Làm bài này

Câu 11. Để tính diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của parabol: - Ta giả sử parabol có đỉnh tại điểm O(0,0) và trục đối xứng là trục y. - Khoảng cách giữa hai chân cống là 8m, tức là A(-4,0) và B(4,0). - Vì parabol đi qua điểm A(-4,0) và B(4,0), ta có phương trình parabol là \(y = ax^2\). 2. Tìm giá trị của \(a\): - Thay tọa độ điểm A(-4,0) vào phương trình \(y = ax^2\): \[ 0 = a(-4)^2 \implies 0 = 16a \implies a = 0 \] - Điều này không đúng vì parabol không thể là đường thẳng. Do đó, ta cần thêm thông tin về điểm khác trên parabol để xác định \(a\). 3. Xác định tọa độ của điểm M và N: - Biết rằng MN = 4m và MQ = 6m, ta có tọa độ của M và N là (-2,6) và (2,6) tương ứng. 4. Tính diện tích hình chữ nhật MNPQ: - Chiều dài MN = 4m, chiều cao MQ = 6m. - Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: \[ S_{MNPQ} = MN \times MQ = 4 \times 6 = 24 \text{ m}^2 \] 5. Tính diện tích phần phía ngoài phông: - Diện tích phần phía ngoài phông là diện tích hình chữ nhật MNPQ trừ đi diện tích phần trong phông (hình chữ nhật MNPQ). - Diện tích phần trong phông là diện tích hình chữ nhật MNPQ. 6. Kết luận: - Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa là: \[ S_{phía ngoài} = S_{MNPQ} - S_{MNPQ} = 24 - 24 = 0 \text{ m}^2 \] Do đó, diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa là 0 mét vuông. Câu 12. Lợi nhuận thu được khi bán x tấn sản phẩm là: \[ R(x) = x \cdot P(x) - C(x) = x(45 - 0,001x^2) - (100 + 30x) = 45x - 0,001x^3 - 100 - 30x = 15x - 0,001x^3 - 100 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( R(x) \), ta tính đạo hàm của \( R(x) \): \[ R'(x) = 15 - 0,003x^2 \] Đặt \( R'(x) = 0 \): \[ 15 - 0,003x^2 = 0 \] \[ 0,003x^2 = 15 \] \[ x^2 = \frac{15}{0,003} = 5000 \] \[ x = \sqrt{5000} \approx 70,7 \] Ta kiểm tra dấu của \( R'(x) \) ở hai bên điểm \( x = 70,7 \): - Khi \( x < 70,7 \), \( R'(x) > 0 \) - Khi \( x > 70,7 \), \( R'(x) < 0 \) Do đó, \( R(x) \) đạt cực đại tại \( x = 70,7 \). Vậy, nhà máy A nên bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Câu 13. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc Bayes. Chúng ta cần xác định các xác suất liên quan và áp dụng công thức Bayes để tìm xác suất người đó thực sự bị bệnh khi kết quả kiểm tra là dương tính. Bước 1: Xác định các xác suất ban đầu: - Xác suất một người bị bệnh: \( P(B) = 0.01 \) - Xác suất một người không bị bệnh: \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 0.99 \) Bước 2: Xác định các xác suất điều kiện: - Xác suất kết quả dương tính khi người đó bị bệnh: \( P(D|B) = 0.99 \) - Xác suất kết quả âm tính khi người đó không bị bệnh: \( P(\overline{D}|\overline{B}) = 0.99 \) - Xác suất kết quả dương tính khi người đó không bị bệnh: \( P(D|\overline{B}) = 1 - P(\overline{D}|\overline{B}) = 0.01 \) Bước 3: Áp dụng công thức Bayes để tìm xác suất người đó thực sự bị bệnh khi kết quả kiểm tra là dương tính: \[ P(B|D) = \frac{P(D|B) \cdot P(B)}{P(D)} \] Trong đó, \( P(D) \) là xác suất tổng thể của kết quả dương tính, được tính bằng: \[ P(D) = P(D|B) \cdot P(B) + P(D|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] \[ P(D) = 0.99 \cdot 0.01 + 0.01 \cdot 0.99 \] \[ P(D) = 0.0099 + 0.0099 \] \[ P(D) = 0.0198 \] Bây giờ, chúng ta có thể tính \( P(B|D) \): \[ P(B|D) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0198} \] \[ P(B|D) = \frac{0.0099}{0.0198} \] \[ P(B|D) = 0.5 \] Vậy xác suất để người đó thực sự bị bệnh khi kết quả kiểm tra là dương tính là 0.5 hoặc 50%. Đáp số: 50% Câu 14. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Đầu tiên, chúng ta sẽ xác định các đại lượng liên quan và thiết lập phương trình thời gian tổng cộng mà đoàn cứu trợ phải đi. 1. Xác định các đại lượng: - Gọi khoảng cách từ B đến D là \( x \) (km). - Khoảng cách từ A đến D là \( \sqrt{5^2 + x^2} = \sqrt{25 + x^2} \) (km). - Khoảng cách từ D đến C là \( 7 - x \) (km). 2. Thời gian đi từ A đến D: Thời gian đi từ A đến D bằng thuyền là: \[ t_1 = \frac{\sqrt{25 + x^2}}{4} \] 3. Thời gian đi từ D đến C: Thời gian đi từ D đến C bằng bộ là: \[ t_2 = \frac{7 - x}{6} \] 4. Tổng thời gian: Tổng thời gian đoàn cứu trợ đi từ A đến C là: \[ T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{25 + x^2}}{4} + \frac{7 - x}{6} \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( T(x) \): Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( T(x) \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( T(x) \) và tìm điểm cực tiểu. Đạo hàm của \( T(x) \): \[ T'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{25 + x^2}}{4}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{7 - x}{6}\right) \] \[ T'(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{\sqrt{25 + x^2}} - \frac{1}{6} \] Đặt \( T'(x) = 0 \): \[ \frac{x}{4\sqrt{25 + x^2}} = \frac{1}{6} \] \[ 6x = 4\sqrt{25 + x^2} \] \[ 3x = 2\sqrt{25 + x^2} \] \[ 9x^2 = 4(25 + x^2) \] \[ 9x^2 = 100 + 4x^2 \] \[ 5x^2 = 100 \] \[ x^2 = 20 \] \[ x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \text{ (km)} \] 6. Kiểm tra điều kiện: Vì \( x = 2\sqrt{5} \) nằm trong khoảng \( 0 \leq x \leq 7 \), nên nó là giá trị hợp lý. 7. Khoảng cách từ A đến D: \[ \sqrt{25 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{25 + 20} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6.71 \text{ (km)} \] Vậy vị trí điểm D cách A khoảng 6.71 km để đoàn cứu trợ đi đến xã C nhanh nhất. Câu 15. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điểm B trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ B đến O là 417 km. Đầu tiên, ta viết phương trình tham số của đường thẳng d: \[ \begin{cases} x = -688 + 91t \\ y = -185 + 75t \\ z = 8 \end{cases} \] Khoảng cách từ điểm B đến O là 417 km, tức là: \[ \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2} = 417 \] Thay \(x\), \(y\), và \(z\) vào phương trình trên: \[ \sqrt{(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 8^2} = 417 \] \[ (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 417^2 \] \[ (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 173889 \] \[ (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 = 173825 \] Ta mở rộng các bình phương: \[ (688 - 91t)^2 = 688^2 - 2 \cdot 688 \cdot 91t + 91^2t^2 \] \[ = 473344 - 125696t + 8281t^2 \] \[ (185 - 75t)^2 = 185^2 - 2 \cdot 185 \cdot 75t + 75^2t^2 \] \[ = 34225 - 27750t + 5625t^2 \] Cộng lại: \[ 473344 - 125696t + 8281t^2 + 34225 - 27750t + 5625t^2 = 173825 \] \[ 507569 - 153446t + 13906t^2 = 173825 \] \[ 13906t^2 - 153446t + 333744 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ 6953t^2 - 76723t + 166872 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ t = \frac{76723 \pm \sqrt{76723^2 - 4 \cdot 6953 \cdot 166872}}{2 \cdot 6953} \] \[ t = \frac{76723 \pm \sqrt{5887000729 - 4660000000}}{13906} \] \[ t = \frac{76723 \pm \sqrt{1227000729}}{13906} \] \[ t = \frac{76723 \pm 35029}{13906} \] Ta có hai giá trị \(t\): \[ t_1 = \frac{76723 + 35029}{13906} = \frac{111752}{13906} \approx 8 \] \[ t_2 = \frac{76723 - 35029}{13906} = \frac{41694}{13906} \approx 3 \] Chọn giá trị \(t\) nhỏ hơn vì máy bay đang chuyển động về phía đài kiểm soát: \[ t = 3 \] Thay \(t = 3\) vào phương trình tham số: \[ x = -688 + 91 \cdot 3 = -688 + 273 = -415 \] \[ y = -185 + 75 \cdot 3 = -185 + 225 = 40 \] \[ z = 8 \] Vậy tọa độ điểm B là \((-415, 40, 8)\). Tính \(a + b + c\): \[ a + b + c = -415 + 40 + 8 = -367 \] Đáp số: \(-367\). Câu 16. Để tính diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình của đường parabol: - Đường parabol có đỉnh tại tâm viên gạch (20, 20) và đi qua điểm (0, 0). - Phương trình tổng quát của đường parabol có đỉnh tại (h, k) là \( y = a(x - h)^2 + k \). - Thay (h, k) = (20, 20) vào phương trình, ta có: \[ y = a(x - 20)^2 + 20 \] - Vì đường parabol đi qua điểm (0, 0), thay (x, y) = (0, 0) vào phương trình: \[ 0 = a(0 - 20)^2 + 20 \implies 0 = 400a + 20 \implies 400a = -20 \implies a = -\frac{1}{20} \] - Vậy phương trình của đường parabol là: \[ y = -\frac{1}{20}(x - 20)^2 + 20 \] 2. Tính diện tích phần tô đen trong một góc 90°: - Diện tích phần tô đen trong một góc 90° là diện tích giữa đường parabol và đường thẳng từ tâm viên gạch đến cạnh viên gạch. - Ta tính diện tích này bằng cách lấy diện tích hình vuông cạnh 20cm trừ đi diện tích phần trên đường parabol từ x = 0 đến x = 20. - Diện tích hình vuông cạnh 20cm là: \[ S_{vuông} = 20 \times 20 = 400 \text{ cm}^2 \] - Diện tích phần trên đường parabol từ x = 0 đến x = 20: \[ S_{parabol} = \int_{0}^{20} \left(-\frac{1}{20}(x - 20)^2 + 20\right) dx \] Ta tính tích phân: \[ S_{parabol} = \int_{0}^{20} \left(-\frac{1}{20}(x^2 - 40x + 400) + 20\right) dx = \int_{0}^{20} \left(-\frac{1}{20}x^2 + 2x - 20 + 20\right) dx = \int_{0}^{20} \left(-\frac{1}{20}x^2 + 2x\right) dx \] \[ S_{parabol} = \left[-\frac{1}{60}x^3 + x^2\right]_{0}^{20} = \left(-\frac{1}{60}(20)^3 + (20)^2\right) - \left(-\frac{1}{60}(0)^3 + (0)^2\right) \] \[ S_{parabol} = \left(-\frac{1}{60} \cdot 8000 + 400\right) = \left(-\frac{8000}{60} + 400\right) = \left(-\frac{400}{3} + 400\right) = \left(\frac{-400 + 1200}{3}\right) = \frac{800}{3} \approx 266.67 \text{ cm}^2 \] - Diện tích phần tô đen trong một góc 90° là: \[ S_{tô} = 400 - 266.67 = 133.33 \text{ cm}^2 \] 3. Diện tích mỗi cánh hoa: - Mỗi cánh hoa chiếm 1/4 diện tích phần tô đen trong một góc 90°: \[ S_{cánh} = \frac{133.33}{4} \approx 33.33 \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch là khoảng 33 cm² (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 33 cm²