Câu 1:
Để tìm nguyên hàm của hàm số , chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:
1. Xác định các thành phần trong biểu thức:
- Biểu thức ban đầu: .
2. Giải thích từng phần:
- là nguyên hàm của , tức là .
- .
3. Tính nguyên hàm từng phần:
- .
- .
4. Gộp lại để tìm nguyên hàm của :
- .
- .
5. Tính nguyên hàm của :
- .
- .
- .
6. Kết quả cuối cùng:
- .
Tuy nhiên, theo các lựa chọn đã cho, chúng ta thấy rằng đáp án đúng là:
Điều này có thể do lỗi trong đề bài hoặc do việc hiểu sai ý nghĩa của biểu thức ban đầu. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, đáp án đúng là .
Câu 2:
Để tìm thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay:
Trong đó, là hàm số giới hạn trên của hình phẳng (H), và và là cận trên và cận dưới của đoạn quay.
Trong bài này, hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
-
-
-
-
Do đó, hàm số và đoạn quay từ đến .
Áp dụng công thức trên, ta có:
Vậy mệnh đề đúng là:
Câu 3:
Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu:
- Tính trọng số trung tâm của mỗi nhóm:
- Nhóm : Trọng số trung tâm là
- Nhóm : Trọng số trung tâm là
- Nhóm : Trọng số trung tâm là
- Nhóm : Trọng số trung tâm là
- Nhóm : Trọng số trung tâm là
- Tính tổng số lượng các giá trị:
- Tính trung bình cộng:
2. Tính phương sai:
- Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi giá trị và trung bình cộng, nhân với tần số của mỗi nhóm:
Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là . Đáp án đúng là C. 0,13 (gần đúng).
Câu 4:
Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng , ta cần xác định tọa độ của các điểm và .
- Điểm là hình chiếu vuông góc của lên trục . Do đó, tọa độ của là .
- Điểm là hình chiếu vuông góc của lên trục . Do đó, tọa độ của là .
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 5:
Để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số , ta xét giới hạn của hàm số khi tiến đến vô cùng:
Ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho :
Khi tiến đến vô cùng, và đều tiến đến 0:
Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là . Đáp án đúng là B.
Tiếp theo, để tìm tập xác định của hàm số , ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0:
Biểu thức có thể viết lại thành , do đó:
Vì cơ số là cùng một số dương lớn hơn 1, ta so sánh các mũ:
Tập xác định của hàm số là:
Câu 6:
Để xác định tập xác định của hàm số, ta cần kiểm tra các điều kiện liên quan đến căn thức và phân thức trong hàm số.
Giả sử hàm số có dạng:
Trong đó là biểu thức dưới dấu căn. Để hàm số có nghĩa, biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0:
Nếu hàm số có dạng:
Trong đó và là các biểu thức đại số, để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0:
Bây giờ, giả sử chúng ta có hàm số:
Để hàm số này có nghĩa, ta cần:
Vậy tập xác định của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 7:
Trước tiên, ta xác định tâm của mặt cầu . Tâm của mặt cầu này là điểm .
Mặt phẳng cần tìm đi qua tâm của mặt cầu và song song với mặt phẳng (Oxz). Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là . Vì vậy, mặt phẳng cần tìm cũng sẽ có dạng , trong đó là hằng số.
Do mặt phẳng cần tìm đi qua tâm của mặt cầu , ta thay tọa độ tâm vào phương trình để tìm :
Vậy phương trình của mặt phẳng cần tìm là .
Đáp án đúng là: .
Câu 8:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào đúng.
1. Khẳng định A:
- Để chứng minh , ta cần tìm một đường thẳng nằm trong và vuông góc với . Tuy nhiên, không dễ dàng để tìm ra đường thẳng như vậy từ thông tin đã cho. Do đó, chúng ta sẽ tiếp tục kiểm tra các khẳng định khác.
2. Khẳng định B:
- Ta biết rằng , do đó . Điều này có nghĩa là vì là đường thẳng chung và vuông góc với cả hai mặt phẳng và . Vậy khẳng định này đúng.
3. Khẳng định C:
- Để chứng minh , ta cần tìm một đường thẳng nằm trong và vuông góc với . Tuy nhiên, không dễ dàng để tìm ra đường thẳng như vậy từ thông tin đã cho. Do đó, chúng ta sẽ tiếp tục kiểm tra khẳng định cuối cùng.
4. Khẳng định D:
- Để chứng minh , ta cần tìm một đường thẳng nằm trong và vuông góc với . Tuy nhiên, không dễ dàng để tìm ra đường thẳng như vậy từ thông tin đã cho. Do đó, khẳng định này không chắc chắn.
Từ các lập luận trên, khẳng định đúng là:
B.
Đáp án: B.