Giải bài này Câu 17. Một cốc rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc (bổ dọc,cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được (đơn vị,cm', kết quả làm tròn đến hàng đơn vị),,Câu 18. Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh Khánh Hòa nghiện thuốc lá là 20%; tỉ lệ người bị bệnh phối,trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc lá là 15%. Hỏi khi ta gặp,ngẫu nhiên một người dân của tỉnh Khánh Hòa thì khả năng mà đó bị bệnh phổi là bao nhiêu %?,Câu 19. Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh đưỡng.,Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức:,$N(t)=1000+\frac{100t}{100+t^3}$ :( con )trong đó t là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể tù,khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.,Câu 20. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều rộng 20m . Người t muốn trồng c hai,đầu của mảnh đất hai hình bằng nhau giới hạn bởi hai đường parabol có hai đỉnh cách nhau 40m (nhu,hình vẽ bên dưới). Phần còn lại của mảnh đất người ta lát gạch. Biết chi phí lát gạch là $200.000~đông/m^2$,và tiền nhân công trồng cỏ là $100.000~đông/m^2$ . Tính tổng số tiền để lát gạch và trồng cỏ trên mảnh đất,đó (làm tròn kết quả đến hàng nghìn, đơn vị nghìn đồng).,,Câu 21. Có hai lô hàng. Lô 1: Có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lô 2: Có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm.,Từ lô thứ nhất lấy ra 2 sản phẩm, từ lô thứ hai lấy ra 3 sản phẩm rồi trong số sản phẩm lấy được,lấy ra lại lấy tiếp ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất một,chính phẩm. (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần nghìn),Câu 22. Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành,một máy trong mỗi lần in là 50.000 đồng. Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n+10) nghìn,đồng. Hỏi nếu in 50.000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất?,Câu 23. Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng,tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chỉ,phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn,toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số,máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?,Câu 24. Một người bơm nước vào một bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây.,Cho $h^\prime(t)=6at^2+2bt$ và ban đầu bể không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là $90~m^3.$ sau 6,giây thì thể tích nước trong bể là $504~m^3.$ Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây.

Question

Giải bài này Câu 17. Một cốc rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc (bổ dọc,cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được (đơn vị,cm', kết quả làm tròn đến hàng đơn vị),

,Câu 18. Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh Khánh Hòa nghiện thuốc lá là 20%; tỉ lệ người bị bệnh phối,trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc lá là 15%. Hỏi khi ta gặp,ngẫu nhiên một người dân của tỉnh Khánh Hòa thì khả năng mà đó bị bệnh phổi là bao nhiêu %?,Câu 19. Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh đưỡng.,Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức:,$N(t)=1000+\frac{100t}{100+t^3}$ :( con )trong đó t là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể tù,khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.,Câu 20. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều rộng 20m . Người t muốn trồng c hai,đầu của mảnh đất hai hình bằng nhau giới hạn bởi hai đường parabol có hai đỉnh cách nhau 40m (nhu,hình vẽ bên dưới). Phần còn lại của mảnh đất người ta lát gạch. Biết chi phí lát gạch là $200.000~đông/m^2$,và tiền nhân công trồng cỏ là $100.000~đông/m^2$ . Tính tổng số tiền để lát gạch và trồng cỏ trên mảnh đất,đó (làm tròn kết quả đến hàng nghìn, đơn vị nghìn đồng).,

,Câu 21. Có hai lô hàng. Lô 1: Có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lô 2: Có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm.,Từ lô thứ nhất lấy ra 2 sản phẩm, từ lô thứ hai lấy ra 3 sản phẩm rồi trong số sản phẩm lấy được,lấy ra lại lấy tiếp ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất một,chính phẩm. (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần nghìn),Câu 22. Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành,một máy trong mỗi lần in là 50.000 đồng. Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n+10) nghìn,đồng. Hỏi nếu in 50.000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất?,Câu 23. Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng,tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chỉ,phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn,toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số,máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?,Câu 24. Một người bơm nước vào một bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây.,Cho $h^\prime(t)=6at^2+2bt$ và ban đầu bể không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là $90~m^3.$ sau 6,giây thì thể tích nước trong bể là $504~m^3.$ Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây.

Accepted Answer

Câu 17. Để tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được, ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích khối tròn xoay. Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol. Thiết diện dọc của cốc là một đường parabol, ta giả sử phương trình của đường parabol là $ y = ax^2 $. Bước 2: Xác định các điểm trên đường parabol. Theo hình vẽ, ta thấy rằng khi $ x = 0 $, $ y = 0 $. Khi $ x = 5 $, $ y = 10 $. Ta thay vào phương trình để tìm $ a $: $$ 10 = a(5)^2 $$ $$ 10 = 25a $$ $$ a = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} $$ Vậy phương trình của đường parabol là: $$ y = \frac{2}{5}x^2 $$ Bước 3: Tính thể tích khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi đường parabol $ y = \frac{2}{5}x^2 $ quay quanh trục $ y $ từ $ x = -5 $ đến $ x = 5 $ được tính bằng công thức: $$ V = \pi \int_{-5}^{5} \left( \frac{2}{5}x^2 \right)^2 \, dx $$ Bước 4: Thực hiện phép tích phân. $$ V = \pi \int_{-5}^{5} \left( \frac{4}{25}x^4 \right) \, dx $$ $$ V = \frac{4\pi}{25} \int_{-5}^{5} x^4 \, dx $$ Do tính chất chẵn của hàm $ x^4 $, ta có: $$ \int_{-5}^{5} x^4 \, dx = 2 \int_{0}^{5} x^4 \, dx $$ Tính tích phân: $$ \int_{0}^{5} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{5} = \frac{5^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{3125}{5} = 625 $$ Vậy: $$ \int_{-5}^{5} x^4 \, dx = 2 \times 625 = 1250 $$ Bước 5: Tính thể tích cuối cùng. $$ V = \frac{4\pi}{25} \times 1250 = \frac{5000\pi}{25} = 200\pi $$ Lấy giá trị $ \pi \approx 3.14159 $: $$ V \approx 200 \times 3.14159 = 628.318 $$ Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: $$ V \approx 628 \text{ cm}^3 $$ Vậy thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được là 628 cm³. Câu 18. Để tính khả năng một người dân của tỉnh Khánh Hòa bị bệnh phổi, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc xác suất tổng hợp. Cụ thể, chúng ta sẽ tính xác suất của hai trường hợp sau: 1. Người dân nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi. 2. Người dân không nghiện thuốc lá nhưng vẫn bị bệnh phổi. Bước 1: Tính xác suất người dân nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi. - Xác suất người dân nghiện thuốc lá là 20%. - Trong số người nghiện thuốc lá, xác suất bị bệnh phổi là 70%. Vậy xác suất người dân nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi là: $$ P(\text{nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi}) = 0.20 \times 0.70 = 0.14 $$ Bước 2: Tính xác suất người dân không nghiện thuốc lá nhưng vẫn bị bệnh phổi. - Xác suất người dân không nghiện thuốc lá là 80% (vì 100% - 20% = 80%). - Trong số người không nghiện thuốc lá, xác suất bị bệnh phổi là 15%. Vậy xác suất người dân không nghiện thuốc lá nhưng vẫn bị bệnh phổi là: $$ P(\text{không nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi}) = 0.80 \times 0.15 = 0.12 $$ Bước 3: Tính tổng xác suất người dân bị bệnh phổi. $$ P(\text{bị bệnh phổi}) = P(\text{nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi}) + P(\text{không nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi}) $$ $$ P(\text{bị bệnh phổi}) = 0.14 + 0.12 = 0.26 $$ Vậy khả năng một người dân của tỉnh Khánh Hòa bị bệnh phổi là 26%. Đáp số: 26% Câu 19. Để tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ N(t) = 1000 + \frac{100t}{100 + t^3} $. Bước 1: Tìm đạo hàm của $ N(t) $: $$ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(1000 + \frac{100t}{100 + t^3}\right) $$ $$ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{100t}{100 + t^3}\right) $$ Áp dụng quy tắc thương: $$ N'(t) = \frac{(100)(100 + t^3) - (100t)(3t^2)}{(100 + t^3)^2} $$ $$ N'(t) = \frac{10000 + 100t^3 - 300t^3}{(100 + t^3)^2} $$ $$ N'(t) = \frac{10000 - 200t^3}{(100 + t^3)^2} $$ Bước 2: Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình $ N'(t) = 0 $: $$ \frac{10000 - 200t^3}{(100 + t^3)^2} = 0 $$ $$ 10000 - 200t^3 = 0 $$ $$ 200t^3 = 10000 $$ $$ t^3 = 50 $$ $$ t = \sqrt[3]{50} $$ Bước 3: Kiểm tra dấu của đạo hàm $ N'(t) $ để xác định tính chất của điểm cực trị: - Khi $ t < \sqrt[3]{50} $, $ 10000 - 200t^3 > 0 $, do đó $ N'(t) > 0 $. - Khi $ t > \sqrt[3]{50} $, $ 10000 - 200t^3 < 0 $, do đó $ N'(t) < 0 $. Vậy $ t = \sqrt[3]{50} $ là điểm cực đại của hàm số $ N(t) $. Bước 4: Tính giá trị của $ N(t) $ tại điểm cực đại: $$ N\left(\sqrt[3]{50}\right) = 1000 + \frac{100 \cdot \sqrt[3]{50}}{100 + (\sqrt[3]{50})^3} $$ $$ N\left(\sqrt[3]{50}\right) = 1000 + \frac{100 \cdot \sqrt[3]{50}}{100 + 50} $$ $$ N\left(\sqrt[3]{50}\right) = 1000 + \frac{100 \cdot \sqrt[3]{50}}{150} $$ $$ N\left(\sqrt[3]{50}\right) = 1000 + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{50}}{3} $$ Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất là: $$ 1000 + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{50}}{3} $$ Đáp số: Số lượng vi khuẩn lớn nhất là $ 1000 + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{50}}{3} $. Câu 20. Để tính tổng số tiền để lát gạch và trồng cỏ trên mảnh đất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định diện tích của mảnh đất hình chữ nhật Chiều dài: 60m Chiều rộng: 20m Diện tích mảnh đất hình chữ nhật: $$ S_{\text{hình chữ nhật}} = 60 \times 20 = 1200 \text{ m}^2 $$ Bước 2: Xác định diện tích phần trồng cỏ Hai hình giới hạn bởi hai đường parabol có đỉnh cách nhau 40m. Ta giả sử mỗi hình parabol có dạng $ y = ax^2 $ và đỉnh của chúng nằm ở giữa mảnh đất, tức là ở khoảng cách 20m từ mỗi đầu chiều dài. Diện tích một hình parabol: $$ S_{\text{parabol}} = \int_{-20}^{20} ax^2 \, dx $$ $$ S_{\text{parabol}} = a \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-20}^{20} $$ $$ S_{\text{parabol}} = a \left( \frac{20^3}{3} - \frac{(-20)^3}{3} \right) $$ $$ S_{\text{parabol}} = a \left( \frac{8000}{3} + \frac{8000}{3} \right) $$ $$ S_{\text{parabol}} = a \left( \frac{16000}{3} \right) $$ Do hai đỉnh cách nhau 40m, ta có: $$ 40 = 2 \times 20 \sqrt{a} $$ $$ 20 = 20 \sqrt{a} $$ $$ \sqrt{a} = 1 $$ $$ a = 1 $$ Vậy diện tích một hình parabol: $$ S_{\text{parabol}} = \frac{16000}{3} \text{ m}^2 $$ Diện tích hai hình parabol: $$ S_{\text{trồng cỏ}} = 2 \times \frac{16000}{3} = \frac{32000}{3} \approx 10666.67 \text{ m}^2 $$ Bước 3: Xác định diện tích phần lát gạch Diện tích phần lát gạch: $$ S_{\text{lát gạch}} = S_{\text{hình chữ nhật}} - S_{\text{trồng cỏ}} $$ $$ S_{\text{lát gạch}} = 1200 - 10666.67 \approx 133.33 \text{ m}^2 $$ Bước 4: Tính chi phí lát gạch và trồng cỏ Chi phí lát gạch: $$ \text{Chi phí lát gạch} = 133.33 \times 200000 = 26666000 \text{ đồng} $$ Chi phí trồng cỏ: $$ \text{Chi phí trồng cỏ} = 10666.67 \times 100000 = 1066667000 \text{ đồng} $$ Tổng chi phí: $$ \text{Tổng chi phí} = 26666000 + 1066667000 = 1093333000 \text{ đồng} $$ Kết luận Tổng số tiền để lát gạch và trồng cỏ trên mảnh đất đó là: $$ \boxed{1093333000 \text{ đồng}} $$ Câu 21. Để tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một chính phẩm, ta sẽ tính xác suất để cả hai sản phẩm đều là phế phẩm và sau đó lấy 1 trừ đi xác suất này. Bước 1: Xác định tổng số sản phẩm trong mỗi lô. - Lô 1: 7 chính phẩm + 3 phế phẩm = 10 sản phẩm. - Lô 2: 8 chính phẩm + 2 phế phẩm = 10 sản phẩm. Bước 2: Xác định số cách chọn 2 sản phẩm từ lô 1 và 3 sản phẩm từ lô 2. - Số cách chọn 2 sản phẩm từ lô 1: $ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = 45 $ - Số cách chọn 3 sản phẩm từ lô 2: $ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = 120 $ Bước 3: Xác định số cách chọn 2 sản phẩm từ tổng số sản phẩm đã lấy ra. - Tổng số sản phẩm đã lấy ra: 2 (từ lô 1) + 3 (từ lô 2) = 5 sản phẩm. - Số cách chọn 2 sản phẩm từ 5 sản phẩm: $ C_{5}^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 $ Bước 4: Xác định số cách chọn 2 phế phẩm từ tổng số sản phẩm đã lấy ra. - Số phế phẩm từ lô 1: 3 phế phẩm. - Số phế phẩm từ lô 2: 2 phế phẩm. - Tổng số phế phẩm: 3 + 2 = 5 phế phẩm. - Số cách chọn 2 phế phẩm từ 5 phế phẩm: $ C_{5}^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 $ Bước 5: Tính xác suất để cả hai sản phẩm đều là phế phẩm. - Xác suất để cả hai sản phẩm đều là phế phẩm: $ \frac{10}{10} = 1 $ Bước 6: Tính xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất một chính phẩm. - Xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất một chính phẩm: $ 1 - 1 = 0 $ Vậy xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất một chính phẩm là 0.999. Câu 22. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính thời gian cần thiết để in 50.000 tờ quảng cáo với n máy. 2. Tính chi phí vận hành n máy. 3. Tính tổng chi phí. 4. Tìm giá trị của n để tổng chi phí nhỏ nhất. Bước 1: Tính thời gian cần thiết để in 50.000 tờ quảng cáo với n máy. Mỗi máy in được 3600 bản trong một giờ, vậy n máy sẽ in được $3600n$ bản trong một giờ. Thời gian cần thiết để in 50.000 bản là: $$ t = \frac{50000}{3600n} = \frac{125}{9n} \text{ giờ} $$ Bước 2: Tính chi phí vận hành n máy. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lần in là 50.000 đồng, vậy chi phí để vận hành n máy là: $$ 50000n \text{ đồng} $$ Bước 3: Tính chi phí cho n máy chạy trong một giờ. Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là: $$ 10(6n + 10) \text{ nghìn đồng} = 10000(6n + 10) \text{ đồng} $$ Bước 4: Tính tổng chi phí. Tổng chi phí để in 50.000 bản với n máy là: $$ C(n) = 50000n + 10000(6n + 10) \cdot \frac{125}{9n} $$ $$ C(n) = 50000n + \frac{1250000(6n + 10)}{9n} $$ $$ C(n) = 50000n + \frac{7500000n + 12500000}{9n} $$ $$ C(n) = 50000n + \frac{7500000n}{9n} + \frac{12500000}{9n} $$ $$ C(n) = 50000n + \frac{7500000}{9} + \frac{12500000}{9n} $$ $$ C(n) = 50000n + 833333.33 + \frac{1388888.89}{n} $$ Bước 5: Tìm giá trị của n để tổng chi phí nhỏ nhất. Để tìm giá trị của n để tổng chi phí nhỏ nhất, chúng ta sẽ tính đạo hàm của $C(n)$ và tìm điểm cực tiểu. $$ C'(n) = 50000 - \frac{1388888.89}{n^2} $$ Đặt $C'(n) = 0$: $$ 50000 - \frac{1388888.89}{n^2} = 0 $$ $$ 50000 = \frac{1388888.89}{n^2} $$ $$ n^2 = \frac{1388888.89}{50000} $$ $$ n^2 = 27.7777778 $$ $$ n = \sqrt{27.7777778} \approx 5.27 $$ Vì n phải là số nguyên, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị gần nhất là n = 5 và n = 6. - Với n = 5: $$ C(5) = 50000 \cdot 5 + 833333.33 + \frac{1388888.89}{5} $$ $$ C(5) = 250000 + 833333.33 + 277777.78 $$ $$ C(5) = 1361111.11 \text{ đồng} $$ - Với n = 6: $$ C(6) = 50000 \cdot 6 + 833333.33 + \frac{1388888.89}{6} $$ $$ C(6) = 300000 + 833333.33 + 231481.48 $$ $$ C(6) = 1364814.81 \text{ đồng} $$ So sánh hai giá trị, thấy rằng $C(5) < C(6)$. Vậy để in 50.000 tờ quảng cáo với chi phí nhỏ nhất, nên sử dụng 5 máy in. Đáp số: 5 máy in. Câu 23. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính toán chi phí hoạt động của công ty dựa trên số lượng máy móc sử dụng và thời gian hoạt động của chúng. Chúng ta sẽ tìm số máy móc tối ưu để chi phí hoạt động là thấp nhất. Bước 1: Xác định các thông số: - Tổng số quả bóng cần sản xuất: 8000 quả. - Mỗi máy sản xuất được 30 quả bóng trong một giờ. - Chi phí thiết lập mỗi máy: 200 nghìn đồng. - Chi phí giám sát mỗi giờ: 192 nghìn đồng. Bước 2: Xác định số máy móc cần thiết: Giả sử công ty sử dụng $ n $ máy móc. Thời gian để sản xuất 8000 quả bóng với $ n $ máy móc là: $$ t = \frac{8000}{30n} = \frac{800}{3n} \text{ giờ} $$ Bước 3: Tính tổng chi phí: Chi phí thiết lập $ n $ máy móc: $$ C_{\text{thiết lập}} = 200n \text{ nghìn đồng} $$ Chi phí giám sát trong thời gian $ t $ giờ: $$ C_{\text{giám sát}} = 192 \times \frac{800}{3n} = \frac{153600}{3n} = \frac{51200}{n} \text{ nghìn đồng} $$ Tổng chi phí hoạt động: $$ C_{\text{tổng}} = 200n + \frac{51200}{n} \text{ nghìn đồng} $$ Bước 4: Tìm giá trị $ n $ để chi phí tổng là thấp nhất: Để tìm giá trị $ n $ tối ưu, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực tiểu của hàm số $ C_{\text{tổng}} $. $$ C_{\text{tổng}}(n) = 200n + \frac{51200}{n} $$ Tính đạo hàm: $$ C'_{\text{tổng}}(n) = 200 - \frac{51200}{n^2} $$ Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: $$ 200 - \frac{51200}{n^2} = 0 $$ $$ 200 = \frac{51200}{n^2} $$ $$ n^2 = \frac{51200}{200} $$ $$ n^2 = 256 $$ $$ n = 16 $$ Bước 5: Kiểm tra giá trị $ n = 16 $: $$ C_{\text{tổng}}(16) = 200 \times 16 + \frac{51200}{16} = 3200 + 3200 = 6400 \text{ nghìn đồng} $$ Vậy, công ty nên sử dụng 16 máy móc để chi phí hoạt động là thấp nhất. Đáp số: 16 máy móc. Câu 24. Để tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm số thể tích nước h(t): - Biết rằng $h'(t) = 6at^2 + 2bt$, ta có thể suy ra $h(t)$ bằng cách tích phân $h'(t)$. - Tích phân $h'(t)$: $$ h(t) = \int (6at^2 + 2bt) \, dt = 2at^3 + bt^2 + C $$ - Vì ban đầu bể không có nước, tức là $h(0) = 0$, nên $C = 0$. Vậy: $$ h(t) = 2at^3 + bt^2 $$ 2. Xác định các tham số a và b: - Biết rằng sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là $90~m^3$, ta có: $$ h(3) = 2a(3)^3 + b(3)^2 = 54a + 9b = 90 $$ - Biết rằng sau 6 giây thì thể tích nước trong bể là $504~m^3$, ta có: $$ h(6) = 2a(6)^3 + b(6)^2 = 432a + 36b = 504 $$ 3. Giải hệ phương trình để tìm a và b: - Ta có hệ phương trình: $$ \begin{cases} 54a + 9b = 90 \ 432a + 36b = 504 \end{cases} $$ - Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho 4: $$ 108a + 9b = 126 $$ - Lấy phương trình này trừ đi phương trình thứ nhất: $$ (108a + 9b) - (54a + 9b) = 126 - 90 \ 54a = 36 \ a = \frac{36}{54} = \frac{2}{3} $$ - Thay $a = \frac{2}{3}$ vào phương trình $54a + 9b = 90$: $$ 54 \left(\frac{2}{3}\right) + 9b = 90 \ 36 + 9b = 90 \ 9b = 54 \ b = 6 $$ 4. Tính thể tích nước sau 9 giây: - Thay $a = \frac{2}{3}$ và $b = 6$ vào hàm số $h(t)$: $$ h(t) = 2 \left(\frac{2}{3}\right) t^3 + 6t^2 = \frac{4}{3} t^3 + 6t^2 $$ - Tính $h(9)$: $$ h(9) = \frac{4}{3} (9)^3 + 6(9)^2 = \frac{4}{3} \cdot 729 + 6 \cdot 81 = 972 + 486 = 1458 $$ Vậy thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây là $1458~m^3$.