(x) \). Bước 1: Tìm các đường tiệm cận đứng Đường tiệm cận đứng là các đường thẳng \( x = a \) sao cho \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) hoặc \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \). Bước 2: Tìm các đường tiệm cận ngang Đường tiệm cận ngang là các đường thẳng \( y = b \) sao cho \( \lim_{x \to \infty} f(x) = b \) hoặc \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = b \). Bước 3: Tính toán cụ thể Chúng ta cần biết hàm số cụ thể để thực hiện các bước trên. Giả sử hàm số đã cho là \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \). - Tìm đường tiệm cận đứng: \( \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = +\infty \) \( \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = -\infty \) Vậy đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \). - Tìm đường tiệm cận ngang: \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}{x(1 - \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x^2})}{1 - \frac{1}{x}} = \infty \) \( \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}{x(1 - \frac{1}{x})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x^2})}{1 - \frac{1}{x}} = -\infty \) Vậy không có đường tiệm cận ngang. Kết luận: Hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \) có 1 đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \) và không có đường tiệm cận ngang. Do đó, số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 1. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 16. Để tìm các đường tiệm cận của hàm số $y=\frac{x+\sqrt{x^2+x+1}}{x^3+x}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đường tiệm cận đứng Đường tiệm cận đứng là các giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0 nhưng tử số khác 0. Mẫu số của hàm số là $x^3 + x = x(x^2 + 1)$. $x(x^2 + 1) = 0$ suy ra $x = 0$ hoặc $x^2 + 1 = 0$. Tuy nhiên, $x^2 + 1 = 0$ không có nghiệm thực vì $x^2 \geq 0$ với mọi $x$, do đó $x^2 + 1 > 0$. Vậy, chỉ có $x = 0$ là giá trị làm mẫu số bằng 0. Ta kiểm tra tử số tại $x = 0$: Tử số là $x + \sqrt{x^2 + x + 1} = 0 + \sqrt{0^2 + 0 + 1} = 1 \neq 0$. Do đó, hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 0$. Bước 2: Tìm đường tiệm cận ngang Đường tiệm cận ngang là giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng. Ta tính $\lim_{x \to \pm\infty} y$: \[ y = \frac{x + \sqrt{x^2 + x + 1}}{x^3 + x} \] Chia cả tử số và mẫu số cho $x^3$: \[ y = \frac{\frac{x}{x^3} + \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} + \frac{x}{x^3}} = \frac{\frac{1}{x^2} + \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2}} \] Khi $x \to \pm\infty$, ta có: \[ \frac{1}{x^2} \to 0, \quad \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x^3} = \frac{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}}{x^3} = \frac{|x|\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{x^3} = \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{x^2} \to 0 \] Vậy: \[ \lim_{x \to \pm\infty} y = \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0 \] Do đó, hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = 0$. Kết luận: Hàm số $y=\frac{x+\sqrt{x^2+x+1}}{x^3+x}$ có 2 đường tiệm cận: 1 đường tiệm cận đứng là $x = 0$ và 1 đường tiệm cận ngang là $y = 0$. Đáp án đúng là: C. 2 Câu 17. Để tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x-2}+1}{x^2-3x+2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số $y=\frac{\sqrt{x-2}+1}{x^2-3x+2}$ có nghĩa là: - $\sqrt{x-2}$ có nghĩa khi $x - 2 \geq 0$, suy ra $x \geq 2$. - $x^2 - 3x + 2 \neq 0$. Ta giải phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$: \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0 \] Suy ra $x = 1$ hoặc $x = 2$. Vì $x \geq 2$, nên chỉ loại $x = 2$. Do đó, ĐKXĐ của hàm số là $x > 2$. Bước 2: Tìm tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0 tại điểm đó. Từ trên, ta thấy $x^2 - 3x + 2 = 0$ tại $x = 1$ và $x = 2$. Tuy nhiên, do $x > 2$, chỉ có $x = 2$ nằm trong miền xác định. Ta kiểm tra giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến 2 từ bên phải: \[ \lim_{x \to 2^+} y = \lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x-2}+1}{(x-1)(x-2)} \] Khi $x \to 2^+$, $\sqrt{x-2} \to 0$ và $(x-1)(x-2) \to 0$. Do đó, ta có dạng bất định $\frac{0}{0}$. Áp dụng quy tắc L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x-2}+1}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x-2}}}{2x-3} = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{2\sqrt{x-2}(2x-3)} \] Khi $x \to 2^+$, $\sqrt{x-2} \to 0$ và $2x-3 \to 1$, suy ra: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{2\sqrt{x-2}(2x-3)} = +\infty \] Vậy hàm số có tiệm cận đứng là $x = 2$. Bước 3: Tìm tiệm cận ngang Tiệm cận ngang xảy ra khi giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$ tồn tại hữu hạn. Ta tính: \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x-2}+1}{x^2-3x+2} \] Chia cả tử và mẫu cho $x^2$: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x-2}}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x-2}}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = \frac{0 + 0}{1 - 0 + 0} = 0 \] Vậy hàm số có tiệm cận ngang là $y = 0$. Kết luận: - Số đường tiệm cận đứng: 1 (tại $x = 2$) - Số đường tiệm cận ngang: 1 (tại $y = 0$) Tổng cộng có 2 đường tiệm cận. Đáp án đúng là: D. 2. Câu 18. Để xác định các tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{5\sqrt{x^2 + 6} + x - 12}{4x^3 - 3x - 1} \), chúng ta sẽ kiểm tra các trường hợp sau: 1. Tiệm cận đứng: Các giá trị \( x \) làm mẫu số bằng 0. 2. Tiệm cận ngang: Giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). Bước 1: Tìm các giá trị \( x \) làm mẫu số bằng 0 Mẫu số của hàm số là \( 4x^3 - 3x - 1 \). Ta cần giải phương trình: \[ 4x^3 - 3x - 1 = 0 \] Ta thử nghiệm các giá trị \( x \): - \( x = 1 \): \[ 4(1)^3 - 3(1) - 1 = 4 - 3 - 1 = 0 \] Vậy \( x = 1 \) là nghiệm của phương trình. Sử dụng phép chia đa thức để phân tích \( 4x^3 - 3x - 1 \): \[ 4x^3 - 3x - 1 = (x - 1)(4x^2 + 4x + 1) \] \[ 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 \] Do đó: \[ 4x^3 - 3x - 1 = (x - 1)(2x + 1)^2 \] Vậy các giá trị \( x \) làm mẫu số bằng 0 là \( x = 1 \) và \( x = -\frac{1}{2} \). Bước 2: Kiểm tra giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \) Ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ y = \frac{5\sqrt{x^2 + 6} + x - 12}{4x^3 - 3x - 1} \] Khi \( x \to \pm \infty \), ta có: \[ \sqrt{x^2 + 6} \approx |x| \] \[ 4x^3 - 3x - 1 \approx 4x^3 \] Do đó: \[ y \approx \frac{5|x| + x - 12}{4x^3} \] - Nếu \( x \to +\infty \): \[ y \approx \frac{5x + x - 12}{4x^3} = \frac{6x - 12}{4x^3} \approx \frac{6x}{4x^3} = \frac{6}{4x^2} \to 0 \] - Nếu \( x \to -\infty \): \[ y \approx \frac{-5x + x - 12}{4x^3} = \frac{-4x - 12}{4x^3} \approx \frac{-4x}{4x^3} = \frac{-4}{4x^2} \to 0 \] Vậy, hàm số có tiệm cận ngang \( y = 0 \). Kết luận Hàm số \( y = \frac{5\sqrt{x^2 + 6} + x - 12}{4x^3 - 3x - 1} \) có một tiệm cận ngang \( y = 0 \) và hai tiệm cận đứng \( x = 1 \) và \( x = -\frac{1}{2} \). Đáp án đúng là: C. Đồ thị (C) của hàm số có một tiệm cận ngang \( y = 0 \) và hai tiệm cận đứng \( x = 1 \) và \( x = -\frac{1}{2} \). Câu 19. Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+\sqrt{x^2-x}}{3x+1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0 tại điểm đó. \[ 3x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{3} \] Ta kiểm tra xem tại $x = -\frac{1}{3}$, tử số có bằng 0 hay không: \[ 2x + \sqrt{x^2 - x} = 2\left(-\frac{1}{3}\right) + \sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = -\frac{2}{3} + \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{3}} = -\frac{2}{3} + \sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0 \] Vì tử số cũng bằng 0 tại $x = -\frac{1}{3}$, nên ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến $-\frac{1}{3}$ từ hai phía: \[ \lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} y = \lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} \frac{2x + \sqrt{x^2 - x}}{3x + 1} = \frac{0}{0} \quad (\text{không xác định}) \] \[ \lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} y = \lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} \frac{2x + \sqrt{x^2 - x}}{3x + 1} = \frac{0}{0} \quad (\text{không xác định}) \] Do đó, không có đường tiệm cận đứng tại $x = -\frac{1}{3}$. 2. Tìm đường tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang xuất hiện khi giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng là một hằng số. \[ \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + \sqrt{x^2 - x}}{3x + 1} \] Chia cả tử số và mẫu số cho $x$: \[ \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}{3 + \frac{1}{x}} \] Khi $x \to \pm\infty$, $\frac{1}{x} \to 0$: \[ \lim_{x \to \pm\infty} y = \frac{2 + \sqrt{1 - 0}}{3 + 0} = \frac{2 + 1}{3} = 1 \] Vậy đường tiệm cận ngang là $y = 1$. 3. Tổng kết: Đồ thị hàm số $y=\frac{2x+\sqrt{x^2-x}}{3x+1}$ có 1 đường tiệm cận ngang là $y = 1$. Không có đường tiệm cận đứng. Do đó, đáp án đúng là: D. 1 Đáp số: D. 1 Câu 20. Để tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{1-\sqrt{4-x^2}}{x^2-2x-3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số có dạng phân thức và căn thức, do đó ta cần tìm ĐKXĐ: - Điều kiện của căn thức: $4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$ - Điều kiện của mẫu số: $x^2 - 2x - 3 \neq 0$ Phân tích mẫu số: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \] Do đó, ĐKXĐ là: \[ -2 \leq x \leq 2 \quad \text{và} \quad x \neq 3, x \neq -1 \] Tuy nhiên, vì $x = 3$ nằm ngoài khoảng $[-2, 2]$, nên ta chỉ cần loại $x = -1$. Bước 2: Tìm đường tiệm cận đứng Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0 tại điểm đó. Ta đã biết mẫu số bằng 0 tại $x = -1$ và $x = 3$. Tuy nhiên, $x = 3$ nằm ngoài khoảng $[-2, 2]$, nên ta chỉ xét $x = -1$. Tử số tại $x = -1$: \[ 1 - \sqrt{4 - (-1)^2} = 1 - \sqrt{3} \neq 0 \] Vậy, hàm số có đường tiệm cận đứng tại $x = -1$. Bước 3: Tìm đường tiệm cận ngang Đường tiệm cận ngang xuất hiện khi $\lim_{x \to \pm\infty} y = L$, trong đó $L$ là hằng số hữu hạn. Ta tính giới hạn của hàm số khi $x \to \pm\infty$: \[ y = \frac{1 - \sqrt{4 - x^2}}{x^2 - 2x - 3} \] Khi $x \to \pm\infty$, $x^2$ tăng nhanh hơn các hạng tử khác, do đó: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \sqrt{4 - x^2}}{x^2 - 2x - 3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \sqrt{4 - x^2}}{x^2(1 - \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2})} \] Khi $x \to \pm\infty$, các phân số $\frac{2}{x}$ và $\frac{3}{x^2}$ tiến đến 0, nên: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \sqrt{4 - x^2}}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \sqrt{4 - x^2}}{x^2} = 0 \] Vậy, hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = 0$. Kết luận: - Số đường tiệm cận đứng là $m = 1$ (tại $x = -1$) - Số đường tiệm cận ngang là $n = 1$ (tại $y = 0$) Do đó, giá trị của $m + n$ là: \[ m + n = 1 + 1 = 2 \] Đáp án đúng là: C. 3 Câu 21. Để tìm số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{1-x}}{x-1\sqrt x}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với căn thức $\sqrt{1-x}$, ta có $1-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$. - Đối với mẫu số $x-1\sqrt{x}$, ta có $x-1\sqrt{x} \neq 0$. Ta xét: \[ x - 1\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 1\sqrt{x} \] Điều này chỉ xảy ra khi $x = 0$ hoặc $x = 1$. Do đó, $x \neq 0$ và $x \neq 1$. Kết hợp các điều kiện trên, ta có ĐKXĐ là $x < 1$ và $x \neq 0$. 2. Tìm đường tiệm cận đứng: - Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. - Từ ĐKXĐ, ta thấy $x = 0$ và $x = 1$ là các điểm làm mẫu số bằng 0. - Kiểm tra tại $x = 0$: \[ y = \frac{\sqrt{1-0}}{0-1\sqrt{0}} = \frac{1}{0} \text{ (không xác định)} \] Do đó, $x = 0$ là đường tiệm cận đứng. - Kiểm tra tại $x = 1$: \[ y = \frac{\sqrt{1-1}}{1-1\sqrt{1}} = \frac{0}{0} \text{ (không xác định)} \] Do đó, $x = 1$ cũng là đường tiệm cận đứng. Vậy, đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = 0$ và $x = 1$. 3. Tìm đường tiệm cận ngang: - Đường tiệm cận ngang xuất hiện khi $\lim_{x \to \pm \infty} y = L$, trong đó $L$ là hằng số hữu hạn. - Ta xét giới hạn khi $x \to -\infty$: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{1-x}}{x-1\sqrt{x}} \] Khi $x \to -\infty$, $\sqrt{1-x}$ không xác định vì $1-x$ sẽ âm. Do đó, không có đường tiệm cận ngang. Vậy, đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{1-x}}{x-1\sqrt x}$ có 2 đường tiệm cận đứng và không có đường tiệm cận ngang. Đáp án đúng là: \[ D.~n=0,~d=2. \] Câu 22. Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{5x+1-\sqrt{x+1}}{x^2-2x}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các đường tiệm cận đứng: - Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0 tại điểm đó. - Ta giải phương trình $x^2 - 2x = 0$: \[ x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] - Kiểm tra xem tại các điểm này, tử số có bằng 0 hay không: - Khi $x = 0$: $5(0) + 1 - \sqrt{0 + 1} = 1 - 1 = 0$. Vậy $x = 0$ không là đường tiệm cận đứng. - Khi $x = 2$: $5(2) + 1 - \sqrt{2 + 1} = 10 + 1 - \sqrt{3} \neq 0$. Vậy $x = 2$ là đường tiệm cận đứng. 2. Tìm các đường tiệm cận ngang: - Đường tiệm cận ngang xuất hiện khi $\lim_{x \to \pm\infty} y = L$, trong đó $L$ là hằng số hữu hạn. - Ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5x + 1 - \sqrt{x + 1}}{x^2 - 2x} \] - Chia cả tử và mẫu cho $x^2$: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5x}{x^2} + \frac{1}{x^2} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x^2}}{1 - \frac{2}{x}} \] - Khi $x \to \pm\infty$, các phân số $\frac{5}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{\sqrt{x + 1}}{x^2}$ và $\frac{2}{x}$ đều tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{0 + 0 - 0}{1 - 0} = 0 \] - Vậy đường tiệm cận ngang là $y = 0$. 3. Kết luận: - Đồ thị hàm số $y=\frac{5x+1-\sqrt{x+1}}{x^2-2x}$ có 1 đường tiệm cận đứng là $x = 2$ và 1 đường tiệm cận ngang là $y = 0$. Vậy đáp án đúng là: C. 2. Câu 23. Để tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện xác định của hàm số là: \[ 3x + 1 > 0 \] \[ x > -\frac{1}{3} \] Bước 2: Tìm đường tiệm cận đứng Đường tiệm cận đứng là những đường thẳng dạng \( x = a \) sao cho \( \lim_{x \to a} y = \pm \infty \). Ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến các điểm có thể tạo ra tiệm cận đứng. Trong trường hợp này, ta xét giới hạn khi \( x \) tiến đến \( -\frac{1}{3} \): \[ \lim_{x \to -\frac{1}{3}} \left( \frac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5} \right) \] Khi \( x \to -\frac{1}{3} \), ta thấy rằng mẫu số \( 4\sqrt{3x+1} - 3x - 5 \) tiến đến 0, trong khi tử số \( x - 1 \) tiến đến \( -\frac{4}{3} \). Do đó, giới hạn này sẽ là vô cùng, tức là: \[ \lim_{x \to -\frac{1}{3}} \left( \frac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5} \right) = \pm \infty \] Vậy đường tiệm cận đứng là \( x = -\frac{1}{3} \). Bước 3: Tìm đường tiệm cận ngang Đường tiệm cận ngang là những đường thẳng dạng \( y = b \) sao cho \( \lim_{x \to \pm \infty} y = b \). Ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5} \right) \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{4\sqrt{3x+1}}{x} - \frac{3x}{x} - \frac{5}{x}} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{4\sqrt{3x+1}}{x} - 3 - \frac{5}{x}} \right) \] \[ = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{4\sqrt{3x+1}}{x} - 3 - \frac{5}{x}} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{4\sqrt{3x+1}}{x} - 3 - \frac{5}{x}} \right) \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 24. Để tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x+3}{\sqrt{x^4-3x^2+2}}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện để hàm số có nghĩa là mẫu số phải khác 0 và nằm trong tập xác định của căn bậc hai: \[ x^4 - 3x^2 + 2 > 0 \] Ta giải bất phương trình này: \[ x^4 - 3x^2 + 2 = (x^2 - 1)(x^2 - 2) > 0 \] \[ (x^2 - 1)(x^2 - 2) > 0 \] Phân tích các trường hợp: - \( x^2 - 1 > 0 \) và \( x^2 - 2 > 0 \) - \( x^2 - 1 < 0 \) và \( x^2 - 2 < 0 \) Từ đó suy ra: - \( x^2 > 1 \) và \( x^2 > 2 \) suy ra \( x^2 > 2 \) suy ra \( x < -\sqrt{2} \) hoặc \( x > \sqrt{2} \) - \( x^2 < 1 \) và \( x^2 < 2 \) suy ra \( x^2 < 1 \) suy ra \( -1 < x < 1 \) Vậy ĐKXĐ của hàm số là: \[ x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (-1, 1) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \] Bước 2: Tìm các đường tiệm cận đứng Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số tiến đến 0 nhưng tử số không tiến đến 0. Ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến các điểm làm mẫu số bằng 0: \[ x^4 - 3x^2 + 2 = 0 \Rightarrow (x^2 - 1)(x^2 - 2) = 0 \] \[ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] \[ x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \] Ta kiểm tra giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến các giá trị này: - Khi \( x \to 1 \): \[ y = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 + 3}{\sqrt{1^4 - 3 \cdot 1^2 + 2}} = \frac{6}{0^+} \to +\infty \] - Khi \( x \to -1 \): \[ y = \frac{(-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 3}{\sqrt{(-1)^4 - 3 \cdot (-1)^2 + 2}} = \frac{2}{0^+} \to +\infty \] - Khi \( x \to \sqrt{2} \): \[ y = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} + 3}{\sqrt{(\sqrt{2})^4 - 3 \cdot (\sqrt{2})^2 + 2}} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 3}{0^+} \to +\infty \] - Khi \( x \to -\sqrt{2} \): \[ y = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2 \cdot (-\sqrt{2}) + 3}{\sqrt{(-\sqrt{2})^4 - 3 \cdot (-\sqrt{2})^2 + 2}} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 3}{0^+} \to +\infty \] Vậy hàm số có 4 đường tiệm cận đứng tại \( x = -\sqrt{2}, -1, 1, \sqrt{2} \). Bước 3: Tìm các đường tiệm cận ngang Đường tiệm cận ngang xuất hiện khi \( x \to \pm \infty \). Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ y = \frac{x^2 + 2x + 3}{\sqrt{x^4 - 3x^2 + 2}} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x^2 \): \[ y = \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^4}}} \] Khi \( x \to \pm \infty \): \[ y \to \frac{1 + 0 + 0}{\sqrt{1 - 0 + 0}} = 1 \] Vậy hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \). Kết luận: Hàm số có tổng cộng 5 đường tiệm cận (4 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang). Đáp án đúng là: B. 5.