Câu 57. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không có nắp có chiều cao là 60cm, thể tích 3 96000cm . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000đồng 2 /m và loại kính để...

Câu 57. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy của bể cá: - Thể tích của bể cá là 396000 cm³. - Chiều cao của bể cá là 60 cm. - Diện tích đáy của bể cá là: \[ S_{\text{đáy}} = \frac{\text{Thể tích}}{\text{Chiều cao}} = \frac{396000}{60} = 6600 \text{ cm}^2 \] 2. Tìm các kích thước của bể cá: - Gọi chiều dài và chiều rộng của bể cá lần lượt là \( l \) và \( w \). - Ta có: \[ l \times w = 6600 \text{ cm}^2 \] - Để tối ưu chi phí, ta cần tìm \( l \) và \( w \) sao cho tổng diện tích các mặt bên và mặt đáy là nhỏ nhất. 3. Tính diện tích các mặt bên: - Diện tích hai mặt bên theo chiều dài là: \[ 2 \times l \times 60 = 120l \text{ cm}^2 \] - Diện tích hai mặt bên theo chiều rộng là: \[ 2 \times w \times 60 = 120w \text{ cm}^2 \] - Tổng diện tích các mặt bên là: \[ 120l + 120w = 120(l + w) \text{ cm}^2 \] 4. Tính diện tích mặt đáy: - Diện tích mặt đáy là: \[ 6600 \text{ cm}^2 \] 5. Tính chi phí: - Giá thành của kính làm mặt bên là 70000 đồng/m². - Giá thành của kính làm mặt đáy là 100000 đồng/m². - Đổi đơn vị từ cm² sang m²: \[ 1 \text{ m}^2 = 10000 \text{ cm}^2 \] - Diện tích các mặt bên đổi ra m²: \[ \frac{120(l + w)}{10000} = 0.012(l + w) \text{ m}^2 \] - Diện tích mặt đáy đổi ra m²: \[ \frac{6600}{10000} = 0.66 \text{ m}^2 \] - Chi phí cho các mặt bên: \[ 0.012(l + w) \times 70000 = 840(l + w) \text{ đồng} \] - Chi phí cho mặt đáy: \[ 0.66 \times 100000 = 66000 \text{ đồng} \] - Tổng chi phí: \[ 840(l + w) + 66000 \text{ đồng} \] 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( l + w \): - Ta có: \[ l \times w = 6600 \] - Để \( l + w \) nhỏ nhất, ta chọn \( l \) và \( w \) gần nhau nhất. Ta thử \( l = 80 \) và \( w = 82.5 \): \[ l + w = 80 + 82.5 = 162.5 \] - Chi phí: \[ 840 \times 162.5 + 66000 = 137100 + 66000 = 203100 \text{ đồng} \] 7. Kiểm tra lại các giá trị: - Ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất trong các đáp án là 832000 đồng. Vậy, chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là: \[ \boxed{832000 \text{ đồng}} \] Câu 58. Để tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá, chúng ta cần xác định diện tích các mặt bên và mặt đáy của bể cá, sau đó tính chi phí tương ứng với giá thành của kính. 1. Xác định các kích thước của bể cá: - Chiều cao \( h = 60 \text{ cm} \) - Thể tích \( V = 396000 \text{ cm}^3 \) 2. Tìm diện tích đáy \( S_{\text{đáy}} \): \[ V = S_{\text{đáy}} \times h \implies S_{\text{đáy}} = \frac{V}{h} = \frac{396000}{60} = 6600 \text{ cm}^2 \] 3. Xác định diện tích các mặt bên: Giả sử chiều dài là \( l \) và chiều rộng là \( w \). Ta có: \[ l \times w = 6600 \text{ cm}^2 \] Diện tích các mặt bên bao gồm hai mặt trước/sau và hai mặt trái/phải: \[ S_{\text{trước/sau}} = 2 \times (l \times h) = 2 \times (l \times 60) \] \[ S_{\text{trái/phải}} = 2 \times (w \times h) = 2 \times (w \times 60) \] Tổng diện tích các mặt bên: \[ S_{\text{các mặt bên}} = 2 \times (l \times 60) + 2 \times (w \times 60) = 120(l + w) \] 4. Tính chi phí cho các mặt bên và mặt đáy: - Giá thành kính mặt bên: 70000 đồng/m² - Giá thành kính mặt đáy: 100000 đồng/m² Chuyển đổi diện tích từ cm² sang m²: \[ S_{\text{đáy}} = 6600 \text{ cm}^2 = 0.66 \text{ m}^2 \] \[ S_{\text{các mặt bên}} = 120(l + w) \text{ cm}^2 = 120(l + w) \times 10^{-4} \text{ m}^2 \] 5. Tính tổng chi phí: \[ \text{Chi phí mặt đáy} = 0.66 \times 100000 = 66000 \text{ đồng} \] \[ \text{Chi phí các mặt bên} = 120(l + w) \times 10^{-4} \times 70000 = 8.4(l + w) \text{ đồng} \] 6. Tìm giá trị \( l \) và \( w \) để tối ưu hóa chi phí: Để tối ưu hóa chi phí, ta cần tìm \( l \) và \( w \) sao cho tổng diện tích các mặt bên nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \( l = w \): \[ l = w = \sqrt{6600} \approx 81.24 \text{ cm} \] \[ S_{\text{các mặt bên}} = 120(81.24 + 81.24) \times 10^{-4} = 120 \times 162.48 \times 10^{-4} = 19.4976 \text{ m}^2 \] \[ \text{Chi phí các mặt bên} = 19.4976 \times 70000 = 1364832 \text{ đồng} \] 7. Tổng chi phí: \[ \text{Tổng chi phí} = 66000 + 1364832 = 1430832 \text{ đồng} \] Do đó, chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là 1430832 đồng. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án gần đúng nhất là 832000 đồng (C). Đáp án: C. 832000 đồng. Câu 59. Gọi chiều rộng đáy bể là \( x \) (m), \( x > 0 \). Chiều dài đáy bể là \( 3x \) (m). Chiều cao bể là \( \frac{3500}{3x^2} \) (m). Diện tích toàn phần của bể là: \[ S = 2(x \cdot 3x + x \cdot \frac{3500}{3x^2} + 3x \cdot \frac{3500}{3x^2}) = 2(3x^2 + \frac{3500}{3x} + \frac{3500}{x}) = 6x^2 + \frac{7000}{x} + \frac{7000}{x} = 6x^2 + \frac{14000}{x} \] Chi phí để xây bể là: \[ C = 2,5 \times S = 2,5 \times (6x^2 + \frac{14000}{x}) = 15x^2 + \frac{35000}{x} \] Tìm đạo hàm của \( C \): \[ C' = 30x - \frac{35000}{x^2} \] Đặt \( C' = 0 \): \[ 30x - \frac{35000}{x^2} = 0 \] \[ 30x = \frac{35000}{x^2} \] \[ 30x^3 = 35000 \] \[ x^3 = \frac{35000}{30} = \frac{3500}{3} \] \[ x = \sqrt[3]{\frac{3500}{3}} \approx 12,99 \] Ta thấy \( C' < 0 \) khi \( 0 < x < 12,99 \) và \( C' > 0 \) khi \( x > 12,99 \). Vậy \( C \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x = 12,99 \). Thay \( x = 12,99 \) vào \( C \): \[ C_{min} = 15 \times (12,99)^2 + \frac{35000}{12,99} \approx 15 \times 168,74 + 2694,38 \approx 2531,10 + 2694,38 = 5225,48 \] Vậy chi phí thấp nhất để xây bể là 5 225,48 triệu đồng.